Упругий удар Цель работы: исследование удара, изучение законов сохранения импульса и механической энергии при ударе.

Основные теоретические положения

Удар – совокупность явлений, возникающих при кратковременном приложении к телу внешних сил, например, при взаимодействии с другим движущимся относительно него телом, связанных со значительным изменением его скорости за очень короткий промежуток времени.

Абсолютно неупругим называют такой удар, после которого скорости обоих соударяющихся тел оказываются одинаковыми.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает – кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса и имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней.

А

Рис. 5.1. Упругое соударение шаров

бсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. Потенциальная энергия упругой деформации вновь переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина которых определяется двумя условиями – сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел. Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар двух шаров.

Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры.

Пусть шары массами и движутся до соударения со скоростями и, а после соударения со скоростямии (рис. 5.1). Согласно закону сохранения импульса

.

Выберем ось x в направлении движения шаров, тогда в проекции на эту ось закон сохранения импульса принимает вид

. (5.1)

На основании закона сохранения энергии имеем

. (5.2)

Сгруппировав слагаемые с одинаковыми индексами, перепишем эти равенства в виде

, (5.3)

. (5.4)

Поделив (5.4) на (5.3), получим

(5.5)

или

. (5.6)

Таким образом, при абсолютно упругом ударе относительная скорость шаров остается неизменной величиной.

Решая совместно уравнения (5.5) и (5.3), получим

, (5.7)

. (5.8)

Рассмотрим два частных случая.

1. Сумма импульсов обоих шаров до ударов равна нулю, то есть

, (5.9)

тогда , ,

отсюда, применяя (5.9), находим: ,, то есть скорости обоих шаров при ударе только изменяют свой знак.

2. Один шар до удара покоится . Тогда

, .

После удара второй шар двинется в ту же сторону, куда двигался первый до удара. Скорость и поведение первого шара зависит от соотношения масс шаров.

а) Если , то первый шар продолжает двигаться в том же направлении, что и до удара, но с меньшей скоростью. Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого до удара.

б) Если , то направление движения первого шара при ударе изменяется – шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту сторону, в которую двигался первый до удара, но с меньшей скоростью.

в) Массы шаров одинаковы , тогда,, то есть шары при ударе обмениваются скоростями. В случае абсолютно неупругого удара:

, (5.10)

где – одинаковая для обоих шаров скорость после удара.

Из (5.10) следует, что . (5.11)

В частном случае, когда массы шаров равны, .

В случае нецентрального удара можно разложить скорости шаров на составляющие ив направлении линии центров иив перпендикулярном направлении, а затем написать два уравнения, выражающие закон сохранения импульса для соответствующих составляющих:

, (5.12)

. (5.13)

Так как , то закон сохранения энергии после сокращения на множитель ½ можно написать в виде

. (5.14)

Для четырех неизвестных компонент скорости ,,иполучили только три уравнения. Но, поскольку мы сделали предположение, что энергия при ударе сохраняется, мы должны считать, что силы трения отсутствуют, то есть шары абсолютно гладкие. Из этого следует, что при ударе не могут измениться тангенциальные составляющие скоростей, так как для этого нужны тангенциальные силы, которые между абсолютно гладкими шарами возникнуть не могут. Поэтому вместо (5.13) можно записать

.

Соответствующие слагаемые в (5.14) сократятся, и для нормальных составляющих мы получим два уравнения:

. (5.15)

Эти уравнения совершенно аналогичны тем, которые были получены для центрального удара. Таким образом, при нецентральном абсолютно упругом ударе гладких шаров нормальные составляющие скоростей ведут себя так же, как при центральном ударе; тангенциальные же составляющие не изменяются.

В

Рис. 5.2. Соударение шаров

случае не абсолютно упругого удара часть кинетической энергии шаров при соударении переходит в энергию остаточной деформации. Тогда. Отсюда можно получить, что, то есть при неупругом ударе относительная скорость их меняет свое направление на противоположное, уменьшаясь в то же время по абсолютной величине.

Неупругий удар сопровождается остаточной деформацией. Если пре­не­бречь всякого рода сопротивлениями, закон сохранения энергии для удара двух одинаковых шаров запишется так

, (5.16)

где – энергия остаточной деформации одного шара, относящаяся к одному соударению.

Экспериментальная установка и методика измерений

Схема лабораторной установки показана на рис. 5.3. К штативу3 на бифилярных подвесах 4 и 5 прикреплены два шара 1 и 2. Бифилярный подвес используется для исключения вращения шаров. Шарики подвешены так, что их центры находятся на одном уровне, а сами шарики соприкасаются.

На столе под шариками в плоскости их колебания размещена линейка 6 (рис. 5.3).

О

Рис. 5.3. Схема установки

тведем один из шаров (например, большой) на некоторый уголθ (рис. 5,4) и отпустим без начальной скорости. Отклоненный шар будет двигаться вниз, разгоняясь, при этом его потенциальная энергия будет переходить в кинетическую. Пусть столкновение со вторым шаром происходит в тот момент, когда подвес первого шара становится вертикально. Если удар происходит достаточно быстро, так, что нити во время удара не успевают отклониться на заметный угол, то в направлении горизонтальной оси x не возникает внешних сил и выполняется закон сохранения импульса в проекции на эту ось

. (5.17)

По закону сохранения механической энергии (рис. 5.3)

, (5.18)

г

Рис. 5.4. Соударение шаров

де– масса шара,– ускорение свободного падения,– высота шара в отведенном положении относительно нижней точки траектории,– скорость первого шара в нижней точке перед соударением со вторым. Из рис. 5.4. видно, что, где– расстояние от точки подвеса до центра тяжести шара.

При достаточно малых отклонениях (≤ 5°)

.

Тогда с учетом приближенного равенства , где x₁ – горизонтальное смещение шара, можно записать

. (5.19)

Из соотношений (5.18) и (5.19) получаем

. (5.20)

После удара оба шарика отклонятся от положения равновесия на расстояния ии приобретут скоростиu₁ и u₂:

, . (5.21)

Подставляя эти соотношения в закон сохранения импульса (5.17), после несложных преобразований получаем

(5.22)

Задание 1. Проверка соотношения (5.22).

Экспериментально проводится в следующей последовательности: большой шарик отклоняется из положения равновесия на фиксированную величину x₁, и после соударения по шкалам визуально определяются отклонения шаров и. Опыт повторяют 5–7 раз.

Если в эксперименте отклоняется шарик меньшей массы, то при ударе о шар большей массы он отскакивает в противоположную сторону.

В этом случае ,,.

После подстановки в закон сохранения импульса получим

. (5.23)

Задание 2. Проверка соотношения (5.23).

Эксперимент проводят точно так же, как и в предыдущем случае.

Задание 3. Реальные тела являются промежуточными между телами абсолютно упругими и абсолютно неупругими, поэтому при соударении реальных тел всегда имеют место и упругие, и остаточные деформации. Коэффициент восстановления скорости определяется как отношение относительной скорости шаров после удара к относительной скорости шаров до удара:

. (5.24)

В случае первоначального отклонения большего шара формула (5.24) с учетом (5.20) и (5.21) преобразуется к виду

. (5.25)

Для абсолютно упругого удара =1. При столкновении реальных шаров<1. При ударе стальных шаров= 0,56, для шаров из слоновой кости= 0,89, для свинцовых шаровблизко к нулю.

В случае первоначального отклонения меньшего шара формула (5.25) с учетом (5.21) и (5.22) преобразуется к виду

. (5.26)

Кроме коэффициента восстановления скорости соударение тел характеризуется коэффициентом восстановления энергии, равным отношению кинетической энергии тел после удара к их кинетической энергии до удара:

. (5.27)

Учитывая, что скорость второго шара до удара = 0 и подставляя для скоростей выражения (5.20) и (5.21), находим рабочую формулу для коэффициента восстановления энергии:

. (5.28)

Обработка результатов эксперимента

1. Найдите средние значения величины отскока шаров после удара ипо формулам (5.22) и (5.23), соответственно.

2. Используя средние значения ипо формулам (5.25),(5.26) и (5.28) определите коэффициенты восстановления скоростии энергии.

3. По методике расчета случайных погрешностей прямых измерений найдите погрешности измерения отклонений и.

4. Найдите погрешность определения по методике вычисления погрешностей косвенных измерений:

а) для случая отклонения большего шара

; (5.29)

б) для случая отклонения меньшего шара

. (5.30)

5. Сравните полученное из эксперимента значение x₁ с учетом его приборной погрешности, то есть со значением x₁, рассчитанным по формуле (5.22) или (5.23). Приборную погрешность определите по цене деления линейки.

6. Погрешность определения коэффициента восстановления скорости определяется по формуле

. (5.31)

7. Погрешность определения коэффициента восстановления энергии определяется по формуле

. (5.32)

Л

Х

абораторная работа 6