11. Обтекание препятствий открытым потоком.

11.1 Обтекание препятствия плоским потоком идеальной жидкости.

С точки зрения инженерных приложений интересен случай обтекания открытым потоком различных препятствий. Точное решение задачи об обтекании препятствий – в частности, определение положения свободной поверхности, определение силы, действующей на препятствие затруднительно. Поэтому часто используют решения, полученные в рамках модели идеальной жидкости, тем более, что качественного анализа решения бывает достаточно.

Рассмотрим поток над выступом в дне канала, рис 11.1 Задачу решаем в одномерной постановке и вертикальную компоненту скорости не учитываем; поэтому горизонтальная скорость постоянна по глубине потока. Предполагается, что кривизна линий тока мала, а распределение давления по вертикали подчиняется гидростатическому закону. При рассмотрении коротких переходных участков с препятствиями потерями энергии в первом приближении возможно пренебречь.

Выше по течению от выступа равномерный поток, параллельный дну канала. Для любого сечения применимо уравнение Бернулли в виде (для идеальной жидкости) . (11.1)

Уравнение неразрывности также применимо для любого сечения потока и при постоянной ширине канала (или для плоского потока) имеет вид:

(11.2)

В уравнениях (11.1) и (11.2) приняты следующие обозначения: – скорость потока,– глубина потока, то есть расстояние от свободной поверхности до дна,- высота препятствия над дном (в общем случае переменная вдоль потока).

Дно канала перед препятствием положим горизонтальным, что закономерно для потока идеальной жидкости, так как силы сопротивления отсутствуют и при наличии любого уклона дна, поток перед препятствием не был бы равномерным.

Дифференцируем (11.1) и (11.2) по x и получаем (x – координата, отсчитываемая вдоль потока)

(11.3)

(11.4)

Исключив из общих уравнений , получим уравнение для уклона свободной поверхности:

. (11.5)

В некоторой точке О на выступе всегда = 0 и при этом, если число Фрудане равно единице – поэтому при числе Фрудане равно и единице точки экстремума на линии дна и на линии свободной поверхности находятся в одном сечении. Далее, если существует такое сечение потока, в котороми при этом, то знаменатель в правой части (11.5) должен быть равен нулю и, то есть в этом сечении должна иметь место критическая глубина.

Используя уравнение (11.5) сделаем выводы о характере возмущений свободной поверхности потока над препятствием. Рассмотрим отдельно случаи, когда набегающий поток бурный и спокойный.

Допустим в начале, что до препятствия поток бурный, то есть . В начальной части препятствия, знаменатель правой части (11.5) отрицательный и как следует из (11.5), то есть глубина при набегании потока на выступ возрастает. Свободная поверхность при обтекании

выступа бурным потоком будет иметь вид, как на рисунке 11.2. Аналогично можно показать, что при набегании спокойного потока на выступ глубина уменьшается. Картина обтекания препятствия при спокойном состоянии набегающего потока будет такой как показана на рис. 11.3.

Таким образом, о спокойном или бурном состоянии потока можно судить по виду его свободной поверхности если на дне его находится какое-либо препятствие. Спокойный поток понижает свободную поверхность воды над препятствием, а бурный повышает. Это происходит потому, что спокойный поток, переходя препятствие, теряет часть своей потенциальной энергии и уровень понижается. В бурном потоке теряется кинетическая энергия, поэтому скорость потока уменьшается, а уровень свободной поверхности повышается. При плавном изменении очертаний дна свободная поверхность бурного потока повторяет форму дна русла и это используется для управления бурными потоками. В данном случае плоского потока идеальной жидкости возможно найти форму свободной поверхности, зная очертания препятствия на дне.

Из (11.1) следует

(11.6)

подставляя в которое выражение для скорости из уравнения неразрывности (11.2) получим

(11.7)

Если известно очертание выступа, то есть , то решая (11.7), преобразованное к виду

(11.8)

можно определить , а следовательно и очертания свободной поверхности потока. Уравнение (11.8) имеет три действительных корня: два положительных (соответствующих спокойному и бурному потоку) и один отрицательный. Необходимо сделать оговорку, что при наличии возмущений на свободной поверхности движение, строго говоря, уже не будет одномерным, хотя бы потому, что вектор скорости будет иметь ненулевую проекцию по вертикали (на ось).

Если и , то есть имеет место медленное изменение высоты препятствия вдоль потока при большой глубине H относительно высоты препятствия, то условие плавноизменяемости будет выполняться достаточно точно и решения уравнения (11.8) могут быть полезными для практических расчётов. В действительности при обтекании препятствия потоком реальной жидкости почти всегда образуются волны, которые распространяются вниз по течению и одна из составляющих результирующей силы, действующей на выступ, называется волновым сопротивлением. В рассмотренном нами случае обтекания выступа плоским потоком идеальной жидкости, как можно показать, волновое сопротивление равно нулю. Это позволяет предположить, что именно допущение об одномерности потока является причиной отсутствия волнового сопротивления.