Математика-2-й семестр (курс лекций)

центром в точке x 1, y 0 .

283

5. Интегральное исчисление функций многих переменных

5.1. Криволинейные интегралы. Теория поля

5.1.1. Кривые на плоскости и в пространстве

Рассмотрим вектор-функцию одного аргумента

r(t) поместить в начало координат, то их концы опишут в R3

некоторую кривую, называемую годографом вектор-функции r(t) , а вектор-функцию r(t) называют векторным представле-

нием этой кривой. Эта функция широко используется в физике для описания движения материальной точки M, так как, чтобы знать положение точки в момент времени t, необходимо указать координаты этой точки как функции времени, т.е. задать ее в виде M (x(t), y(t), z(t)) . Например, функция

r(t) a costi a sin tj btk

определяет движение точки по винтовой линии, а функция r(t) a costi a sin tj

- движение точки по окружности. Зафиксировав момент времени t t0 , мы найдем положение точки в этот момент.

прерывную кривую назовем кусочно-гладкой на [ , ], если отрезок [ , ] можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых кривая гладкая.

284

Кривую будем обозначать одной из букв , , L . Будем говорить, что кривая замкнута, если r( ) r( ) . Если существуют значения t1,t2 ( , ) параметра такие, что r(t1 ) r(t2 ) , то кривая имеет самопересечения, если таких значений t1,t2 нет, то кривая без самопересечений.

5.1.2. Криволинейные интегралы первого рода

Реализованная выше для скалярной функции скалярного аргумента схема построения интеграла Римана применима и для других классов функций. Покажем, как это делается для некоторых из них.

Функция f (x, y) двух переменных, скалярная или век-

торная, может быть задана в некоторой плоской области или на кривой, лежащей на плоскости. Аналогично функция трёх переменных может быть задана в некоторой пространственной области, на поверхности или на кривой в пространстве.

Назовём кривую гладкой, если в каждой её точке существует касательная, и кусочно-гладкой, если кривую можно разбить на конечное число участков, на каждом из которых кривая гладкая.

Определение. Пусть задана непрерывная кусочно-гладкая ограниченная кривая L и на L – ограниченная скалярнозначная функция f (M ) , где M (x, y, z) – некоторая точка кривой. Разо-

бьем L на элементарные участки точками. Внутри каждого полученного элементарного участка кривой выберем по точке M 0 , M1,..., M n . Вычислим значения f (M k ) функции в этих точ-

ках, умножим полученные значения на длину lk данного элементарного участка кривой и просуммируем. Предел получен-

n

ных сумм, Sn f (M k ) lk , если он существует, не зависит от

i 0

способа разбиения кривой на части и выбора точек внутри каждого элементарного участка кривой при условии, что длина эле-

285

ментарного участка стремится к нулю, называется криволинейным интегралом первого рода и обозначается f (x,y,z)dl .

L

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится тем или иным способом к вычислению определённых интегралов. Как это делается, показано ниже.

x x,

ной параметрически взяв в качестве параметра пере-

y f (x),

менную x. Тогда последняя формула приобретает вид

b

F (x,y)dl F (x, f (x))1 ( f (x))2 dx .

286

Теорема 5.1. Величина криволинейного интеграла первого рода не изменяется при изменении ориентации кривой, то есть

F (x,y,z)dl F (x,y,z)dl

L L

Доказательство. Докажем теорему в случае кривой, заданной параметрически. Введем новый параметр по формуле t t( ) b a . Тогда

r(t) r(b a ) x(b a )i y(b a )j z(b a )k

.

Заметим, что когда движется от a к b , то t движется от b к a и наоборот. При этом dt d , и кривая обходится в противоположном направлении. Поэтому

287