7.2. Основное уравнение гидравлического прыжка в призматическом русле

При выводе основного уравнения гидравлического прыжка предполагаем, что прыжок происходит в вертикальной плоскости и движение плоское.

В качестве исходного применяем уравнение сохранения количества движения, это освобождает от необходимости учитывать потери механической энергии в области прыжка. По смыслу уравнения сохранения количества движения все силы, возникающие в отсеке жидкости внутри выделенной контрольной поверхности, принадлежат к силам внутренним и в уравнение не входят.

В прыжке возрастает глубина потока от значения h₁ < h_kр до значения h₂ > h_kр и соответственно площадь живого сечения от S₁ до S₂ (S₂ > S₁). Скорость течения, наоборот, уменьшается, т.е. V₁ > V₂; при этом, конечно

V₁ S₁ = V₂ S₂ = const =Q.

Cоставим уравнение сохранения количества движения массы жидкости, заключенной в объёме потока между сечением 1 с глубиной h₁ и сечением 2 с глубиной h₂, рис. 7.3; дно потока будем считать горизонтальным. Приращение количества движения этой массы за единицу времени (в проекции на горизонтальную ось) равно

(7.1)

где и - коэффициенты количества движения.

Внешними силами, вызывающими изменение количества движения являются: силы давления в сечениях 1 и 2 – F₁ и F₂, силы трения F_тр на внешней границе отсека и вес жидкости, заключенной в выделенном отсеке. В случае горизонтального дна проекция веса на направление движения равна нулю.

Примем следующие допущения:

1.Движение жидкости в сечениях 1 и 2 плавноизменяющееся, поэтому распределение давления в этих сечениях подчиняется гидростатическому закону;

2.Сила трения на границах отсека считается малой по сравнению с другими внешними силами, и ее не учитываем;

3.Коэффициенты количества движения в обоих сечениях принимаются одинаковыми, т.е. ==.

Тогда уравнение сохранения количества движения принимает вид

(7.2)

Исходя из гидростатического закона распределения давления в сечениях 1 и 2 получим

и

(7.3)

где h_1.ц.т. и h_2.ц.т – глубины погружения центров тяжести сечений 1 и 2, глубины в которых равны соответственно h₁ и h₂.

Имея в виду (7.3) зависимость (7.2) преобразуется к виду

(7.4)

Учитывая, что и

Левая часть (7.4) преобразуется к виду

(7.5)

Уравнение (7.4) преобразуется к виду (после учёта (7.5) и деления левой и правой частей на )

(7.6)

Группируя слагаемые, относящиеся к первому и второму сечениям в левой и правой частях соответственно, получим окончательный результат

(7.7)

Это и есть основное уравнение гидравлического прыжка.

Так как S и h_ц.т. являются функциями глубины S=f(h) и , а остальные величины постоянны, можно записать

	(7.8)

(7.9)

Функцию называютпрыжковой функцией, и тогда уравнение (7.7) можно записать в кратной форме

7.3. Свойства прыжковой функции и ее график

В данном русле при постоянном расходе при прыжковая функция стремится к бесконечности, т.е.при; притакже. Прыжковая функция должна, следовательно, иметь минимум при некотором значении глубины.

Если найти производнуюи приравнять ее нулю, то определим, что прыжковая функция имеет минимальное значение при глубине, равной критической.

График прыжковой функции, построенный при заданных Q и

геометрических размерах поперечного сечения русла, рис 7.4. наглядно демонстрирует отмеченные особенности прыжковой функции.

Определение второй сопряженной глубины h₂ при заданной глубине h₁ производится непосредственно с помощью уравнения (7.7). Так, вычислив , получим

откуда и находим h₂ – аналитически или графическим путем с помощью построения графика прыжковой функции , рис. 7.4. Построение этого графика производиться следующим образом: при расчетном расходеQ и известной форме поперечного сечения русла задаются рядом значений h и по уравнению

вычисляют соответствующие значения функции . Далее, откладывая по оси ординат значения глубинh, а по оси абсцисс значения функции , строят график прыжковой функции.

Сопряженные глубины h₁ и h₂ связаны между собой таким образом, что чем меньше h₁, тем больше h₂.

Из графика на рис. 7.4. видно, что в данном открытом русле при заданном расходе Q может быть большое число пар сопряженных глубин, но каждой заданной глубине h₁ перед прыжком соответствует только одна сопряженная с ней глубина h₂.