Математика-3-й семестр(курс лекций)

СОДЕРЖАНИЕ

Дифференциальные уравнения

1.Дифференциальные уравнения первого порядка …..……..…... 5

1.1.Общие сведения ..……………………………………….... 5

1.2.Уравнения с разделяющимися переменными ………….. 7

1.5.Линейные уравнения первого порядка …………………. 15

1.6.Уравнения Бернулли …………………………..…………. 18

1.7.Уравнения в полных дифференциалах ....................……. 20

1.8.Приближенные методы решения дифференциальных

3.1.Общая теория …………………………………………..... 58

3.2.Системы дифференциальных уравнений в симметричной форме………………………………..…… 64

3.3.Метод интегрируемых комбинаций……………...……... 66

4.1.Зависимость решения от параметров и начальных данных ……………………………………………………. 86

4.2.Определение устойчивости по Ляпунову…………..…... 91

4.3.Метод функций Ляпунова…………………………….…. 94

4.4.Устойчивость линейных систем………………….…….. 97

3

4.5.Простейшие типы точек покоя систем двух линейных однородных дифференциальных уравнений с

6.Разностные уравнения ………………………………………..…. 109

6.1.Понятие разностного уравнения …………………..……. 109

6.2.Разностные уравнения первого порядка …………...…... 111

6.3.Разностные уравнения второго порядка ………..………. 113

Элементы теории рядов

4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1.1. Общие сведения

Изложенное ниже является введением в круг вопросов и задач, изучаемых в теории дифференциальных уравнений, и не претендует на полноту.

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную x , искомую функцию y(x) и не-

которое количество её производных, т.е. уравнение вида

F(x, y, y ,..., y(n) ) 0 ,

называется дифференциальным уравнением порядка. Если x – векторная величина, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных, а если x – скаляр, то обыкновенным дифференциальным уравнением.

Для многих динамических, то есть меняющихся во времени, процессов и явлений бывает трудно написать закон их поведения в виде конкретной функции времени, а написать этот закон в виде дифференциального уравнения часто значительно легче. Построением дифференциальных уравнений для описания конкретных процессов, то есть построением математических моделей этих процессов, мы заниматься не будем.

Всюду ниже, кроме п.5, будем изучать обыкновенные дифференциальные уравнения. В п.5 рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.

Самым простым обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение 1-го порядка, то есть уравнение

5

предполагается определённой на некотором множестве G из R3 .

Если уравнение (1.2) удается разрешить относительно

то уравнение (1.3) называется уравнением 1-го порядка, разрешенным относительно производной. Иногда уравнение (1.3) удобнее записывать в эквивалентном виде в так называемой дифференциальной форме

данными на некотором множестве D плоскости R 2 .

Мы будем пользоваться той записью, которая в данный момент удобнее.

Определение. Функция (x) , заданная на отрезке или интервале (a, b) , называется решением дифференциального уравнения в области D , если при подстановке (x) в уравнение она обращает его в тождество в этой области.

Естественно, чтобы быть решением дифференциального уравнения первого порядка, функция (x) должна быть дифференцируемой, а, следовательно, и непрерывной.

Кроме того, точка (x, (x), (x)) должна принадлежать

множеству G , если речь идёт о решении уравнения (1.2), а точка (x, (x)) должна принадлежать множеству D , если речь идёт о решении уравнений (1.3) или (1.4). Будем предполагать, что и первая производная функции (x) непрерывна. Чтобы быть решением дифференциального

6

уравнения n -го порядка, функция (x) должна иметь n непрерывных производных.

При изучении дифференциальных уравнений выделяют качественную и количественную теории дифференциальных уравнений.

Вкачественной теории по виду дифференциального уравнения изучают свойства его решений, не находя их.

Вколичественной теории занимаются разработкой методов нахождения решений дифференциальных уравнений.

Мы, в основном, будем заниматься количественной теорией дифференциальных уравнений.

Вколичественной теории рассматривают точные и приближенные методы нахождения решений. Займемся пока точными методами.

Решить дифференциальное уравнение означает описать всю совокупность его решений. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения, как и любого другого уравнения, состоит в преобразовании его к такому виду, из которого это решение легко находится. При этом два

уравнения F1 (x, y, y ) 0 и F2 (x, y, y ) 0 назовём эквивалентными в области D , если решения одного из них являются решениями другого. Идеальным было бы при нахождении решения осуществлять переход к эквивалентным уравнениям. Это не всегда удаётся. Поэтому в процессе преобразований мы должны следить за тем, чтобы не терять решений и не приобретать новых.

1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Самыми простыми в изучении являются уравнения вида f1(x)dx f 2 ( y)dy . Действительно, если y(x) есть решение этого уравнения, то, в силу инвариантности формы первого дифференциала, можем записать f1(x)dx f2 ( y)dy . Ра-

7

венство подразумевает, что множество всех первообразных в левой части равно множеству всех первообразных в правой части. Если 1 (x) – какая-нибудь первообразная левой

части, а 2 ( y) – правой части, то последнее соотношение можно переписать в виде 1(x) 2 ( y) C , разрешая которое относительно y , получаем всю совокупность решений

исходного уравнения. Большинство методов решений дифференциальных уравнений заключается в сведении их к уравнению рассмотренного выше типа.

Следующими по сложности являются уравнения с раз-

откуда, с учетом инвариантности формы дифференциала первого порядка, имеем

dy

f 2 ( y ) f1( x )dx .

Как и ранее, полученное соотношение означает, что множество первообразных в левой части равно множеству всех первообразных в правой части. Если 2 ( y) , 1 (x) - какиелибо первообразные левой и правой частей соответственно, то его можно переписать в виде 2 ( y ) 1( x ) C . Разре-

8

шая последнее относительно y , получаем всю совокупность решений исходного уравнения.

Заметим, что если f 2 ( y0 ) 0 , то мы должны проверить, является ли функция y y0 решением исходного

дифференциального уравнения, чтобы не потерять его в процессе нахождения решения.

Вычисляя полученные интегралы, находим все множество

Решение y = 0 получается при C = 0, а решение x 1 не содержится в нем. Таким образом, решением уравнения

являются функции y C(x 1)e x , x 1.

9

Решение y = 0 получается при C 0 .

С другими примерами, служащими для закрепления навыков решения уравнений с разделяющими переменными, можно познакомиться в п.5.1.2 практикума [6] или в аналогичных разделах других задачников по дифференциальным уравнениям.

1.3. Однородные уравнения

Определение. Функция F (x1 , x2 ,..., xn ) называется

f (tx, ty) f (x, y) .

Однородное дифференциальное уравнение удаётся за-

Отметим, что уравнение M (x, y)dx N(x, y)dy 0 является однородным тогда и только тогда, когда функции

10