Математика-2-й семестр (курс лекций)

перейти к повторным и расставить пределы интегрирования.

Перейдем вначале к повторному интегралу типа (5.3). Тогда a 0; b 0,5; y1 (x) x; y2 (x) 1 x . Поэтому

интеграле f (x, y)dxdy перейти к повторным и расставить

D

пределы интегрирования.

Найдём уравнения прямых AB , BC , AC . Уравнение прямой AB можно записать в виде

вида (5.3), так и для перехода к интегралу вида (5.4) приходится разбивать область на две. Для интеграла вида: (5.3) соответствующие области задаются неравенствами:

311

Расставить пределы интегрирования, взяв внешний интеграл по y (то есть представить двойной интеграл в

виде повторного интеграла вида (5.4)), предлагается самостоятельно.

Пример 4. Пусть область D задана неравенствами y x2 , y x . Тогда

312

5.2.2.2. Вычисление тройных интегралов

Аналогично случаю двойного интеграла доказывается, что если V [a,b] [c, d] [e, f ] - параллелепипед, то

Пусть теперь V - область, расположенная между плоскостями x a, x b и для x [a,b] область V одно-

значно проектируется на плоскость YOZ и D - эта проекция. Тогда

Если V - цилиндр с образующими, параллельными оси OZ , направляющей, лежащей в плоскости XOY и являющейся границей области D , ограниченный поверхно-

стями z z1 (x, y), z z2 (x, y) , то

313

Пример 2. Область V ограничена поверхностями

5.2.3. Замена переменных в кратных интегралах

5.2.3.1. Криволинейные системы координат

Положение точки на прямой, на плоскости, в R3 и в Rn можно определить различными способами. В частности, это можно сделать, задав её декартовы координаты. Иногда же бывает удобно фиксировать положение точки при помощи других величин, например, связанных с решаемой задачей. Выяснением этих вопросов для общего случая мы и займёмся.

Пусть D, D1 Rn - области, r : D1 D отображение

314

Если r - биективное (взаимно однозначное) отображение, то будем говорить, что задана криволинейная система координат, так как в этом случае положение точки x D однозначно определяется точкой u D1 . Если вектор-

функция r дифференцируема, то криволинейную систему координат будем называть регулярной. Заметим, что в этом случае, по теореме о производной обратной функции [раздел 2.5], обратное отображение, осуществляемое век- тор-функцией r 1 , дифференцируемо.

Система вектор-функций x r(u) r(u1 ,u2 ,...,un ) при ul const образует, как и в случае декартовых координат,

систему координатных поверхностей. Пересечения координатных поверхностей образуют координатные поверхности меньшей размерности. В частности при n 2 , отображение r r(u,v) задаёт криволинейную систему координат на плоскости, а кривые

(x, y)T r(u,C2 ) x(u,C2 )i y(u,C2 )j, (x, y)T r(C1,v) x(C1,v)i y(C1,v)j ,

образуют координатные линии. Аналогично при n 3 отображение r r(u,v, w) задаёт криволинейную систему ко-

ординат в пространстве R3 , поверхности

(x, y, z)T r(u,v,C3 ) x(u,v,C3 )i y(u,v,C3 )j z(u,v,C3 )k ,

(x, y, z)T r(u,C2 , w) x(u,C2 , w)i y(u,C2 , w)j z(u,C2 , w)k ,

(x, y, z)T r(C1,v, w) x(C1,v, w)i y(C1,v, w)j z(C1,v, w)k ,

образуют координатные поверхности, а их пересечения, то есть кривые

315

(x, y, z)T r(u,C2 ,C3 ) x(u,C2 ,C3 )i y(u,C2 ,C3 )j z(u,C2 ,C3 )k,

(x, y, z)T r(C1,v,C3 ) x(C1,v,C3 )i y(C1,v,C3 )j z(C1,v,C3 )k,

(x, y, z)T r(C1,C2 , w) x(C1,C2 , w)i y(C1,C2 , w)j z(C1,C2 , w)k,

образуют систему координатных линий.

Длины векторов rul ,l 1, 2,...,n, то есть числа hi rul , l 1, 2,..., n, называются коэффициентами Ламе криволи-

нейной системы координат. Если векторы rul ,l 1, 2,...,n, по-

парно ортогональны, то криволинейная система координат называется ортогональной. В частности, криволинейная система координат на плоскости будет ортогональной, ес-

Заметим, что для ортогональной криволинейной системы координат модуль определителя матрицы Якоби r (производной матрицы) [раздел 2.1] равен произведению коэффициентов Ламе.

5.2.3.2. Полярная система координат на плоскости

Наиболее часто используемой криволинейной системой координат на плоскости является полярная система координат. Положение точки в этой системе координат определяется длиной радиус-вектора точки и углом ме-

жду радиус-вектором точки и осью. Если в роли оси полярной системы взять ось OX , то в координатном виде пе-

316

реход от декартовых координат к полярным осуществляет-

x cos ,

ся по формулам . В векторной форме то же са-

y sin ,

мое записывается в виде

Угол при этом может быть выбран из любого по-

[ , ) . Полярная система координат яв-

ляется ортогональной. Действительно, вычисляя скалярное произведение векторов

r (cos , sin )T , r ( sin , cos )T ,

получаем требуемое. Коэффициенты Ламе для полярной системы координат равны h 1 , h .

5.2.3.3. Сферическая и цилиндрическая системы

координат в R3

Возможны два обобщения полярной системы координат на случай пространства R3 . Первое из них называется сферической системой координат. Положение точки в этой системе координат определяется длиной радиус-вектора точки, углом ме-

жду радиус-вектором точки и осью OZ , углом между проекцией радиус-вектора

точки на плоскость XOY и осью OX. Формулы перехода в координатной форме приобретают вид

317

x cos sin ,y sin sin ,

z cos .

При этом 0 , 0 2 , 0 . В векторной форме то же самое записывается в виде

( cos sin )i ( sin sin ) j cos k .

Сферическая система координат является ортогональной. Действительно, вычисляя скалярное произведение векторов

r (cos sin , sin sin , cos )T , r ( sin sin , cos sin ,0)T ,

r ( cos cos , sin cos , sin )T ,

получаем требуемое. Коэффициенты Ламе для сферической системы координат равны h 1 , h sin , h .

Второе обобщение полярной системы координат называется цилиндрической системой координат. Положение точки в этой системе координат определяется длиной проекции

радиус-вектора точки на плоскость XOY ,

углом между этой проекцией и осью OX ,

координатой z . Формулы перехода в координатной форме приобретают вид

x cos ,y sin ,z z.

При этом 0 , 0 2 , z . В векторной форме то же самое записывается в виде

318

( cos )i ( sin )j zk .

Цилиндрическая система координат также ортогональна. Предлагается проверить это самим. Коэффициенты Ламе для цилиндрической системы координат равны h 1 , h , hz 1.

5.2.3.4. Замена переменных в интегралах Теорема 5.15. Пусть f (x) f (x1, x2 ,..., xn ) - функция,

заданная в области D Rn , r : D1 D - биективное (осуще-

ствляющее взаимно однозначное соответствие) дифференцируемое отображение,

Тогда

f (x)dx f ((u)) r (u) du,

где r (u) - модуль якобиана r (u) (определителя матри-

цы Якоби или, что то же самое, производной матрицы r (u) ).

Доказательство. Пусть n 2 . Тогда взаимно одно-

319

r(uk 1 ,v), r(u,vl 1 ) .

для вычисления интеграла от функции f по области D , в

320