Математика (семестр 2, часть 2).-1

y

3

arctg 1

arctg

arctg

. Впрочем, также будет

x

3

4

(cos i sin ) = 3

2 cos

i sin

.

4

4

Задача 3. Разделить

2 2i

двумя способами:

1 i

Решение.

1)

2 2i

=

( 2 2i)(1 i)

=

4i

2i .

1 i

(1 i)(1 i)

2

i3

i

2 2i

2 2 e

4

i

2 e

3

2 e

2 = 2 cos

i sin

=

2)

=

=

4

4 =

2i

1 i

ei 4

2

2

2

Задача 4. Возвести в степень в алгебраической и показательной

форме: 1 i 4 .

Решение. Перейдѐм к показательной форме, для этого сначала найдѐм

модуль и аргумент числа

1 i с помощью чертежа. Число в 1-й

четверти, угол 45 градусов.

i

i

4

1 i

i sin

=

2e 4 . По формуле Муавра,

2e 4

=

2 cos

4

4

4 ei

4 4

= 2 2 ei

4 4 = 4ei

= 4 cos i sin = 4 1 0i = 4 .

2

показательную форму. Угол здесь 30 градусов, то есть

, модуль

6

i = 2ei

2 12 2 . Итак,

6 .

3

3

i

18

i

18

Тогда

3 i 18

=

2e

6

= 218 e

6

=

218 ei3

= 218 cos 3 i sin 3

2 k

2 k

6 64

6

i sin

64 cos

=

6

6

k

k

2 cos

i sin

. Начертим окружность радиуса 2 и

6

3

6

3

z

k 0

3 i

z 2 cos

i sin

6

6

z 2i

k 1 z 2 cos

i sin

2

2

5

5

k 2 z 2 cos

i sin

z

3

i

6

6

7

7

k 3 z 2 cos

i sin

z

3

i

6

6

9

9

k

4 z

2 cos

i sin

z 2i

6

6

11

11

k

5 z

2 cos

i sin

z

3

i .

6

6

Задача 7. Дано z 2 i

. Найти e z .

6

2 i

2

2

i

2

3

1

Решение.

e

6

e

e

6 = e

cos

i sin

= e

i

=

6

6

2

2

e2

e2

3

i .

2

2

Задача 8. Найти все значения Ln(i) .

Решение.

По формуле Ln(z) ln i( 2k)

( k Z ):

2 k

Ln(i) = ln(1) i

2 k

= 0 i

.

2

2

1

Задача 12. Выяснить, сходится или расходится ряд

.

n 2

n ln n

Решение. По интегральному признаку Коши, можем рассмотреть

несобственный интеграл, эквивалентный данному ряду по

1

1

1

1

ln x =

=

=

.

сходимости.

dx

dx

d

ln(ln x)

2 =

2

x ln x

2

ln x x

2

ln x

Интеграл расходится, значит, и ряд расходится.

1

Задача 13. Выяснить, сходится или расходится ряд

.

3

n 3 n

ln n

Решение. Заметим, что

1

1

для любого n 3 .

Тогда ряд (по

n3 ln n

n3

признаку сравнения) можно ограничить сверху другим рядом,

1

1

<

, который, в свою очередь, сходится, так сходится

3

3

n 3 n

ln n

n 3 n

1

эквивалентный ему несобственный интеграл

dx (заменяем по

3

3

x

Задача 14. Выяснить, сходимость ряда

ln n

.

n 3 n

Решение. По признаку сравнения в непредельной форме,

ln n

1

,

n

n

таким образом, этот ряд получается больше, чем некоторый

расходящийся

ln n

>

1

. Гармонический ряд

1

расходится,

n 3 n

n 3 n

n 3 n

| a

n 1

|

a

n 1

3n 1

3n

3n 1 n!

3

lim

lim

= lim

:

=

lim

=

lim

=0.

n

n | an |

n an

(n 1)!

n 3

(n 1)!

n n 1

n

n!

Итак,

q 0 1, ряд сходится (абсолютно).

n

(n 1)

Задача 16.

( 1)

n 1

2n n!

| a

n 1

|

(n 2)

(n 1)

(n 2)

2n n!

lim

=

lim

:

=

lim

=

n 1

n

n 1

n | an |

2

(n 1)!

2

n!

2

(n 1)!

(n 1)

n

n

lim

n 2

lim

1

= 1 0 0.

n n 1 n 2(n 1)