Математика 3 семестр

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

t) 32 sin t cos t dt

t) 32 sin t cos t dt

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

722.47 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Математика (3 семестр)

Учебно-методическое пособие по самостоятельной работе для 09.03.01

Разработчик: доцент каф. математики Приходовский М.А.

Томск

ТУСУР

2019

Содержание
Содержание ............................................................................................	2
Аннотация ..............................................................................................	3
Темы контрольных задач.......................................................................	3
Вариант для самостоятельного решения..............................................	4
Разбор подобных задач из практики.....................................................	6
Литература..............................................................................................	22

Аннотация

В данном пособии приведены типовые варианты контрольных работ за 3 семестр (осень 2018 г) для специальности 09.03.01 (ФСУ ТУСУР). В семестре 14 отчётных заданий. На каждое контрольное задание приводится пример решения одной или нескольких задач из практических занятий на эту тему. Прочтение одного лишь только этого краткого пособия не является достаточным, так как понимание методов не может быть достингуто без изучения всего курса. Пособие рекомендуется именно для непосредственной подготовки к контрольным работам, после прослушивания курса лекций и практических занятий, где содержатся задачи более сложного уровня.

Темы контрольных задач.

1.Тройной интеграл в сферических координатах

2.Криволинейный интеграл 1 рода

3.Криволинейный интеграл 2 рода

4.Потенциал векторного поля

5.Разложить f(z) на Re и Im

6.Найти f(z) по одной её части

7.Интеграл от комплексной функции по незамкнутой кривой.

8.Интеграл по замкнутой кривой (интегральная формула Коши).

9.Вычисление вычетов

10.Приложения вычетов: интеграл по замкнутому контуру

11.Приложения вычетов: интеграл по всей оси

12.Приложения вычетов: интеграл от тригонометрической функции

13.Тригонометрический ряд Фурье

14.Комплексный ряд Фурье

Вариант для самостоятельного решения.

Задача 1. Вычислить тройной интеграл		zdxdydz

	D
трёхмерное тело снизу ограниченное конусом			z	2

сферой радиуса 1.

где

x	2
	2

D –

y	2	, а сверху

Задача 2. Вычислить массу проволоки, выполненной в виде четверти единичной окружности, причём скалярная функция плотности:

F (x, y) x y .

Задача 3. Найти работу векторного поля

осуществляемую при перемещении точки по четверти окружности единичного радиуса.

Задача 4. Доказать, что поле потенциально, и найти потенциал:

F (2x yz,2 y xz,2z xy)

Задача 5 f (z) Коши-Римана.

z iz	2

Найти u(x,y) и v(x,y), проверить условия

Задача 6 Дано:

u(x, y) 3x y

Задача 7 Вычислить интеграл

(1,1).

Задача 8 Вычислить интеграл

v(0,0) 0

. Найти v(x, y)

f (z) .

(2z z)dz, L {y x} от (0,0) до

		2	1	dz где
	(z 1)	2	(z 2)(z 5)

С
С

C { z 3}

Задача 9. Найти вычет

Re s		1
	(z 3)	3	(z 4)	2
z 3

Задача 10 . Найти

1				1	dz
2 i		(z 1)	2	(z 2)(z 4)
	С

где С окружность:

{ z 3,5}

Задача 11. Вычислить

Задача 12. Вычислить

				1
				1
	(x		2		9)	2
	(x				9)

2				1
				1

		2 cos x
0

dx .

Задача 13.	Дана функция:		0	, x ( 1,0)		. Разложить в
		f (x)
		2x 1,			x (0,1)
тригонометрический ряд Фурье.
Задача 14.	Дана функция:		0	, x ( 1,0)		. Разложить в
		f (x)
		2x 1,			x (0,1)

комплексный ряд Фурье.

Ответы.

1.		2.	2
	8

u x 2xy,

3.
v y


4
x	2

4. x2 y 2 z 2 xyz C		5.
y	2
y

6.	3z iz			7.	1		2i				8.	i	9. 3	10.	1
6.	3z iz			7.	1		2i				8.	24	9. 3	10.	18
												24			18
12.		2


	3
	3
				2(( 1)				n		1)			1 3( 1)	n
		1		2(( 1)						1)			1 3( 1)
13.											cos n x			sin n x
13.					n	2			2		cos n x		n	sin n x
			n 1		n								n

11.

14.

	1	2(( 1)n 1)			1 3( 1)n		in x
1							in x
1	2	n	2	2	in	e
n 1	2	n			in

Разбор подобных задач из практики.

Задача 1. Найти объём тела, ограниченного конусом

z	2	x	2	y	2	и сферой радиуса	2	, с помощью цилиндрических

координат.

Решение. Чертёж:

Это тело вращения с осью Oz. Проекцией на горизонтальную плоскость является круг радиуса 1. Тогда диапазоны изменения двух переменных очевидно таковы (как было для круга в полярных координатах): [0,2 ] , [0,1] . Таким образом, нам остаётся

только узнать диапазон расстояния до оси, то есть в

изменения высоты в зависимости от зависимости от .

Построим сечение вертикальной По горизонтали - условная ось

плоскостью (вид сбоку).

, так как тело вращения и поэтому

неважно, в какую сторону двигаться от оси, диапазон изменения высот ведёт себя одинаково на одном и том же расстоянии от оси вне зависимости от угла .

Красным показана эта линия. Она проходит от прямой																							z			до
окружности радиуса									2	, которую можно задать в виде														z		2	2	.
окружности радиуса									2	, которую можно задать в виде														z		2		.
																2		1		2		2

Таким образом, надо вычислить интеграл																					dz				d	d .
																0		0

2	1	2		2						2		1
2	1									2		1	2
														2
					dz d d			=									d		=
					dz d d			=				z			d		d		=

0	0									0 0
0	0									0 0

2	1						d
			2			2			d		. Здесь далее можно рассматривать не как


0 0

вложенные интегралы, а как произведение, т.к. интегрируя по мы

	2
получим константу, и всё равно в итоге будет интеграл типа		Сd	=

2 С

2 1		d
. Поэтому сразу запишем в виде d
	2 2

, далее

																							0			0
	1																1											1
2				2		2					d			=		2					2		2		d 2					2	d		=
2				2							d			=		2					2				d 2						d		=
	0																0											0
	1						( 2)d 2												3	1				1					d (2
																			3		=															2
			2		2																					2		2						2	)	2		=
					2																							2						2
																		3																		3
	0																	3		0				0												3
																								0

		2						3	1			2						2					3			2				2		2			1		2
		2	2		2			3	1			2						2					3			2				2							2
															=			3		1		2				3	=			3			2					3
															=					1		2					=						2
		3							0				3
		3											3

4		2		2				2		=			4			2 1 .
3				3					3	=			3			2 1 .
3				3					3				3
				4					1 .
Ответ.				4			2
Ответ.				3			2
				3

Задача 2.							Вычислить массу проволоки, выполненной в виде графика
y			f (x) ln x ,						плотность которой F (x, y) x																			2	, где		x [1,			2] .
y			f (x) ln x ,						плотность которой F (x, y) x																				, где		x [1,			2] .
Решение.							Здесь кривая задана явно, так что надо решать по формуле
						b																											1
	F dl						F (x, f (x))						1 ( f								2												1
	F dl						F (x, f (x))						1 ( f					(x))				dx . Очевидно, f								(x)			x	, тогда
L						a																											x
L						a
2							1			2					x		2			1				2
																	2							x
		x	2									x	2														2		1 dx
			2		1			2 dx	=				2								dx =					x	2					=
					1		x	2 dx	=									x		2	dx =					x						=
1							x			1								x						1
1										1														1
1		2									1		2													1 2							3	2
1					2						1					2			1				2	1)		1 2					2	1

				x			1	2xdx		=					x						d (x				=					x				=
2				x			1	2xdx		=	2				x						d (x				=	2 3				x				=
2		1									2		1													2 3							1
																																	1

1		3		3 2			2 =		3			2		2 .
3		3		3 2			2 =		3			3		2 .
3												3
Ответ.						3		2	2 .
Ответ.						3		3	2 .
								3
Задача 3. Найти работу векторного поля																									F 2x 3y, x 2 y по

перемещению точки по половине эллипса, заданного параметрически:
x 3cost, y 5sin t ,	x 0, .

Решение. Здесь используем формулу для параметрически заданной

кривой:

F , dl

b P(x(t), y(t)) x (t) Q(x(t), y(t))

y (t) dt

L	a
При этом учитываем, что x		3sin t, y	5cost . При этом все	x	и

y , которые встречаются в записи компонент векторного поля, надо
выразить в виде x 3cost, y 5sin t .


45sin	2	t 15cos	2	t 18sin t cos t 50sin t cos t dt
45sin		t 15cos		t 18sin t cos t 50sin t cos t dt

0
		1 cos 2t
	30	1 cos 2t
	30		15 16 sin 2t dt
0		2
0


15	dt 16 sin 2tdt 15 1 cos 2t dt
0	0	0

						15
= 15t		8cos 2t		15t			sin 2t
	0		0		0	2

							0

30 . Ответ. 30 .

= 15

8(1 1) 15	15	(0	0)
	2

Задача 4. Найти потенциал, либо доказать, что поле не потенциально:

F ( yz, xz, xy) .

Решение. Чтобы доказать, что поле потенциально, построим матрицу

из всех 9 производных. В первом столбце по							x , во втором по	y	и в 3-
м по	z	:
м по		:
		yz		0	z	y

		xz	=	z	0	x
					x	0
		xy		y	x	0

Матрица симметрична поле потенциально.
Теперь ищем	потенциал. Для этого соединим	начальную точку с
произвольной	с помощью ломаной, чтобы	каждое звено было

параллельно какой-либо из осей координат.

Начальная точка, как правило, (0,0,0). Изменяющуюся переменную при этом будем обозначать через t , чтобы отличать от переменных x ,

y ,	z , которые в этих вычислениях будут использять роль верхнего

предела в том или ином интеграле, либо роль фиксированной константы внутри функции. Получается такая сумма интегралов:

x	y	z
P(t,0,0)dt Q(x, t,0)dt R(x, y, t)dt
0	0	0

Применим это к конкретным функциям в этой задаче.

x	y	z
(0 0)dt (x 0)dt xydt
0	0	0

= 0

	0 xyt	z
	0 xyt	0
		0

xyz

Вспомнив, что потенциал определяется с точность до константы, окончательный ответ можно записать так: U xyz C .

Ответ. U xyz C .

Задача 5. Функцию

f (z) i(z)

представить в виде u(x, y) iv(x, y) .

Решение. f (z) i(z)

= i(x iy)(x iy)

= i(x

i2xy)

i(x2 y 2 i2xy) = i 2 2xy i(x2 y 2 ) = (2xy) i(x 2 y 2 ) .

Поэтому u(x, y) 2xy ,

v(x, y)

Заметим, что здесь нарушено уже даже 1-е условие Коши-Римана:


ux 2 y ,	v y 2 y .
Ответ. u(x, y) 2xy , v(x, y) x		2	y	2	.
Ответ. u(x, y) 2xy , v(x, y) x			y		.
Задача 6. Дано u(x, y) 2xy 2 y ,				f (0) i . Найти v(x, y)		и	f (z) .

Решение. Сначала проверим уравнение Лапласа, т.е. что сумма вторых производных равна 0.

	2 y		,
ux	2 y	uxx 0	,
u	2x 2 u		0 .
y		yy

Их сумма равна 0. Уравнение Лапласа выполняется. Поэтому данная u(x, y) может являться одной из компонент какой-либо комплексной функции. Далее надо вычислить v(x, y) , найдём её в виде потенциала

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.34 Mб2Маркетинговые исследования.-3.pdf
#
05.02.20231.35 Mб2Маркетинговые исследования..pdf
#
05.02.20231.3 Mб3Математика (семестр 2, часть 1)..pdf
#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб2Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб4Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб12Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб3Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб8Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб4Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб2Математика. Дополнительные главы.pdf