Математика.-3

1

1

1

2 x cos(n x)dx =

x sin(n x)

1

sin(n x)dx

2

=

n

n

0

0

0

cos(n x)

1

cos(n ) cos0

( 1)

n

1

0)

= 2

2

(0

= 2

.

n

2

2

n

2

2

n

2

2

0

Обратите внимание, что cos(n ) равен 1

при чѐтных n и 1 при

нечѐтных, поэтому совпадает с ( 1) n .

Коэффициенты bn 0 так как функция чѐтная. Итак, получаем ряд:

n

1)

1

2(( 1)

cosn x .

2

n 1

n2 2

Более подробная запись:

1

4

cos x

4

cos3 x

4

cos5 x ...

9 2

25 2

2

2

x 1

if x ( 1,0)

Задача 174.

Найти ряд Фурье для

f (x)

if x (0,1)

1

0

1

x2

0

1

1

3

a0 3

a0 (x 1)dx 1dx =

x

x

0

=

1 1

,

.

1

0

2

1

2

2

2 4

0

1

an (x 1) cosn xdx cosn xdx . Первый интеграл вычисляется

1

0

0

0

1

an x cosn xdx cosn xdx cosn xdx

=

1

1

0

0

1

x cosn xdx

cosn xdx . Тогда интеграле по частям остаѐтся не

1

1

скобка, а только x .

u x ,

u 1,

v cosn x ,

v

1

sin n x . Тогда

n

0

1

x

0

1

0

1

1

x cosn xdx cosn xdx =

sin n x

sin n xdx

sin n x

n

1

n

n

1

1

1

1

0

0

1

1

0 0

1

=

sin(n )

sin n xdx

=

0

cosn x

0 =

n

n

n

n

2

2

1

1

cos0 cos(n )

1 ( 1)n

=

1 cos(n )

=

.

n2 2

n2 2

n 2 2

0

1

0

1

bn (x 1) sin n xdx sin n xdx = x sin n xdx sin n xdx

1

0

1

1

В первом u x ,

u 1,

v sin n x ,

v

1

cosn x . Тогда

n

x

0

1

0

1

1

cosn x

cosn xdx

cosn x

=

n

n

n

1

1

1

cosn

0

cosn cosn

( 1)n

( 1)n 1

1

sin n x

=

0

0 =

n

n

2 2

n

n

n

1

( 1)n 1

1 ( 1)n

3

Ответ. Ряд Фурье:

sin n x

cos n x .

4

n

n2 2

n 1

1

0

2

1

2

10 = 6.

a0

a

0

1dx

5dx =

Тогда

3 . Кстати, это и есть

2 2

2

2

0

средняя высота графика этой функции.

1

0

n x

2

n x

1

2

n x

0

2

n x

2

a

cos

dx

5 cos

dx =

sin

5

sin

2

2

2

2

n

2

n

2 n

1

2

2

0

2

2

0

(sin 0 sin( n )) 5

(sin n

sin 0)

0 так как синус

2 n

n

1

0

n x

2

n x

1

2

n x

0

2

n x

2

b

sin

dx

5sin

dx

=

cos

5

n

cos

2

2

2

2

2

2

n

n

1

2

0

2

0

=

(cos0 cosn ) 5(cosn cos0)

притом здесь мы уже сразу

n

учли чѐтность косинуса, что cos(n ) cosn .

Итак,

1

1 ( 1)n 5( 1)n 5 =

1 ( 1)n 5( 1)n

5

=

n

n

4 4( 1)n

4

1 ( 1)n

=

.

n

n

n

n x

Ответ. Ряд Фурье:

3 4

1 ( 1)

sin

.

n 1

n

2