10.2 Скорость распространения волн на поверхности потока.

Применим такую схему расчета, которая позволяла бы рассматривать установившееся движение. Имея в виду, что положение волны меняется, представим возмущение на поверхности потока движущегося с такой скоростью, чтобы она была равна скорости распространения волны.

Представим одиночную волну малой высоты , перемещающуюся по свободной поверхности со скоростьюв плоском потоке глубиной. Малая высота волны в данном случае означает, что ее высота значительно меньше ее длины, т.е.>>. Поток жидкости движется с такой же скоростью, что и волна, но в противоположном направлении; тогда процесс распространения волны можно рассматривать как стационарный. Площадь живого сечения в сечении 2, рис. 10.3 несколько увеличивается, что приводит к незначительному уменьшению скорости течения до значения<. Не учитывая потерь энергии и принимая распределение скоростей по сечению равномерным, применим уравнение Бернулли к сечениям 1 и 2, рис. 10.3:

. (10.2)

Уравнение неразрывности для потока единичной ширины

, откуда . (10.3)

Подставляя значение из (10.3) в (10.2) и решая полученное уравнение относительно, получаем

. (10.4)

Раскрываем под корнем скобку и не принимаем во внимание, так как; в результате получаем

. (10.5)

Дробь под корнем тождественно преобразуем, умножая числитель и знаменатель на 2

.

Подставляя последнее выражение в (10.5) и не учитывая в знаменателе величину, получим

. (10.6)

Для того, чтобы избавиться от корня, применим формулу приближенного вычисления при малом

. (10.7) В результате (10.6) перейдёт в формулу Сен-Венана

,

а при очень малой высоте волны в формулу Лагранжа

. (10.8)

В канале с наклоном дна к горизонту под углом

. (10.9)

10.3 Распространение волн на свободной поверхности потока жидкости.

Рассмотрим одиночные волны, образующиеся на свободной поверхности жидкости под действием возмущения, т.е. под воздействием чего-либо, нарушающего “горизонтальность” свободной поверхности, например, на свободную поверхность падает тело малых размеров. Возмущение в виде волны распространяется с некоторой скоростью во все стороны. Допустим, что возмущения возникают через равные промежутки времени в фиксированной точке А (фиксированной, например, относительно дна канала).

Рис. 10.4.

В неподвижной жидкости волна возмущения за время пройдёт от центра возмущения расстояние, равное, а последовательный ряд волн возмущений будут иметь вид концентрических окружностей радиусов,и т.д., где,и т.д. рис.10.4 а)

В движущейся жидкости необходимо учитывать скорость её движения , а точнее соотношение между скоростьюи скоростью распространения волны.

В спокойном потоке, т.е. при условии , что равносильноили. Имея ввиду зависимость (10.8) можно сделать вывод, что в спокойных потоках малые поверхностные волны будут распространяться со скоростью, превышающей скорость потока. Волны возмущения будут сноситься вниз по течению и скорость их распространения по различным направлениям (например, относительно дна) будет различной.

В данном случае центр окружности (место возникновения волн) переместится по течению за время ,,.. на расстояния от точки А, равные,и т.д., а волна на расстояния от центра,; таким образом, центры волн перемещаются по течению со скоростью, а волны по течению со скоростью, а против течения.

Так как , то в спокойном потоке возмущение свободной поверхности распространяется со временем на всю область течения, рис.10.4 б).

При критическом состоянии потока, при скорости движения жидкости и распространения возмущений совпадают по величине, т.е.. Вверх по течению фронт волны неподвижен, так как, вниз по течению фронт волны распространяется со скоростью, рис.10.4 в).

В бурном потоке, где , скорость движения жидкости больше, чем скорость распространения поверхностных возмущений, т.е., поэтому волны распространяются только вниз по течению, не выходя из пределов клина, образованного касательными к системе окружностей радиусов. По касательным образуется фронт неподвижной волны, рис. 10.4 г).

Задача 10.1 Доказать, что угол, образованный лучами, выходящими из источника возмущений в бурном потоке, равен .

Решение. Из рисунка 10.4 г) следует, что , тогда

Пример 10.1 Общеизвестно, что волна, пологая вдали от берега, выходя на мелководье становится крутой, у неё появляется гребень и при определённых условиях она разрушается.

Это происходит по той причине, что локальные скорости распространения возмущений на мелкой воде равныеразличны для разных частей волнового профиля (так как глубина вдоль распространения волны различна, рис 10.5). Вследствие этого задняя часть волны (на глубине), движущаяся быстрее передней догоняет её (на самом деле , как нам известно, вода неподвижна, а перемещается профиль волны). При этом волна становится круче, у неё может появиться гребень, который насыщается воздухом и разрушается. Поведение волны на мелководье зависит о

Рис. 10.5.

т её параметров вдали от берега и от наклона линии дна.

Пример 10.2 Предположим, что ветер дует вдоль гладкой поверхности моря и по каким-то причинам на ней появляется складка. Над гребнем складки скорость воздуха будет больше, а у её основания – меньше, рис.10.6. Согласно уравнению Бернулли давление на гребне уменьшится, а у основания возрастет. Таким образом возникновение любой неровности на поверхности моря при наличии ветра приводит к появлению сил, которые будут увеличивать эту неровность в размерах и гнать её в направлении ветра. Накапливая в себе энергию, отнятую у ветра, эти неровности постепенно превращаются в огромные волны.

Пример 10.3 В открытом море волны могут двигаться в самых различных направлениях в зависимости от направления вызывающего их ветра. В то же время гребни прибрежных волн всегда параллельны берегу. Анализируя зависимость для скорости распространения (движения) волнможно понять, почему это происходит. Допустим, что волна идёт так, что один её конец находится ближе к берегу, чем другой. Ближний к берегу конец волны, находящийся на более мелком месте, имеет меньшую скорость, чем тот конец, который находится вдали от берега. Вследствие этой разницы скоростей волна разворачивается фронтом к берегу.