Математика-2-й семестр (курс лекций)

(F (x,y,z), dl)

(P(x(t),y(t),z(t)) x (t) Q(x(t),y(t),z(t)) y (t) R(x(t),y(t),z(t)) z (t))dt

P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz.

y f (x), x [a,b] , то её можно считать заданной параметриче-

последняя формула приобретает вид

b

(F(x,y,z), dl) P(x, f (x))dx Q(x, f (x)) f (x)dx .

a

Заметим, что все формулы для вычисления криволинейного интеграла второго рода получены при соглашении, что направлением обхода кривой считается направление, задаваемое вектором касательной r (t) , если кривая задана параметрически

или векторно, и вектором касательной (1, f (x))T , если кривая

задана явно. Если по каким-либо соображениям обходить кривую необходимо в обратном направлении, то все знаки в формулах нужно поменять на противоположные.

Заметим, что для криволинейных интегралов имеют место общие для всех интегралов свойства. Отметим некоторые из них в формулировках, отражающих специфику этих интегралов.

292

Теорема 5.3. Криволинейный интеграл 2-го рода зависят от ориентации кривой, точнее,

(F (x,y,z),dl) (F (x,y,z),dl) .

взять отрезок [a,b] оси OX с направлением обхода от a к b , то

b

определённый интеграл f (x)dx можно рассматривать как кри-

a

волинейный интеграл второго рода по этой кривой, а теорему 1 считать обобщением свойства 1 определённого интеграла на случай ориентированного многообразия.

Теорема 5.4. Пусть L L1 L2 и размерность пересечения dim( L1 L2 ) 0 , то есть составляющие кривой L пересекаются только в конце участка L1 и начале участка L2 Тогда

(F ,dl) (F ,dl) (F ,dl) .

L1 L2 L1 L2

Доказательство. Включив в число точек разбиения в определении криволинейного интеграла второго рода общую границу L1 с L2 , получаем требуемое.

Теорема 5.5. (о среднем для криволинейного интеграла). Если функция f (x, y, z) непрерывна на гладкой кривой , то

существует точка (x0 , y0 , z0 ) на кривой такая, что для криволинейного интеграла второго рода выполнено соотношение

( f , dl) ( f (x0 , y0 , z0 ), (x0 , y0 , z0 )) L ,

где L - длина кривой . Доказательство опустим.

293

5.1.4. Элементы теории поля

Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода находят важные применения в теории поля. К её изложению мы и приступаем.

294

( f : G R3 R2 , f : D R2 R2 , f : D R2 R3 ), то есть функция вида

с областью определения G R3 ( D R2 ). Аналогично говорят, что в области G R3 ( D R2 ) задано скалярное поле, если задана скалярнозначная функция f : G R3 R ( f : D R2 R ) с областью определения G R3 ( D R2 ).

Если областью определения векторного поля является множество точек на плоскости, то поле называют плоским. Векторное поле можно интерпретировать как множество точек, к каждой из которых присоединён вектор. Примерами векторных полей являются: поле скоростей текущей жидкости, электрическое поле точечного заряда, магнитное поле, плотность электрического тока.

Напомним введённые ранее понятия, имеющие отношение к векторным и скалярным полям.

295

Вектор

называется градиентом скалярной функции (скалярного поля).

Скаляр

называется производной по направлению вектора a от скалярной функции векторного аргумента.

Векторное поле или вектор-функцию назовём потенциальным, если существует скалярная функция (скалярное поле)

U (x, y, z) такая, что gradU (U )T f (x, y, z) (P,Q, R)T .

Функцию U назовём при этом потенциалом поля f .

Заметим, что если U - потенциал поля f , то U C то-

же потенциал этого поля.

Критерием потенциальности поля служит следующий результат.

Теорема 5.6. Векторное поле f (x, y, z) P(x, y, z)i

Q(x, y, z) j R(x, y, z)k (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z))T является

потенциальным в области R3 тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий:

1) криволинейный интеграл второго рода по любому замкнутому контуру L , полностью лежащему в , равен нулю

( ( f , dl) 0 для L ), или, что то же самое, циркуляция

L

поля по любому замкнутому пути равна нулю;

2) если A1 , A2 - любые две точки из и L1, L2 -две произвольные кривые, их соединяющие, то ( f , dl) ( f , dl) ,

L1 L2

то есть криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования.

Если поле потенциально и U (x, y, z) - его потенциал, то

296

( f , dl) U ( A2 ) U ( A1 ) .

откуда и следует требуемое. Пусть теперь выполнено условие 2,

ной функции U (x(t), y(t), z(t)) . Поэтому последний интеграл равен

297

t2 dUdt dt U (t2 ) U (t1 ) U ( A2 ) U ( A1 ).

t1

Мы получили, что интеграл зависит от конечных точек и не зависит от пути, соединяющего эти точки. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, A(x, y, z) - произвольная точка

из , A0 - фиксированная точка из . Покажем, что функция

независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования последний интеграл равен

- некоторая точка отрезка [x, x x x] . Заметим, что эту точку

можно записать в виде x1 x x , где 0 1 - некоторое число. Поэтому

Теорема доказана.

Обратное утверждение верно лишь при дополнительных ограничениях на область в которой задано векторное поле. Для уточнения формулировок введём некоторые понятия.

Определение. Множество называется связным, если для любых двух точек из этого множества существует непрерывная кривая, соединяющая эти точки и целиком лежащая в данном множестве.

Определение. Точку множества назовём внутренней точкой, если существует окрестность этой точки, целиком лежащая в данном множестве; внешней точкой, если существует окрестность этой точки, целиком лежащая вне данного множества; граничной, если во всякой окрестности этой точки есть как точки данного множества, так и точки, ему не принадлежащие. Совокупность всех граничных точек данного множества назовём его границей.

Определение. Множество назовём односвязным, если его граница есть связное множество.

Теорема 5.8. Если область является односвязной и векторное поле безвихревое ( rot f 0 ), то оно потенциально.

Доказательство этого результата опустим. Желающие могут познакомиться с ним в [8].

Рассмотрим более подробно плоский случай. Пусть векторное поле задано на плоскости, то есть имеет вид

Таким образом, для плоского поля условие rot f 0 эк-

вивалентно условию Q P . Тогда сформулированные выше

x y

300