Математика.-3

Оглавление по темам

Элементарные преобразования ......................................................

4

Подведение под знак дифференциала............................................

8

Интегрирование по частям..............................................................

14

Интегрирование рациональных дробей.........................................

18

Интегрирование иррациональностей...........................................

27

Интегрирование тригонометрических выражений......................

29

Определѐнный интеграл ................................................................

36

Приложения определѐнного интеграла........................................

42

Несобственный интеграл................................................................

46

Двойной интеграл в декартовых координатах..............................

53

Тройной интеграл в декартовых координатах..............................

60

Двойной интеграл в полярных координатах.................................

63

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических

координатах.....................................................................................

67

Дифференциальные уравнения 1 порядка.....................................

71

Дифференциальные уравнения высшего порядка.........................

77

Линейные однородные уравнения высшего порядка....................

79

Линейные неоднородные уравнения высшего порядка................

83

Комплексные числа.........................................................................

90

Числовые ряды.................................................................................

196

Функциональные ряды……………………………………………

101

Степенные ряды…………………………………………………..

105

Ряды Тейлора……………………………………………………..

109

Ряды Лорана………………………………………………………

115

Ряды Фурье………………………………………………………..

118

Литература………………………………………………………..

124

x

x 2 2

x 2

2

2

dx

=

dx =

dx = 1

dx

=

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

= dx 2

1

dx и теперь, когда разбили на сумму или разность

x 2

25, тогда

x 2

=

x 2 25 25

(x 5)( x 5)

25

dx

dx

=

dx

что

x

x 5

x 5

x

5

5

25

тоже приводит к x 5

dx .

x 5

знаменателя и дробь невозможно свести к виду

1

.

(x a)( x b)

Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:

1

dx

=

1

dx =

1

dx .

x

2

4x 20

(x 2)

2

16

(x 2)

2

4

2

С помощью замены t x 2 сводится к интегралу:

1

1

t

dt =

arctg

C , и далее с помощью обратной замены

2

4

2

t

4

4

получаем ответ.

1

x 2

Ответ.

arctg

C .

4

4

Задача 7. Вычислить

1

dx .

x2

4x 4

Решение. В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.

Выделяя полный квадрат, получим

1

dx

=

1

dx .

x

2

4x 4

(x 2)

2

потому что получается

1

dx =

1

C =

1

C .

2

t

x 2

t

1

Ответ.

C .

x 2

Решение.

Воспользуемся формулой понижения степени, чтобы

перейти от степеней тригонометрических функций к выражениям

типа sin(kx) или cos(kx) .

sin

2

xdx =

1 cos2x

1

1dx

1

cos2xdx

x

1

1

C .

dx =

=

sin 2x

2

2

2

2

2

2

Ответ.

x

1

sin 2x C .

2

4

Задача 9 (Э).

Вычислить cos2x cos2 xdx .

cos2x cos2 xdx = cos2x

1 cos2x

dx =

1

cos2x 1 cos2x dx =

2

2

cos2x cos2

2x dx =

=

1

1

cos2xdx

1

cos2

2xdx .

2

2

2

1

1

1

1 cos 4x

1

sin 2x

1

1dx

1

cos4xdx

sin 2x

dx =

=

2

2

2

2

4

4

4

1

sin 2x

x

1

sin 4x C .

4

4

16

Ответ.

1

sin 2x

x

1

sin 4x C .

4

4

16

Подведение под знак дифференциала.

Задача 10.

Вычислить sin 4 x cosxdx .

Решение. Замечаем, что

присутствует

множитель

cos x ,

который

является производной от

sin x . А остальная часть функции как раз

зависит только от

sin x .

Поэтому можно подвести

cos x

под знак

дифференциала: sin 4 x cosxdx =

sin 4 xd(sin x)

Применяем замену t sin x : sin 4

xd(sin x) =

t 4 dt .

Далее,

t 4 dt

=

1

t 5 C , и после обратной замены

1

sin 5

x C .

5

5

Ответ.

1

sin 5

x C .

5

Задача 11. Вычислить интеграл

x5 dx

.

x 6 1

Решение.

x5 dx

=

1

6x5 dx

=

1

d (x6 )

=

1

d (x6 1)

=

1

dt

=

x

6

1

6

x

6

1

6

x

6

1

6

x

6

1

6

t

=

1

ln

t

C =

1

ln( x6

1) C . Учитывая тот факт, что x6

1 0 , знак

6

6

модуля не нужен.

Ответ.

1

ln( x6

1) C .

6

Решение. ctgxdx =

cosx

dx =

d (sin x)

=

dt

= ln

t

C =

sin x

sin x

t

Задача 13.

Вычислить интеграл

cos x

dx .

1 sin 2 x

Решение.

cos x

dx =

d (sin x)

=

dt

= arctg(t) C =

1 sin

2

1 sin

2

x

1 t

2

x

arctg(sin x) C .

Ответ. arctg(sin x) C .

Д-1.

Вычислить интеграл cosx esin x dx . Ответ.

esin x C .

Д-2.

Вычислить интеграл 3x2ex3 dx .

Ответ.

e x3 C .

Вычислить интеграл

x 2 dx

1

arctg(x3 ) C .

Д-3.

.

Ответ.

x6 1

3

Д-4.

Вычислить интеграл tgxdx .

Ответ.

ln

cosx

C .

Задача 14. Вычислить

x3

dx .

1 x8

Решение.

x3

dx =

1

4x3

dx =

1

d (x4 )

=

1

dt

1 x8

4

1 x8

4

1 (x4 )2

4

1 t 2

=

1

arcsin(t) C =

1

arcsin(x4 ) C .

4

4

Ответ.

1

arcsin(x4 ) C .

4

Задача 15 (Э). Вычислить

x9

dx .

x5 1

Решение.

Если сразу подвести под знак дифференциала то, что есть в

числителе,

то

будет d (x10 ) , но

тогда

в

знаменателе

получится

x9

dx =

x5 x 4

dx =

1

x5

(5x4 dx)

=

1

x5 d (x5 )

5

5

x5 1

x5 1

x5 1

x5 1

и теперь, после замены t x5

1

t

, получится

dt .

5

t 1

1

t

dt =

1

t 1 1

dt =

1

t

1

dt

1

1

dt =

5

t 1

5

t 1

5

t 1

5

t 1

1

1

1

1

t 1 12 dt

1

t 1 12 dt

t 1dt

dt =

5

5

t 1

5

5

1

1

t 1 32

1

1

t 1 12 C

=

2

t 1 32

2

t 1 12

C .

5

3

5

1

15

5

2

2