Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Морской государственный университет им. адмирала Г.И. Невельского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2-Гидромеханика 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

1.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

ГлавныйвекторсилдавленияжидкостиF накриволинейную поверхность S (рис. 2.11) находится по его проекциям на координатныеосиFx, Fy, Fz:

F = Fx2 + Fy2 + Fz2 .

Направление вектора определяется по его направляющим косинусам:

^	F		^	Fy		^	F
cos(F, x) =	x	,	cos(F, y) =		,	cos(F, z) =	z
								.
	F			F			F

ПроекцииглавноговекторасилдавленияжидкостиFx иFy на горизонтальныеосиопределяютсяодинаковоиобозначаютсяFгор. ПроекцияFz навертикальнуюосьобозначаетсяFверт.

Определение проекции вектора давления на горизонтальную ось

На поверхности выделяем элементарную площадку dS, на которуюбудетдействоватьэлементарнаясиладавленияжидкости,

dF=( p0+ρ gh)dS.

СпроектируемэтуэлементарнуюсилуdFнагоризонтальнуюось:

dFгор= ( p0+ρ gh)dScosθ .

ПроизведениеdScosθ = dSверт являетсяпроекциейэлементарной площадки dS на вертикальную плоскость, перпендикулярную горизонтальнойоси(0x или0y).

Проекцию вектора давления на горизонтальную ось найдем суммированиемэлементарныхпроекцийdFгор:

Fгор = ∫ dFгор	= ∫ ( p0 + ρ gh) dSверт=		p0 ∫ dSверт+ ρ	g∫ hdSверт .
S	S	p0	S	S
		p0
h	S		Sверт	hC
h	S	dF	Sверт
		dF	С
	dS	θ	С
	dS	θ

dFгор dSверт

Рис. 2.12

Здесь ∫ dSверт = Sверт – вертикальнаяпроекциякриволинейной

поверхностиS наплоскость, перпендикулярнуюгоризонтальнойоси,

∫ hdSверт = hC Sверт– статическиймоментплощадиSверт относительно

свободнойповерхностижидкости.

Следовательно, горизонтальная проекция силы давления, найденная с учетом полного гидростатического давления pполн=

=p0+ρ gh,

Fгор.полн=( p0+ρ ghС)Sверт.

Еслиучитываетсятолькоизбыточноегидростатическоедавлениежидкости, то

Fгор.изб=ρ ghСSверт.

Определение проекции вектора давления на вертикальную ось

Sгор		dSгор
p0
h
dFверт	ϕ	dF
dS		S
dS

Рис. 2.13

кальнуюось

В этом случае спроектируем элементарнуюсилуdFнавертикальнуюось:

dFверт= ( p0+ρ gh)dScosϕ .

ПроизведениеdScosϕ = dSгор является проекциейэлементарнойплощадкиdS на горизонтальную плоскость, перпендикулярнуювертикальнойосиz. Загоризонтальнуюплоскостьпринимаютплоскостьсвободнойповерхностижидкости( рис. 2.13).

Проекциявекторадавлениянаверти-

Fверт = ∫ dFверт	= ∫ ( p0 + ρ gh)dSгор=	p0 ∫ dSгор+ ρ	g∫ hdSгор .
S	S	S	S

Здесь ∫ hdSгор = Vт.д. – так называемый объем тела давления.

Телом давления называется условное тело, имеющее плотность жидкостииограниченноеснизузаданнойкриволинейнойповерхностью жидкости или ее продолжением, а сбоку – вертикальной проектирующейповерхностью.

Вертикальная проекция силы давления, найденная с учетом полногогидростатическогодавления,

Fверт.полн= p0Sгор+ρ gVт.д.

Еслиучитываетсятолькоизбыточноедавлениежидкости, то

Fверт.изб= ρ gVт.д..

F F

Vт.д.

т.д.

Рис. 2.14. Примеры на вертикальные составляющие сил для различного рода криволинейных поверхностей

Равновесие жидкости в движущихся сосудах

Ранеебылорассмотреновосновномравновесиежидкостипод действиемлишьодноймассовойсилы– еевеса. Этотслучайимеет место тогда, когда жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно Земли, а также в сосуде, движущемся равномерно и прямолинейно. Если же сосуд с жидкостью находится в неравномерномилинепрямолинейномдвижении, тоначастицыжидкости кромесилытяжестидействуютещесилыинерции, причемеслиони постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такоеравновесиежидкостиназываетсяотносительным покоем.

Приотносительномпокоесвободнаяповерхностьжидкостии прочие поверхности уровня могут существенно отличаться от поверхностейуровняприпокоежидкостивнеподвижномсосуде, т. е. отгоризонтальнойплоскости. Приопределенииформыиположения свободнойповерхностижидкости, находящейсявотносительном покое, следует руководствоваться основным свойством всякой поверхностиуровня.

Приравновесиивдвижущемсясосудежидкость, заполняющая сосуд, движетсявместеснимкактвердоетело.

Законраспределениядавлениявжидкостивдифференциальной формевыражаетсяуравнением(2.1)

dp = ρ (Fедx dx+ Fедy dy+ Fедz dz),

34
гдеx, y, z –координатыточекжидкостивсистемекоординат,связанной
ссосудом, p = f(x,y,z) – давлениевжидкости, ρ – плотность, Fедx, Fедy,
Fедz – проекцииединичноймассовойсилынакоординатныеоси.
Дифференциальноеуравнениеповерхностиравногодавления
		Fедx dx +Fедydy +Fедzdz = 0.
Равновесие жидкости в сосуде,
движущемся прямолинейно с постоянным ускорением
z					Сосуд с жидкостью движется
				прямолинейноспостояннымуско-
p0	(x ;z )
	0	0		рением aG. В этом случае результи-
h		β
				рующую массовую силу, дейст-
j	p
		a		вующую на жидкость, найдем как
	g			сумму векторов силы инерции Gj ,
Fед		α	x	направленнойвсторону, обратную
0				ускорению aG и силы тяжести gG
	Рис. 2.15			(рис. 2.15).
					Обозначимвекторравнодейст-
вующей массовой силы, отнесенной к единице массы, через FGед. Ее
проекциинакоординатныеоси
	Fедx = − j cosα ,		Fедy= 0,		Fедz= − g− j sinα .

Здесь и везде ниже j=a по абсолютной величине. Для всех частиц рассматриваемого объема жидкости равнодействующие массовые силы параллельны друг другу, а поверхности уровня перпендикулярныкэтимсилам, поэтомувсеповерхностиуровня, в том числе свободная поверхность, являются плоскостями, параллельнымидругдругу.Уголнаклонаэтихплоскостейкгоризонту

определяется из условия перпендикулярности их к силе FGед. Уравнениеповерхностиравногодавлениявдифференциальной

формеимеет
(−a cosα	) dx−	(g+ asinα ) dz= 0.

Послеинтегрированияполучимуравнениеповерхностиравно-го давленияснеопределеннойпостояннойинтегрированияС

(−a cosα ) x− (g+ asinα ) =z С.

Чтобыполучитьконкретноеуравнениеповерхностиравного давления, необходимонайтипроизвольнуюпостояннуюпозаданным координатам точки на этой поверхности и подставить в уравнение. Найдем произвольную постоянную по известным координатам точки (x0, z0 )

C = acosα x0+ (asinα + g )z0

иподставимвуравнение

acosα (x− x0 )+ (asinα + g )(−z z0=) 0.

Послепреобразованийполучимуравнениесвободнойповерхности

z − z		= −	acosα		(x − x	).
	0
			asinα +	g	0

Такимобразом, поверхностиравногодавления, втомчислеи свободнаяповерхность,образуютсемействопараллельныхплоскостей сугломнаклонакгоризонтуβ , тангенскоторогоравен

tgβ = −	acosα
		.
	asinα + g

Уравнение, позволяющее находить давление в любой точке рассматриваемогообъемажидкости, можнополучитьизуравнения (2.1) подстановкойFедx, FедyиFедz:

dp = ρ − acosα dx−	(asinα +	g )dz .

Послеинтегрированияиопределенияпостояннойполучим

p = p	− ρ acosα	(−x	x +) (asinα +	g )(−z z	0	) .
0			0		0

Для того, чтобы получить закон распределения давления в жидкости по высоте, необходимо принять (x – x0) = 0 ивеличину (z – z0 ) представитьравнойh

p = p0 + ρ (asinα + g )h.

Полученноеуравнениеможноприменитьтакжеидлядвижения сосудасжидкостью, движущегосяспостояннымускорениемвверх

(α = 90°) иливниз(α = 270°):

α = 90 ο,	p = p + ρ (g + a)h	,
	0
α = 270 ο,	p = p + ρ (g − a)h .
	0

36
Равновесие жидкости в сосуде, равномерно
вращающемся относительно вертикальной оси
				Возьмемоткрытыйцилинд-
z				рический сосуд с жидкостью и
				сообщим ему вращение с посто-
				яннойугловойскоростьюω вокруг
p0		p0		еговертикальнойоси. Жидкость
				постепенноприобрететтужеугло-
(z0,0)				вую скорость, что и сосуд, а сво-
	h			боднаяповерхностьеевидоизме-
r		p j
				нится: в центральной части уро-
z0
	g			веньжидкостипонизится, устенок
0
				– повысится, ивсясвободнаяпо-
		Fед	r
	ω			верхность жидкости станет не-
Рис. 2.16				которойповерхностьювращения
				(рис. 2.16).

Жидкость имеет вертикальную ось симметрии, поэтому мы
можемзаменитьдвегоризонтальныеосиx иy наr.
Нажидкостьвэтомслучаебудутдействоватьдвемассовыесилы
– силатяжестиицентробежнаясила, которые, будучиотнесеннымик
				G	G
единицемассы, соответственноравны g иG					j .
Равнодействующаямассоваясила Fед увеличиваетсясувели-
чением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к
горизонтууменьшается.Этасиланормальнаксвободнойповерхности
жидкости, поэтомунаклонэтойповерхностисувеличениемрадиуса
возрастает, проекциисоответственноравны
		Fедz = −g ,		Fедr = ω 2 r .
Для определения уравнения поверхности равного давления
воспользуемсяусловием
тогда			Fедrdr +Fедzdz = 0,
			ω 2rdr− gdz= 0.

После интегрирования общее уравнение поверхности равного
давлениябудетиметьвид
			ω 2r2	− gz = C.
			2

Определивпостояннуюинтегрирования подстановкойпараметров p0, r0, z0 свободной поверхности, получим C = −gz0 . Затем найдемуравнениесвободнойповерхности

z − z0 = ω 2r2 . 2g

Для определения закона изменения давления во вращаю-

щейся жидкости в функции радиуса и высоты воспользуемся
уравнением(2.1), подставивзначенияпроекций FGед,
dp = ρ (ω 2rdr−				gdz).
Интегрируяданноевыражение
	2	r	2
p = ρ ω				− gz + C ,
	2

с учетом граничных условий C = p0		+ ρ gz0		получим уравнение
распределениядавлениявжидкости
p = p + ρ ω 2r2 − ρ g (z− z			0	).
0	2

Этозначит, чтодавлениевозрастаетпропорциональнорадиусу r иуменьшаетсяпропорциональновысотеz.

Распределениедавленияповертикали p=p0+ρ gh.

Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно горизонтальной оси

z
		j
r0	r	Fед
r0	g
p	α	y
	0

Рис. 2.17

Считаем, что вся масса жидкости в сосуде вращается как твердое тело с угловой скоростью ω . Найдем закон распределения давлениявжидкости.Рассмотримнекоторуючастицут, котораянаходится на расстоянии r от оси вращения и радиус вращения которой образует угол α с осью у (рис. 2.17). Для указанной цели воспользуемся уравне-

нием (2.1)

dp = ρ (Fедx dx+ Fедy dy+ Fедz dz ),

где Fедx, Fедy и Fедz – проекции на оси координат ускорения равнодействующей объемных сил, каковыми в данном случае будут являтьсясилатяжестиицентробежнаясилаинерциипереносного движения.

Найдемихпроекциинаосикоординат

= ω

= ω 2r cosα ,

= 0,

r sinα − g

едy

едx

едz

здесьr cosα =у иr sinα

= z, гдеуиz – относительныекоординаты.

Подставляяв(2.1), получим

dp = ρ ω

2r cosα

dy+

ω(

2r sinα −

g )

или

dp = ρ ω 2 y

dy+ ω(

2−z g )

dz .

Интегрируя, находимзаконраспределениядавления

p = ρ

− gz + C.

Еслипренебречьвлияниемвесажидкости, тодлязаконараспределениядавлениярполучимследующеевыражение:

p = ρ

ω 2r2

+ C.

Полагаяr = r0, p = p0, найдемпостоянную

C = p0

− ρ

ω 2r2

идавление

ω 2

(r 2 − r2 )

p = p0 +

Этойформулесоответствуетэпюрадавлений, изображенная на рис 2.18. Поверхности равных давленийпредставляютсобойпараболоидывраще-

ниясосью,совпадающейсосьювращениясосуда(вала).

Рис. 2.18

Пример 1

Бензобаксамолетаимеетразмерыb 2b c исодержитбензинв количестве, равном одной трети его высоты. Самолет движется горизонтально(α = 0°) спостояннымускорениемa.

Определитьзначениеускоренияa,

при котором свободная поверхность

бензинадостигаетднабензобака.

Решение

Воспользуемся уравнением сво-

Fед

боднойповерхности

Рис. 2.19

z − z

= −

acosα

(x − x ).

asinα +

Тогдаприусловии, чтоприα

=0° sinα

=0, cosα =1, находим

z − z

= − a

(x − x ),

откудаследует

a = −g z − z0 .

x − x

Определив из условия задачи x0=2b, z0=0, x=b, z = 13 b и

подставляявданноеуравнение, получим

a =

1 g.

Пример 2

Цилиндрический сосуд, имею-

щий в центре крышки отверстие,

снабженное пьезометрической труб-

кой, заполнен водой до высоты h в

трубке и приведен во вращение с

угловой скоростью ω относительно

центральной оси.

На какие растягивающие усилия

нужнорассчитыватьгруппыболтовI, II,

еслидиаметрсосудаD, вескрышкиG и

цилиндраG2.

Решение

Воспользуемсяформулойдлядав-

ления в сосуде, равномерно вращаю-

Рис. 2.19

щемсяотносительновертикальнойоси,

полн

= p + ρ ω 2r2 − ρ g (z− z

Вданномрасчетенетнадобностиучитыватьp0,таккаконоравно pатм иуравновешивается такимжедавлением спротивоположной стороныстенки,

p = ρ	ω 2r2	− ρ gz .

изб	2

Наповерхностикрышкидавлениеприусловииz = –h равно

p = ρ

ω 2r2

+ ρ gh .

Усилие, растягивающееболтыгруппыI,

ω 2r2

πρ ω 2 D4

FI = ∫

2πr

+ ρ gh

dr − G1

+ ρ gh

− G1.

Усилие, растягивающее болты группы II,

FII=FI – G2.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.201527.65 Кб3219.Транспорт Латинской Америки.doc
#
13.02.20157.97 Mб32199610.rtf
#
11.03.2016539.14 Кб1391_УчПос_Мульти_КУРСОВАЯ_ТТП_2015.doc
#
13.02.20151.35 Mб602 Законы.doc
#
13.02.20151.11 Mб1542-030101-008 Руководство по расчету крепления.PDF
#
13.02.20151.37 Mб462-Гидромеханика 1.pdf
#
11.03.20162.95 Mб9662. Устройство судна.pdf
#
29.10.2018161.28 Кб112011 СТОМАТ Эзамен вопросы.doc
#
24.09.2019236.89 Кб121-25.docx
#
13.02.201540.45 Кб1121. ВНУТРЕННИЙ ТРАНСПОРТ АФРИКИ.doc
#
13.02.2015828.42 Кб2322_URF_KURSOVOJvariant_moy.doc