7.2. Задачи и упражнения

7.1. Распределение студентов одного из факультетов по воз­расту характеризуется следующими данными:

Возраст студентов, лет	17	18	19	20	21	22	23	24	Всего
Число студентов	20	80	90	110	130	170	90	60	750

Вычислите: а) размах вариации; б) среднее линейное откло­нение; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; д) относительные показатели вариации возраста студентов.

7.2. Определите среднюю длину пробега автофургона торгово-посреднической фирмы и вычислите все показатели вариации, если известны:

Длина пробега за один рейс, км	Число рейсов за квартал
30-50	20
50-70	25
70-90	14
90-110	18
110-130	9
130-150	6
Всего	92

7.3. Имеется следующий ряд распределения телеграмм, при­нятых отделением связи, по числу слов:

Количество слов в телеграмме	Число телеграмм
12	18
13	22
14	34
15	26
16	20
17	13
18	7
Итого	140

Рассчитайте абсолютные и относительные показатели вариации.

7.4. Средняя урожайность зерновых культур в двух районах за 1991-1995 гг. характеризуется следующими данными, ц/га:

	1991	1992	1993	1994	1995
1-й район	30	20	23	16	22
2-й район	25	34	30	28	29

Рассчитайте все показатели вариации. Определите, в каком районе урожайность зерновых культур более устойчива.

7.5. Имеются следующие данные выборочного обследования студентов одного из вузов:

Затраты времени на дорогу до ин­ститута, ч	Число студентов, % к итогу
До 0,5	7
0,5-1,0	18
1,0-1,5	32
1,5-2,0	37
Свыше 2,0	6
Всего	100

Вычислите абсолютные и относительные показатели вариа­ции.

7.6. Имеются следующие данные о распределении скважин в одном из районов бурения по глубине:

Группы скважин по глубине, м	Число скважин
До 500	4
500-1000	9
1000-1500	17
1500-2000	8
Свыше 2000	2
Итого	40

Определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение глубины скважин, применяя способ моментов и отсчета от ус­ловного нуля.

7.7. Акционерные общества области по среднесписочной численности работающих на 1 января 1998 г. распределялись следующим образом:

Группы АО по среднесписочной численности работающих	До 400	400-600	600-800	800-1000	1000-1200	1200-1400	1400-1600	1600-1800	Итого
Количество АО	11	23	36	42	28	17	9	4	170

Рассчитайте: а) среднее линейное отклонение; б) диспер­сию; в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации.

7.8. По данным о распределении сельских населенных пунк­тов по числу дворов вычислите общую дисперсию тремя спосо­бами: а) обычным; б) упрощенным; в) по формуле .

Населенные пункты по числу дворов	Число населенных пунктов, % к итогу
До 100	15,5
101-200	28,6
201-300	21,7
301-400	20,3
Свыше 400	13,9
Итого	100,0

7.9. Имеются следующие данные о распределении сотрудни­ков коммерческого банка по среднемесячной заработной плате:

Группы сотрудников по среднемесячной заработной плате, тыс. руб.	Количество сотрудников, чел.
До 3	14
3-4	22
4-5	25
5-6	29
6-7	10
7-8	8
8-9	6
9-10	5
Свыше 10	3
Итого	122

Определите общую дисперсию тремя способами: а) обычным; б) упрощенным; в) по формуле .

7.10. Средняя величина признака в совокупности равна 19, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака – 397. Определите коэффициент вариации.

7.11. Дисперсия признака равна 9, средний квадрат индиви­дуальных его значений – 130. Чему равна средняя?

7.12. Средняя величина в совокупности равна 16, среднее квадратическое отклонение – 8. Определите средний квадрат индивидуальных значений этого признака.

7.13. Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины равен 100, а средняя – 15. Определите, чему равен средний квадрат отклонений индивиду­альных значений признака от величины, равной 10 и 25.

7.14. Средняя величина признака равна 14, а дисперсия – 60. Определите средний квадрат отклонений вариантов признака от 19.

7.15. Средний квадрат отклонений вариантов признака от произвольной величины равен 300, а сама произвольная величи­на равна 70 единицам. Определите дисперсию признака, если известно, что средняя величина его варианта равна 80.

7.16. Средний квадрат отклонений вариантов признака от некоторой произвольной величины равен 61. Средняя величина признака больше произвольной величины на 6 единиц и равна 10. Найдите коэффициент вариации.

7.17. Если дисперсия равна 20 000 единицам, а коэффициент вариации – 30%, то каков будет средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от величины, равной 250 единицам?

7.18. По данным таблицы о распределении пряжи по крепо­сти нити вычислите все виды дисперсий. Определите общую дисперсию по правилу сложения дисперсий.

1 группа пряжи (менее крепкая)		II группа пряжи (более крепкая)
Крепость нити, г	Число проб	Крепость нити, г	Число проб
120-130	2	200-210	25
130-140	6	210-220	28
140-150	8	220-230	16
150-160	15	230-240	10
160-170	25	240-250	8
170-180	29	250-260	7
180-190	35	260-270	5
190-200	30

7.19. Товарооборот по предприятиям общественного питания на одного работника за квартал характеризуется следующими данными:

Предприятие	Доля предприя­тий в общей численности работников, %	Товарооборот в расчете на одного работни­ка, тыс. руб.	Дисперсия товарооборота в группе
Столовые Кафе, закусочные Рестораны	35 50 15	13 20 26	3,29 36,00 9,00

Определите все виды дисперсий товарооборота предприятий общественного питания.

7.20. Имеются данные о распределении семей сотрудников финансовой корпорации по количеству детей:

Число детей в семье	Число семей сотрудников по подразделениям
	первое	второе	третье
0	4	7	5
1	6	10	13
2	3	3	3
3	2	1	-

Вычислите: а) внутригрупповые дисперсии; б) среднюю из внутригрупповых дисперсий; в) межгрупповую дисперсию; г) общую дисперсию. Проверьте правильность произведения рас­четов с помощью правила сложения дисперсий.

7.21. Распределение основных фондов по малым предприя­тиям отрасли характеризуется следующими данными:

Группы предприятий по стоимости основных фондов, тыс. руб.	Число предприятий	Основные фонды в среднем на предприятии, тыс. руб.	Групповые дисперсии
12-27	18	18	1,14
27-42	40	32	1,09
42-57	26	48	1,69
57-72	12	69	1,84

Рассчитайте коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.

7.22. Имеются следующие данные, характеризующие фермер­ские хозяйства региона:

Группы хозяйств по стои­мости удобрений на 1 га зерновых, тыс. руб.	Число хозяйств	Средняя урожай­ность, ц/га	Дисперсия урожайности в группе
До 1	6	27	6,25
1-2	10	30	3,61
2 и более	7	34	8,41

Определите коэффициент детерминации и эмпирическое кор­реляционное отношение при условии, что посевные площади под зерновыми культурами во всех хозяйствах одинаковы. Сде­лайте выводы.

7.23. Распределение стоимости продукции, предназначенной для экспортных поставок, по цехам предприятия представлено следующими данными:

Цех	Стоимость всей произведенной продукции, тыс. руб.	В том числе стоимость экспортной продукции, тыс. руб.
1	340	110
2	290	140
3	180	180
Итого	810		410

Вычислите: а) среднюю из внутригрупповых, межгрупповую и общую дисперсию дисперсии доли экспортной продукции; б) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

7.24. Имеются данные о распределении семей города по числу детей.

Число детей	0	1	2	3	4	5	Итого
Число семей, % к итогу	10	26	29	17	13	5	100

Используя центральные моменты первых четырех порядков, рассчитайте коэффициенты асимметрии и эксцесса. Сделайте выводы.

7.25. Распределение магазинов по размеру товарооборота за октябрь 1996 г. характеризуется следующими данными:

Группы магазинов по размеру товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов	Группы магазинов по размеру товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов
До 200	12	500-600	15
200-300	14	600-700	7
300-400	18	700-800	6
400-50	23	Свыше 800	4
Итого	-	-	100

Определите показатели асимметрии и эксцесса распределе­ния магазинов по размеру товарооборота. Сделайте выводы.

7.26. При исследовании трудовой активности сотрудников организации (отработано человеко-дней за год) получены сред­ние величины и центральные моменты:

	Для мужчин	Для женщин
Центральные моменты	240	180
	1200	2300
	-4800	34500
	3483000	16835000

Используя показатели асимметрии и эксцесса, сравните ха­рактер распределения мужчин и женщин по трудовой активнос­ти. Сделайте выводы.

7.27. По данным выборочных обследований домашних хо­зяйств получены средние величины и центральные моменты:

	Для годичного зара­ботка главы семьи	Для среднедушевого дохода семей
Центральные моменты	11,8 540,0 6800,0 830000,0	1 540 13800 1490000

На основе показателей асимметрии и эксцесса сравните ха­рактер распределения домашних хозяйств по годичному заработку главы семьи и среднедушевому доходу. Сделайте выводы.

7.28. Распределение 1000 семей по уровню душевого дохода за месяц характеризуется следующими данными:

Группы семей по среднедушевому доходу в месяц, руб.	Число семей	Частоты теоретического распределения
		нормального	логарифми­чески-нормального
до 500	50	57	63
500-600	100	90	118
600-700	182	170	189
700-800	163	156	170
800-900	150	148	154
900-1000	120	115	138
1000-1100	107	113	90
1100-1200	70	86	56
1200-1300	48	52	20
1300 и более	10	13	2
Итого	1000	1000	1000

На основе критерия χ² проверьте, согласуется ли распределе­ние семей по среднедушевому доходу с нормальным или лога­рифмически-нормальным распределением с вероятностью 0,95.

7.29. По данным задачи 7.28 проверьте близость эмпиричес­кого и теоретического распределений с помощью критериев Романовского и Колмогорова.

7.30. Результаты экзамена по теории статистики в одной из студенческих групп представлены в таблице:

Экзаменационные оценки	Отлично (5)	Хорошо (4)	Удовлетворительно (3)	Неудовлетворительно (2)	Итого
Число оценок	6	15	4	2	27

Найдите модальный и медианные баллы успеваемости сту­дентов.

7.31. При изучении качества семян пшеницы было получено следующее распределение семян по проценту всхожести:

Процент всхожести	70	75	80	85	90	92	95	Свыше 95	Итого
Число проб, % к итогу	2	4	7	29	46	8	3	1	100

Рассчитайте моду и медиану.

7.32. Вычислите моду и медиану количественного состава семей города на основании следующего их распределения по числу совместно проживающих членов семьи:

Число членов семьи	2	3	4	5	6	7	Итого
Число семей, % к итогу	15	34	25	16	8	2	100

7.33. С целью исследования качества деталей на предприя­тии проверена партия из 100 деталей. Результаты представлены в следующей таблице:

Группы деталей по весу, г	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100	100-110	110-120	Итого
Число деталей	2	4	12	18	21	24	11	8	100

Определите моду, медиану, квартили и децили.

7.34. По нижеследующим данным вычислите моду, медиану и квартили.

Группы порций торфа по влажности, %	Число проб	Группы порций торфа по влажности, %	Число проб
20-22	18	26-28	20
22-24	26	28-30	12
24-26	34	30-32	6
Итого	-	-	116

7.35. Рассчитайте моду, медиану, квартили и децили по дан­ным задачи 7.25.

7.36. Определите моду, медиану, квартили и децили по дан­ным задачи 7.28.