2-Гидромеханика 1

21

Однакоприэтомнеобходимоиметьввиду, чтофункцияp, кроме координат, должнавключатьнекоторыеначальныеусловия, атакже физические величины, влияющие на значение давления. Такими величинамиявляютсяплотностьжидкостииускорениямассовыхсил.

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера, 1755 г.)

Для выяснения закона распределения гидростатического давления в покоящейся жидкости рассмотрим общий случай равновесия жидкого тела, находящегося в состоянии относительногопокоя.

Выделимвжидкости, находящейсявпокое, элементарныйобъем

ввиде параллелепипеда с ребрами δ x, δ y, δ z, параллельными соответствующим осям координат. Отбросив остальную часть жидкости, заменимеевлияниесоответствующимисилами.

Помимоэтихсилнаданныйэлементарныйобъемдействуют объемныесилы(тяжестииинерциипереносногодвижения). Согласно условиямравновесиянеобходимо, чтобысуммапроекцийвсехсилна каждуюизтрехосейкоординатравняласьнулю. Составимуравнения равновесияотносительноосейкоординат.

Учитываянепрерывностьизменениягидростатическогодавления

вжидкой среде ( p – гидростатическое давление в центре параллелепипеда), можемопределитьсреднеегидростатическоедавлениена граняхпараллелепипеда,перпендикулярныхосиx.

Поаналогииможнозаписатьещедвауравнениядляосейyиz.Система уравнений

представляет собойобщиеусловияравновесияжидкости, данные Эйлером (относительный покой).

Умножая уравнения Эйлера соответственно на dx, dy, dz и складывая их, получим

Последнееуравнениеможетиметьсмыслтолькоприусловии, чтоивыражениевскобкахвправойчастиеготакжепредставляет полный дифференциал некоторой функции U(x,y, z), называемой вмеханикесиловойфункцией. Следовательно, проекцииускорения массовыхсилдолжныопределятьсяследующимисоотношениями:

Тогда

dp = ρ dU.

Интегрируя, получим

p = ρ U+C.

Силовая функция U(x, y, z) равна функции потенциальной

24

Поверхности равного давления

Изуравнения

z + ρpg = const

прир= const

z = const.

Дляжидкости, находящейсявабсолютномпокое, поверхности равногодавленияявляютсягоризонтальнымиплоскостями.

Формуладлявычислениягидростатическогодавлениявточке

Гидростатическое давление в данной точке покоящейся жидкостискладываетсяизвнешнегодавлениянаповерхностиp0 и давленияρ gh,зависящеготолькоотглубиныпогруженияhиудельного весажидкостиρ g.

Полное давление. Манометрическое давление. Вакуум

Давление, подсчитанное поформуле p = p0+ρ gh, называется

полным (абсолютным) гидростатическим давлением. Оно отсчи-

тывается от абсолютного нуля и обозначается pполн или pабс.

Избыточное (манометрическое) давление отсчитывается от

атмосферногодавленияpат, т. е. отусловногонуля, иобозначается

pизб или pман.

если p0= pат, то

pизб= pполн– pат,

pизб= ρ gh.

Если полное давление меньше атмосферного, то давление в жидкости определяют вакуумом. Вакуумом (или разрежением)

называют недостаток давления до атмосферного, который определяется как разность между атмосферным давлением и полным, еслипоследнееменьшеатмосферного: pвак= pат– pполн.

25

За единицу давления принимается давление, вызываемое единицей силы, равномерно распределенной по поверхности единичнойплощади, расположеннойперпендикулярносиле. Единица давлениявСИ– Паскаль(Па).

Па= Н/м2.

Донедавнеговремениширокоприменялисьединицыдавления, основанные на МКГСС. Давление 1 кгс/м2 с большой степенью точностиравнодавлениюводяногостолбавысотой1мм.Действительно,слойводыплощадью1м2 итолщиной1ммзанимаетобъем,равный 1 дм3, а, следовательно, егосиладавлениясбольшойточностьюравна 1 кгс. Поэтому в технике единицу давления килограмм-сила на квадратныйметр(кгс/м2) называлимиллиметромводяногостолба (мм вод. ст.). Это было особенно удобно в тех случаях, когда пользовались водяными манометрами (например, приизмерении скоростигазавтрубопроводах).

Болеераспространеннойбылакратнаяединица–килограмм-силана квадратныйсантиметр(кгс/см2). Таккакэтаединицаоченьблизкак нормальномуатмосферномудавлению(1,033 кгс/см2), тоееназывали техническойатмосферой,собозначениемат(вотличиеотнормальной атмосферыатм). ХотяМКГССизъятаизприменения, нанекоторых предприятиях до настоящего времени пользуются манометрами, проградуированнымивтехническихатмосферах(илинепосредст- венновкилограмм-силахнаквадратныйсантиметр).

1ат= (1 кгс/см2, 98 кПа, 735 ммрт. ст., 10 мвод. ст.),

1атм= (1,0332 кгс/см2, 101,3 кПа, 760 ммрт. ст., 10,34 мвод. ст.), 1 бар= (1,0204 кгс/см2, 100 кПа, 750 ммрт. ст., 10,20 мвод. ст.).

Графическое изображение основного уравнения гидростатики (эпюра гидростатического давления)

Вомногихобластяхтехникиприрешениизадач, связанныхс определениемдавлениявлюбойточкесооружения, взависимостиот глубиныпогруженияееподсвободнойповерхностьюстроятэпюру распределениядавленияисходяизосновногоуравнениягидростатики

p=p0+ρ gh.

Какследуетизанализаэтогоуравнения, оноявляетсяуравнением прямой линии со свободным членом p0 и угловым коэффициентом ρ g.

27

Полнаясиладавленияжидкостинаплоскуюповерхность

Таккакинтегрированиепроходитпонаклоннойплоскости, тов подынтегральноевыражениенадоподставитьη =λ sinθ (рис. 2.6). Тогда

S

относительнооси, проходящейчерезеецентртяжести. Поэтому

Fполн = p0S + pC S или Fполн = ( p0 + ρ ghС )S .

Сила давления жидкости на плоскую поверхность равна произведению площади этой поверхности на величину гидростатическогодавлениявеёцентретяжести.

Обычновтехническихрасчетахприопределениисилыдавления жидкости на плоскую поверхность не учитывают давление p0 на свободной поверхности жидкости, когдаоноравно pатм иуравновешиваетсяспротивоположнойстороныстенки. Вэтомслучае

Fизб = ρ ghС S.

Гидростатический парадокс

Рассмотрим несколько сосудов с различным очертанием и количеством жидкости в них, причем площадь дна S и глубина h длявсехсосудоводинаковы(рис. 2.7).

парадокса», таккаккажется, чтоврезервуаре, имеющембольшую массужидкости, исиладавлениянаднодолжнабытьбольше, чемв резервуаресменьшеймассойводы.