Математика-2-й семестр (курс лекций)

рования являются всевозможные ломаные, состоящие из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Поэтому, для пути, изображённого на рисунке (с учётом того,

что (x0 , y0 , z0 ) (0,0,0) ),

x y z

(0 0) dx (2xy 0) dy (xy2 3z2 ) dz xy2 z z3 .

0 0 0

Таким образом, U(x, y, z) xy2 z z3 .

Введём ещё одну характеристику векторного поля, называемую дивергенцией, или функцией источника, по формуле

Назовём поле соленоидальным или трубчатым, если дивергенция равна нулю в каждой его точке. Соленоидальные поля однородны по структуре. В них нет ни источников ни стоков.

5.2. Кратные интегралы

5.2.1. Определение и свойства

Идея, использованная при построении определённого интеграла Римана, может быть распространена для построения кратных интегралов от функций многих переменных. Только для области на плоскости разбивать область интегрирования на части нужно кривыми, а для области в пространстве поверхностями. Формализация этой

303

идеи для функций многих переменных приводится в этом пункте.

Пусть - некоторое множество. Диаметром этого множества назовём число равное точной верхней грани расстояний между точками этого множества, то есть равным d sup (x, y) , где (x, y) - расстояние между точ-

x, y D

ками x и y из множества D Rn .

Определение. Пусть D R2 область на плоскости и функция f (x, y) определена и ограничена в этой области. Разобьем область D на части кривыми, пронумеруем по-

i 0

полученных сумм по всевозможным разбиениям, если этот предел существует, не зависит от способа разбиения,

способа выбора точек i , i , при условии, что макси-

мальный из диаметров элементарных областей стремится к нулю, называется двойным интегралом от функции f (x, y)

полученных сумм по всевозможным разбиениям, если этот

304

предел существует, не зависит от способа разбиения, способа выбора точек i , i , i , при условии, что максималь-

ный из диаметров элементарных областей стремится к нулю, называется тройным интегралом от функции f (x, y, z)

и обозначается f (x, y, z)dxdydz , а функция f (x, y, z) на-

D

зывается интегрируемой по Риману.

Аналогично можно определить n-кратный интеграл от функции заданной в Rn . В случае, когда нам не важна размерность области задания функции, будем обозначать интеграл по n-мерной области через f (x)dx .

D

Отметим некоторые свойства кратных интегралов при условии существования всех используемых ниже интегралов.

1. Если область D разбита на две области D1 , D2

то f (x)dx g(x)dx .

DD

6.f (x)dx f (x) dx .

305

ет точка c из D такая, что f (x)dx f (c) (D) .

D

Теорема 5.13. Для всякой непрерывной на ограниченном замкнутом множестве функции существует интеграл по этой области.

Теорема 5.14. Если область D можно разбить на конечное число областей, в замыкании каждой из которых функция непрерывна, то она интегрируема на этом множестве.

Определения ограниченного и замкнутого множеств можно найти в разделах 1.2 и 1.4 соответственно. Любознательным читателям предлагается доказать теоремы 5.13, 5.14 самостоятельно или посмотреть их доказательст-

ва в [5, 6, 8, 33].

306

Заметим, что в левой и правой частях неравенства (5.1) стоят, соответственно, нижняя и верхняя суммы Дар-

бу для интеграла f (x, y)dxdy , которые могут быть введе-

D

ны так же, как и для определённого интеграла. В случае, когда функция f (x, y) непрерывна в области D , каждая из сумм Дарбу совпадает с одной из интегральных сумм. Так

стве (5.1) к пределу, имеем, в случае интегрируемости функции f (x, y) ,

Последнее неравенство эквивалентно соотношению

307

назовём криволинейную трапецию, ограниченную линиями x a, x b, y y1 (x), y y2 (x) ( y1 (x) y2 (x) для всякого x [a,b] ). Простейшей областью второго типа на плоскости

назовём криволинейную трапецию, ограниченную линиями y c, y d, x x1 ( y), x x2 ( y) ( x1 ( y) x2 ( y) для всякого y [c, d] ).

Пусть теперь D - криволинейная трапеция, ограниченная линиями x a, x b, y y1 (x), y y2 (x) и при этом выполнено неравенство y1 (x) y2 (x) . Заключим эту об-

ласть в прямоугольник D1 [a,b] [c, d ] , где

308

Для криволинейной трапеции, ограниченной ли-

Интегралы, стоящие в правых частях формул (5.3) и (5.4), называются повторными, а результат о сведении кратного интеграла к одному из повторных носит название теоремы Фубини. Таким образом, мы свели вычисление двойного интеграла к последовательному вычислению одномерных интегралов, вначале внутреннего, а затем внешнего. Заметим, что порядок, в котором произво-

309

дится интегрирование, иногда влияет на сложность вычислений. Соответствующие примеры есть в [34] и в практи-

куме [25].

Пример 1. Пусть область D - внутренность треугольника с вершинами A(3, 2) , B(4, 4) , C(4,1) . Вычислить

интеграл (x 2 y)dxdy .

D

Перейдём к повторному интегралу типа (5.3) и расставим пределы интегрирования в нём. Найдём уравнения прямых AB , BC , AC . Записывая уравнение прямой, проходящей через две точки, получаем уравнение пря-

Для перехода к интегралу типа (5.4) требуется разбить область на две. Мы подобное проделаем в следующем примере, а читателю предлагаем в данном примере сделать это самостоятельно

Пример 2. Пусть область D задана неравенствами

310