Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Теория поля

Индивидуальные задания

Пособие разработано ассистентом Оглезневой А. Н.. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007

Образец решения варианта.

Пример 1: Найти производную скалярного поляв точкепо направлению

1. вектора

2. нормали к поверхности :, образующей острый угол с положительным направлением оси

3. перпендикулярному к поверхности уровня функции , проходящей через точку.

Решение:

Производную по направлению ищем по формуле:

,

,

,

1. Найдем вектор , т.е.,

Т.к. , тогда получаем.

Таким образом

.

2. Найдем вектор , т.е., где‑ вектор нормали к поверхности.

Тогда ,

Получаем ,,.

Заметим, что , то найденный вектор образует острый угол с осью, следовательно, требование задачи выполнено.

Таким образом

.

3. Найдем поверхность уровня функции , проходящей через точку:

.

Получаем поверхность :.

Аналогично предыдущему пункту находим вектор , где‑ вектор перпендикулярный поверхности уровня

,,

,,

Таким образом

.

Пример 2:Найти градиент скалярного поля

1. 

2. . Построить поверхности уровня для заданных значений.

Решение

1. По определению градиента скалярного поля .

Находим частные производные функции :

,,

Таким образом .

2. Аналогично пункту а), получим:

,,

Таким образом .

Построим поверхности уровня:

Тогда ,‑ конус с вершиной в начале координат.

Если , то:

Однополостный Двуполостный

гиперболоид вращения гиперболоид вращения

вокруг оси вокруг оси

Пример 3:Найти векторные линии векторного поля:

1. 

2. 

Решение:

1. Согласно определению, векторных линий:

, или.

Решая систему, получаем . Таким образом, векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси, лежащие в плоскостях, перпендикулярных этой оси.

2. Аналогично предыдущему пункту, составляем систему

.

Решим ее методом составления интегрируемых комбинаций:

Равенство образует первую интегрируемую комбинацию. Получаем. Для получения еще одной интегрируемой комбинации используем свойство пропорции:.

Тогда, в нашем случае . Интегрируя данное равенство, получаем.

Таким образом, векторные линии задаются системой:

Т.е. векторные линии данного поля являются линиями пересечения гиперболических цилиндров с плоскостями.

Пример 4.Вычислить поток векторного полячерез внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра, ограниченного плоскостями.

Решение:

Вычислим поток векторного поля по формуле:

, где‑ нормальный единичный вектор к поверхности. Найдем вектор. Запишем уравнение поверхностив неявном виде:.

Тогда . Т.к.(по условию задачи), тообразует острый угол с осью:

Следовательно, .

Поток векторного поля . Спроектируем поверхность:на плоскость, получим область, ограниченную линиями:.

=

Таким образом,

(применяя подстановку, получаем) =.

Пример 5.Вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону части поверхности , расположенной над плоскостью.

Решение:

Замкнем данную поверхность куском плоскости , который ограничен окружностью. Тогда можем применить формулу Гаусса-Остроградского.

Пусть ‑ объем полученного тела, ограниченного замкнутой кусочно-гладкой поверхностью, состоящей из частипараболоида вращенияи частиплоскости.

Поток данного векторного поля через поверхность по теореме Гаусса-Остроградского равен:

, где.

.

Следовательно, поток

.

В силу аддитивности потока будем иметь

Отсюда искомый поток

Найдем . Так как на плоскости, имеем

,и тогда

Таким образом, поток через кругбудет равен площади круга:.

Искомый поток .

Пример 6.Вычислить работу векторного полявдоль линии, являющейся пересечением параболического цилиндрас плоскостьюот точкидо точки.

Решение:

Зададим линию параметрически: положив, получим, а. Тогда,,. Точкесоответствует значение параметра, а точке‑ значение.

Таким образом:

.

Пример 7. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль периметра треугольника с вершинами .

Решение:

По определению циркуляции , получаем

.

На отрезке , следовательно

.

На отрезке , следовательно

.

На отрезке , следовательно

.

Следовательно,

Пример 8. Найти циркуляцию векторапо контурунепосредственно и по формуле Стокса.

Решение:

Iспособ.

Контур - окружность радиуса, лежащая в плоскости. Выберем ориентацию как показано на рисунке, т.е. против часовой стрелки. Параметрические уравнения окружности имеют вид, так что

IIспособ.

Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность , натянутую на контур. Естественно в качествевзять круг, имеющий контурсвоей границей. Уравнение поверхностиимеет вид:. Согласно выбранной ориентации контура нормаль к поверхности необходимо взять равной.

Далее .

В силу теоремы Стокса

Пример 9. Доказать, что векторное полеявляется потенциальным. Найти его потенциал.

Решение:

Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является равенство нулю вихря поля. В нашем случае

.

Таким образом, поле является потенциальным.

Обозначим - искомый потенциал. По определению потенциального поля, поле градиента искомой функциидолжно совпадать с векторным полем. Поэтому

. Отсюда, где- некоторая функция аргументови. Из условия, можно сделать вывод, что. Таким образом,. Неопределенную функциюнайдем из условия. Решением последнего уравнения является функция.

В итоге потенциал имеет вид .

Пример 10. Пусть- произвольные векторные поля. Показать, что(символомобозначено скалярное произведение векторов).

Решение:

Пусть и- произвольные векторные поля. Найдем векторное произведение.

.