2-Гидромеханика 1

41

Глава III

КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ

Разделгидромеханики, рассматривающий формыдвижений жидкости, не касаясь вопроса о силах, под влиянием которых происходят эти движения, называется кинематикой жидкости.

Способы описания движения жидкости

Под жидкостью в данном случае понимается система материальных частиц (точек), образующих непрерывную, сплошную массу, плотность и формы которой могут изменяться каждое мгновение.

1-й способ (способ Лагранжа). В этом способе задают уравнениямитраекториюкаждойдвижущейсячастицыжидкости.

Дано начальное положение – координаты a, b, c. В каждый последующий момент времени t положение её определяется координатами

где a, b, c и t являются аргументами, определяющими значения различных функций, характеризующих движение некоторой фиксированной частички потока, и называются переменными Лагранжа.

Всилуданноговышеопределенияжидкостибудемполагать, что эти функции непрерывны, т. е. что масса жидкости не распадается во время движения на отдельные части.

Уравнениямогутбытьоднозначноразрешеныотносительноa, b, c. Врезультатеэтогоa, b, c будутопределеныкакфункцииотх, у, z, которые дадут ответ на вопрос о том, в каком месте находилась в начальныймоменттаилиинаячастицажидкостискоординатамих, у, z вданныймоментвремени. Призаданиидвижениявпеременных

42

Лагранжапроекциискоростичастицыu, напримерux, определяютпо формуле

ux = dxdt ,

проекцииускорения– поформуле

По этому уравнению можно знать как «историю» движения жидкости, т. е., знаяположениеточки(x, y, z) вданныймомент, мы можемопределить(a, b, c), такиеё«будущее», т.е. влюбоевремяt.

2-йспособ(способЭйлера). Вразличныхточкахнеподвижного пространствазадаютсяуравнениемизмененияскоростивразличные моментывремени.

Это пространство характеризуется «полем скоростей», непрерывноменяющимсявовремени. Датьзаконизмененияэтогополя значитвыразитьскоростьu, аследовательно, иеепроекциинаоси координаткакфункциючетырехаргументов– времениt икоординат х, уиz точекнеподвижногопространства:

u=u(x, y, z, t),

ux =ux (x , y, z, t ), uy =uy (x , y, z, t ), uz =uz(x , y, z, t ), ρ =ρ ( x, y, z, t),

где x, y, z, t – переменные Эйлера.

По этим уравнениям можно определить а) скоростьвлюбыхточкахпространствавлюбоевремя;

43

б) скоростьвданнойточкевлюбоймоментвремени(тогдаx = = const, y = const, z = const);

в) скоростьвданныймоментвремени, новразличныхточках пространства(тогдаt = const).

Второй способ, однако, не может разрешить вопроса о поведении частицы в пространстве.

СвязьмеждууравнениямиЛагранжаиЭйлера:

Интегрируяэтиуравнения, получимx, y, z вфункцииотt итри произвольныепостоянныеa, b, c.

Если в каждой точке неподвижного пространства, занятого движущейсяжидкостью, скоростистечениемвремениизменяются, то движение жидкости называется неустановившимся (уравнения Эйлера). Если скорости не зависят от времени, то движение называетсяустановившимсяиуравненияпринимаютвид

ux=u(x, y, z); uy=u(x, y, z);

uz=u(x, y, z); ρ =ρ (x , y, z) .

Примеромнеустановившегосядвиженияможетслужитьслучай истеченияжидкостиизрезервуарачерезотверстияприпеременном уровне жидкости в нем. В случае истечения жидкости из того же резервуараприпостоянномуровнедвижениебудетустановившимся.

Понятие о вихревом и потенциальном движении жидкости

Учение о движении жидкости основывается на понятии о движении бесконечно малой частицы. Движение твердого тела состоит из поступательного движения u0 и вращательного движения uвр вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс, с угловойскоростьюω .

Значения компонентов угловой скорости

а величина угловой скорости

При движении жидкой частицы к этим двум движениям добавляется движение, обусловленное деформацией частицы. Следовательно,

Движение, прикоторомпроисходитвращениечастицжидкости,

называетсявихревымдвижением.

Движение, прикоторомотсутствуетвращениечастиц(ω = 0),

называют безвихревым движением.

Еслиω = 0, то

ω x = ω y = ω z =0

иследовательно

Безвихревоедвижениеназываютпотенциальным, таккакдля выражения проекций скорости ux, uy, uz можно подобрать функциюΦ, называемуюпотенциаломскорости, частныепроизводные которой

гдеΦ = Φ(x, y, z, t) – потенциалскорости.

Равенство (3.1) является необходимым и достаточным условием для существования такой функции.

45

Пример

Проверим, к какому виду относится движение, заданное в переменныхЭйлера

ux=–3x, uy=3y, uz=0.

Определимкомпонентыугловойскорости:

тогдавеличинаугловойскорости

т. е. данноедвижениепотенциальное.

Линии токов жидкости и вихревые линии

Траектория – кривая, по которой перемещается частица

кости линия тока и траектории движения частиц жидкости, на ней расположенных, совпадают.

Внеустановившемсядвижениилиниитокаитраекториичастиц несовпадают. Каждаячастичканаходитсяналиниитокалишьодно мгновение. Линиятокасуществуеттакжеодномгновенье.

Дифференциальнымуравнениемлинийтоканазываетсяуравнение, полученноеизусловия, чтокасательныеклиниитокасовпадаютс векторомскорости.Направляющиекосинусыугловкасательнойклинии токаравнысоответственно

dxdl , dydl , dzdl ,

46

где dl – элемент дуги на линии тока, dx, dy и dz – проекции этого элементанаосикоординат. Направляющиекосинусыугловвектора скоростислиниямитокасоответственноравны

uux , uuy , uuz .

Из определения понятия линии тока косинусы углов равны

Дифференциальныеуравнениялинийтоковвданныймомент времени

где t являетсяпараметром.

Аналогично можно получить уравнения вихревых линий (линии, в каждой точке которых вектор угловой скорости совпадаетснаправлениемкасательнойкним)

Элементарная струйка жидкости

Поверхность, образуемаялиниямитока, проходящимичерез точки некоторого достаточно малого замкнутого контура,

называется трубкой тока.

47

жении. В установившемся потоке жидкости струйки будут всегда заниматьустойчивоевовремениположениевпространстве.Наоборот, принеустановившемсядвиженииструйкибудутнепрерывноменять своеположение.

СечениеструйкиповерхностьюdS, нормальнойклиниямтока,

называетсяживымсечением.

Объемное количество жидкости, протекающее в единицу времени через какое-либо живое сечение струйки, называется расходомэлементарнойструйкиδ Q. Отношение

δQ = v

δS

называетсясреднейскоростьювданномпоперечномсеченииструйки. Дляэлементарнойструйки, имеющейбесконечномалыеплощади сечений, можно считать истинную скорость u одинаковой во всех точках каждого сечения. Из данного отношения найдем формулу расходаэлементарнойструйки

δ Q = δ S u.

Уравнение неразрывности жидкости

Условие неразрывности налагает определенные зависи-

потоком, элементарный неподвижный прямоугольный параллелепипед с ребрами δ x, δ y и δ z, через который протекает (втекает и вытекает) жидкость (рис. 3.5). Условие неразрывности требует, чтобы рассматриваемый объем всегда был заполнен полностью протекающей жидкостью.

48

Масса поступающего объема жидкости через грань δ z δ y, ближайшуюкплоскостиy0z,

ρ ux δ y δ z dt.

Масса вытекшего объема жидкости через грань δ z δ y, параллельную первой,

и выходят через противоположные грани, параллельные этим площадкам,

номассажидкостивмоментвремениt быларавнаρ δ x δ y δ z, ачерез dt, еслинепроизошлоразрыважидкости,

Изменение(уменьшение) массызавремяdt

∂∂ ρt δ xδ δy zdt.

Приравнивая эти две величины, получим условие неразрывностижидкости

49

Дифференциальноеуравнениенеразрывностижидкостивформе Эйлера

Таккакжидкостьнесжимаема, тоэтоуравнениеговоритотом, чтообъемжидкости, втекающейвпараллелепипед, равенобъему, вытекающемуизнего.

Пример

Движениежидкостиприусловииρ = const заданоуравнениями

Подставляянайденныезначениявуравнениенеразрывности, получаем

Еслибыдвижениебылозадановвиде

ux = –3x, uy = –3y, uz = 0,

тоуравнениенеразрывностинесоблюдалосьбы, чтосвидетельствует онарушениисплошностипотока.

Поток жидкости

Поток жидкости – совокупность элементарных струек жидкости, движущихсясразличнымискоростями.

Потокжидкости– движениемассыжидкости, ограниченной системойповерхностейтвердыхигазообразныхтел.

Вкачествеобщегопримераможноуказатьнапотоквреке. Здесь потокограниченчастичнонеподвижнойповерхностьюложа,частично

– воздухом на свободной поверхности. Поток жидкости в трубе,

50

работающейполнымсечением, являетсяпримеромпотока, ограниченноголишьповерхностьютвердоготела– стенкамитрубы. Струя, вытекающаяизбрандспойтаилиотверстиявсосуде, представляет собой пример потока, ограниченного лишь окружающей средой, напримервоздухом.

Соответственно перечисленным случаям потоки делятся на

1)безнапорныепотоки, т. е. потоки, ограниченныетвердыми стенками, ноимеющимисвободнуюповерхность, например поток в канале;

2)напорные потоки, т. е. потоки, не имеющие свободной поверхности, например поток в водопроводной трубе;

3)гидравлические струи, т. е. потоки, ограниченные лишь жидкостной или газовой средой.

Живое сечение потока – поверхность, проведенная в потоке перпендикулярно линиям тока.

Площадь живого сечения потока

S = ∫ dS ,

S

гдеdS – площадьэлементарнойструйки.

Объемжидкости, проходящейвединицувременичерезживое сечениепотока, называетсярасходомпотокаиравенсуммерасходов элементарныхструек

Q = ∫dQ = ∫u dS.

S S

РазделиврасходQ наплощадьживогосеченияS, получим

Q/S = v.

Вообщескоростидвиженияжидкостивразличныхточкахсечения будутразличными,ипотомусреднююскоростьдлявсегосечениянужно пониматькакнекотороеабстрактноепредставление.

Средняяскоростьвсечениипредставляетсобойодинаковую для всех точек сечения скорость, при которой через сечение проходит такой расход, какой фактически имеет место при действительных скоростях.

Уравнение неразрывности для потока с установившимся движением

Q = v1S1 = v2 S2 = … = vi Si = const.