Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика-2-й семестр (курс лекций)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

11.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) (дифференциала f (x)dx ) на отрезке [a,b] , если F (x) дифференцируема на [a,b] , за исключением конечного числа точек, и F (x) f (x) во всех точках существования производной функции F (x) .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.10. Для любой функции, имеющей конечное число точек разрыва 1-го рода, существует первообразная, дифференцируемая во всех точках непрерывности подынтегральной функции.

Как известно, элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую, тригонометрические и им обратные функции, а также полученные из перечисленных с помощью конечного числа их суперпозиций и конечного числа операций сложения, умножения, вычитания, деления и извлечения корня. При изучении производных мы видели, что производная элементарной функции снова есть элементарная функция. Для первообразной это не так. Не для каждой элементарной функции первообразная есть элементарная функция. Это даёт возможность введения новых, неэлементарных функций, с помощью операции интегрирования. Интегралы от функций, для которых первообразная не является элементарной функцией, называются неберущимися. Наиболее известными неэлемен-

тарными функциями являются e x2 dx ,				cos x2dx, sin x2dx,
	sin x	dx six C - интегральный синус,				cos x	dx cix C -
	x					x
интегральный косинус, lix C			dx	e y	dy - интегральный

			ln x	y

логарифм.

251

4.4. Замена переменных в определённом интеграле

Иногда возникает необходимость перейти в интеграле к

новой переменной. Имеет место следующий результат.
Теорема		4.11. Пусть f (x)		интегрируема		на	отрезке
[a,b] и	: [ , ] [a,b] - дифференцируемое биективное (вза-
имно однозначное) отображение, такое, что					( ) a; ( ) b .
b
Тогда f (x)dx f ( (t)) (t)dt .
a
Доказательство.			Докажем теорему в предположении,
что функция f ( (t)) (t)			интегрируема на отрезке [ , ] .Это
выполнено, например, когда функции f (x) и (t)						имеют ко-
нечное	число	точек	разрыва	первого	рода		(кусоч-
но непрерывны), так как			в этом случае функция			f ( (t)) (t)

также кусочно непрерывна и, по следствию из теоремы 2.3, интегрируема. Разобьём отрезок [ , ] на части точками

t0 , t1 , ... , tn . Этому разбиению отрезка [ , ] соответствует разбиение отрезка [a,b] точками xi (ti ) . Так как (t) дифференцируема, то, по теореме Лагранжа о конечных приращениях [3] , xi xi 1 xi ( i ) ti , где i [ti ,ti 1 ] - некоторая точка. Положим i ( i ) [xi , xi 1 ] . Составим интегральную сумму

n 1	n 1
f ( i ) xi	f ( ( i )) ( i ) ti .
i 0	i 0
В левой части этого равенства стоит интегральная сумма
b
для интеграла f (x)dx , а	справа - для интеграла
a

f ( (t)) (t)dt . Так как оба интеграла существуют, то, переходя

в этом равенстве к пределу по всевозможным разбиениям, получаем справедливость утверждения теоремы.

252

Пример 1. Вычислить интеграл xdx . Положим

0 1 x

x t 2 . Тогда				0, 2 ,								dx 2tdt							и поэтому исходный инте-
грал равен
2		2t		3dt		2		((t 3		1) 1)dt									2	((t				1)(t 2			t 1) 1)dt
		2t		3dt	2			((t 3		1) 1)dt									2	((t				1)(t 2			t 1) 1)dt
					2						1 t								2
0		1 t				0					1 t								0						1 t
0						0													0
2										2		dt							3		t	2								2
																														2

			2
2			2	t 1)dt 2												t
2	(t			t 1)dt 2								1 t			2			3			2			t ln(1 t)
0										0		1 t						3			2									0
0					8			4		0												16								0
					8			4														16
				2						2 (ln 3 ln1)															2ln 3.
				2						2 (ln 3 ln1)															2ln 3.
					3			2															3
																							8		dx
																									dx
Пример 2.						Вычислить интеграл																						.		Положим
																									2
																									2		x 1
																							3
x 1 t 2 . Тогда 2, 3,													dx 2tdt и поэтому
8				dx					3		tdt				3		t 2 2									3			3		dt
				dx			2				tdt			2			t 2 2							dt 2 dt 4							dt
							2							2										dt 2 dt 4
3	2 x 1								2	t 2					2				t 2							2			2		t 2
2t				3 4 ln(t 2)							3	2(3 2) 4(ln 5 ln 4) 2 4 ln1,25.
2t				3 4 ln(t 2)							3	2(3 2) 4(ln 5 ln 4) 2 4 ln1,25.
				2							2
				2							2

4.5. Приближённое вычисление определённого интеграла

Если первообразная является неэлементарной функцией или находится достаточно сложно, то использование формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла затруднено. В этом случае определённый интеграл вычисляют приближённо, чаще всего численно. Получением некоторых формул для численного вычисления интеграла мы и займёмся.

253

Пусть непрерывная функция f (x) задана на отрезке

[a,b] . Так как интеграл f (x)dx существует, то разобьём отре-

f (

зок [a,b] на n

частей точ-

ками xi

a ih,i 0,1,..., n ,

где

b a

Положив в

интегральной

сумме

n 1

f ( i ) xi

последова-

i 0

тельно

i xi

i xi 1

xi xi 1

получаем

результате

формулы

для

приближённого

вычисле-

ния интеграла

n 1

b a

n 1

f (x)dx

f (xi ) xi

f (xi ) ,

i 0

n 1

b a

n 1

x)dx f (xi 1 ) xi

f (xi 1 )

f (xi ) ,

i 0

i 1

n 1

x x

b a n 1

x x

f (x)dx f

i 1

i 0

называемые формулами прямоугольников.

Называются они так потому, что криволинейная трапеция, ограниченная линиями y 0, x xi , x xi 1, y f (x) , заменяется в первом случае прямоугольником, ограниченным линиями y 0, x xi , x xi 1, y f (xi ) , во втором случае прямоугольником, ограниченным линиями y 0, x xi , x xi 1,

254

y f (xi 1 ) , а в третьем случае прямоугольником, ограниченным

	y 0, x x , x x			y	x	i	x	i 1
линиями			,		f				.

	i	i 1					2

Если криволинейную трапецию, ограниченную линиями y 0, x xi , x xi 1, y f (x) , заменить трапецией с вершинами в

точках (xi ,0), (xi 1,0), (xi , f (xi )), (xi , f (xi 1 )) , то для приближён-

ного вычисления интеграла получаем формулу

b	b a	f (a) f (b)
f (x)dx


	n	2
a

n 1
f (xi ) ,
i 1

называемую формулой трапеций.

Точность формул прямоугольников и формулы трапеций имеет порядок n12 .

4.6. Несобственные интегралы

Выше был определён интеграл для ограниченных и заданных на ограниченном отрезке функций. Распространим понятие интеграла на случаи, когда одно или оба этих условия нарушаются.

4.6.1. Несобственные интегралы первого рода

Рассмотрим вначале случай, когда функция задана на промежутке [a, ) . Так как понятие интеграла по конечному

промежутку уже введено, то рассмотрим конечный отрезок [a, A] входящий в полуинтервал [a, ) и, соответственно, инте-

грал f (x)dx по этому промежутку. Переходя к пределу, при

стремлении A к бесконечности, получаем понятие несобственного интеграла по бесконечному промежутку (первого рода). Формализация этой идеи приводит к следующему определению.

Определение. Пусть f (x)	задана на бесконечном проме-
жутке [a, ) и для всякого	A a существует интеграл
255

A		A
f (x)dx. Предел	lim	f (x)dx	называется несобственным ин-
a	A	a
a		a

тегралом первого рода (интегралом по неограниченному про-

		A
межутку) и обозначается f (x)dx. Если	lim	f (x)dx	сущест-
a	A	a
a		a

вует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Пример 1. Рассмотрим 1 xdx . Пусть

A	dx	lim ln x	1A lim (ln A ln 1) .
lim

	x
1	x
A		A	A

1. Тогда dx

1 x

Таким образом, рас-

смотренный интеграл при 1 расходится. Пусть теперь 1. Тогда

		A			x1	A		при 1,

	dx	lim	dx	lim			1

1 x		A 1	x	A 1				при 1,
						1	1

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при 1 расходится и при 1 сходится. Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.

Пример 2. Выясним сходимость интеграла

2x 2

Имеем

lim

2x 2

256

	A	dx				arctg(x 1)		lim (arctg( A 1) arctg 0)
lim					lim		A
							A
							1
		(x 1)	2	1			1
A	1	(x 1)		1	A			A

2 . Следовательно, интеграл сходится и его значение равно

2 .

Пример

Выяснить

сходимость

интеграла

xe x2 dx x exp( x2 )dx .

По определению получаем

xe x2 dx lim

xe x2 dx lim ( 1 ) e x2 d ( x2 )

1 e x

lim

1 e A

lim

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно

0,5e 1 .

Пример 4. Для интеграла

имеем

ln x

A lim 2

lim

ln x

lim 2

ln x

ln A

e x

ln x

Следовательно, интеграл расходится.

Пример 5. Для интеграла

по определению име-

x ln 2 x

ем

A d ln x

lim

1 1

x ln 2

ln 2

ln x

ln A

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно

257

Пример 6. Выяснить сходимость интеграла e x dx ,

												0
0 .
По определению
e x dx lim				A e x dx lim (					1	) A e x d ( x)
e x dx lim				A e x dx lim (						) A e x d ( x)
	A						A
0				0						0
	1		x		A	1		1		A	1
	1		x		A	1		1		A	1
lim		e					lim		e			.
lim		e					lim		e			.
							A
A					0		A
					0

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно

1 .

Нам в дальнейшем понадобится следующий важный результат.

Теорема 4.11. (Критерий Коши). Несобственный интеграл первого рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого 0 существует A a такое, что для всех A1, A2 A вы-

полнено неравенство f (x)dx .

Доказательство этого результата опустим.

Определение. Несобственный интеграл первого рода

f (x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится ин-

теграл f (x) dx.

Отметим, что если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится. Действительно, тогда для

интеграла f (x) dx выполнен критерий Коши, а в силу спра-

258

	A2	A2
ведливости неравенства	f (x)dx		f (x)	dx	критерий Коши


	A1	A1

выполнен и для интеграла f (x)dx.

Обратное утверждение неверно, точнее, если интеграл сходится, то он не обязан сходиться абсолютно.

Сходимость несобственного интеграла f (x)dx опреде-

ляется аналогично. Предлагается проделать это самостоятельно.

Для несобственного интеграла f (x)dx можем записать


	a
f (x)dx		f (x)dx f (x)dx и назвать этот интеграл сходя-
		a

щимся, если сходятся оба слагаемых. Если хотя бы один из этих

интегралов расходится, то будем считать интеграл f (x)dx

расходящимся. В качестве точки a выбирают обычно 0.

Пример 7. Рассмотрим интеграл xdx2 . По определе-

1 x

нию сходимости этого интеграла получаем

xdx

lim

1 x2

lim

ln(x2 1)

lim ln(x2 1)

A2 .

Так как оба слагаемых расходятся, то исходный интеграл расходится. Получаемая при этом неопределённость при

разных скоростях стремления A1 к		и A2	к даёт разные

	A n2	1 ,
результаты. В частности, если	A n2	1 ,	A	n 1 , то
	1		2
	259

lim

ln(x2 1)

lim

ln(x2 1)

2 A1

2 A2

lim (ln n 2ln n)

lim

2 n

2 n n

n2 1 , то абсолютно аналогич-

Если A n 1 , A

но показывается, что этот предел равен . Подобрав скоро-

сти стремления A1 к и

к , можно получить в пре-

деле любое заранее заданное число от

до .

С другой стороны, при согласованном стремлении верх-

него и нижнего пределов к

можем записать

xdx

lim

ln(x2 1)

1 x2

A 2

lim (ln( A2

1) ln( A2

1)) 0.

2 A

Это дает возможность ввести новое понятие.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл пер-

вого рода f (x)dx сходится в смысле главного значения Коши,

если существует и конечен предел lim f (x)dx .

В случае, если рассматривают сходимость интеграла в смысле главного значения Коши, то перед знаком интеграла до-

бавляют буквы V.P., то есть пишут V.P. f (x)dx (V.P. – началь-

ные буквы французских слов valeur principal переводящихся как «главное значение»).

Рассмотренный выше пример показывает, что несобст-

венный интеграл первого рода f (x)dx может сходиться в

260

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб2Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб4Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб12Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб3Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб8Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб4Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб2Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб12Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб4Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб3Математика.-2.pdf