Ускорение свободного падения

Цель работы:изучение закона всемирного тяготения, кинематики материальной точки, экспериментальное определение ускорения свободного падения из кинематического уравнения.

Основные теоретические положения

Гравитационное взаимодействие лежит в основе многих механических явлений. Оно возникает между любыми видами материи и является одним из фундаментальных взаимодействий. Гравитационное взаимодействие осуществляется посредством гравитационного поля. Всякое тело изменяет свойства окружающего его пространства, создавая в нем гравитационное поле. Это поле проявляет себя в том, что на помещенное в него другое тело действует сила.

С

Рис. 2.1. Иллюстрация закона всемирного тяготения

ила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками, в соответствии с законом всемирного тяготения (Ньютон, 1678 г.) пропорциональна произведению масс материальных точеки, обратно пропорциональна квадрату расстояниямежду ними (рис.2.1).Силы направлены по прямой, соединяющей материальные точки, и в векторном виде записываются в следующем виде:

(2.1)

где и– силы, действующие на соответствующие материальные точки,– радиус-вектор, направленный от первой точки ко второй,– гравитационная постоянная.

Формулы (2.1) справедливы для материальных точек, то есть тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними, а так же в случае тел сферической формы (однородные шары, шаровые оболочки), размерами которых пренебречь нельзя, при этом под следует понимать расстояние между центрами тел. Во всех остальных случаях формулы (2.1) неприменимы.

Согласно формуле (2.1) на всякое тело, находящееся вблизи поверхности Земли действует сила , где– единичный вектор, направленный от центра Земли к телу. При, гравитационное поле Земли можно считать однородным и силу можно представить в виде, где– вектор ускорения свободного падения, направленный к центру Земли. Для среднего значения радиуса Землиего величина равна.

Получим кинематические уравнения для материальной точки, движущейся с постоянным вектором ускорения , то есть в поле однородной силы тяжести.

По определению вектор ускорения материальной точки есть первая производная по времени от вектора скорости , отсюда

. (2.2)

Проинтегрируем последнее уравнение с учётом, что :

,

отсюда

, (2.3)

где ,– скорости материальной точки в начальный момент времении в некоторый последующий момент времени. Положив, получаем кинематическое уравнение для вектора скорости

(2.4)

Используя определение вектора скорости материальной точки , преобразуем уравнение (2.4) к виду

. (2.5)

Проинтегрируем уравнение (2.5)

, (2.6)

где и– радиус-векторы точки в моменты времении, соответственно. Из (2.6) получим

. (2.7)

В проекциях на ось OXдекартовой системы координат кинематические уравнения (2.4) и (2.7) имеют вид

и , (2.8)

где ,– проекции соответствующих векторов на осьOX. Уравнения (2.4) и (2.7) в проекциях на осиOYи OZимеют аналогичный вид.

Получим из (2.8) кинематические уравнения для тела, падающего с некоторой высоты с нулевой начальной скоростью. Начало отсчёта осиOYсвяжем с уровнем, относительно которого отсчитывается высота, ось направим вертикально вверх. Представим вектора, в координатной записи,,. Так как проекции векторов на осиOX,OZравны нулю, то получаем уравнения только в проекциях на осьOY:

и . (2.9)

Из (2.9) следует формула связи высоты со временем, за которое совершается падение тела. Так как тело упало, то , отсюда

. (2.10)