Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика-2-й семестр (курс лекций)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

11.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3527 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

смысле главного значения Коши и расходиться в обычном смысле.

Отметим несколько свойств несобственных интегралов


первого рода f (x)dx .
	a

1.	Если	интеграл	f (x)dx	сходится, то для		всякого
			a

b a	интеграл		f (x)dx		сходится	и
			b
	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.
a	a	b

2.	Если интеграл		f (x)dx	сходится, то сходится инте-
			a

грал f (x)dx		и имеет место равенство			f (x)dx f (x)dx.
a				a	a

3. Если интегралы f (x)dx				и g(x)dx сходятся, то схо-
			a	a

дятся интегралы ( f (x) g(x))dx и имеет место равенство
		a

		( f (x) g(x))dx		f (x)dx g(x)dx.
		a		a	a

Обратное утверждение неверно, то есть, если интеграл от алгебраической суммы функций сходится, то интегралы от

слагаемых сходиться не обязаны. Например, интегралы dx и

1 x

261

	dx			1	1			dx
		расходятся, а интеграл				dx			, как
	x 1							x(x 1)
1		1	x		x 1		1

будет показано позднее, сходится.

Для других типов несобственных интегралов первого рода свойства аналогичны.

Сходимость не всех несобственных интегралов первого рода просто выяснить по определению. Поэтому часто используют так называемые признаки сравнения в непредельной и предельной формах.

Теорема 4.13. Пусть для всякого x A(A a) выполнено

неравенство f (x) g(x) . Тогда если интеграл g(x)dx абсо-

лютно сходится, то интеграл f (x)dx абсолютно сходится, а

если

интеграл f (x)dx абсолютно расходится, то

интеграл

g(x)dx абсолютно расходится.

Доказательство. Действительно, в условиях

теоремы

для всех A a имеем

f (x)

g(x)

dx . Тогда если интеграл

g(x)

dx сходится, то

f (x)

dx есть монотонно возрастающая

ограниченная сверху функция от

A , и поэтому имеет предел

при A . Если

интеграл

f (x)

dx расходится, то

lim

f (x)

dx , и поэтому lim

g(x)

dx .

262

[5, 6,

Теорема 4.14. Если f (x) и g(x) - бесконечно малые в

одного порядка малости,

то есть

lim

f (x)

K 0, , то

x g(x)

интегралы f (x)dx и g(x)dx

либо оба абсолютно сходятся,

либо оба абсолютно расходятся.

Доказательство.

Так

как

lim

f (x)

K ,

то

x g(x)

f (x)

Возьмем

. По определению предела

lim

g(x)

существует M 0 такое,

что для всех

x M выполнено нера-

венство

f (x)

а следовательно, и неравенство

g(x)

f (

g(x)

. Из последнего неравенства и

теоремы 4.13 получаем утверждение теоремы.

Замечание. После изучения теоремы 4.14 может сложиться впечатление, что для сходимости несобственного интеграла первого рода, в том числе и абсолютной, необходимо, чтобы подынтегральная функция была бесконечно малой при x . То, что это не так, показывает следующий пример

33].

Возьмем функцию, график которой состоит из отрезков

	1			n,1 ,		1
прямых, соединяющих точки n		, 0	,		n		, 0	,
	2n					2n

263

n 1, 2,... .

Ее аналитическое

выражение

имеет

вид

1 n 2

x n

, n ,

f x

1 n 2

x n, n

x n

, n

Площадь, заключенная между графиком этой функции и

осью OX , равна сумме площадей треугольников с вершинами в

точках

, 0 ,

n,1 , n

, 0 ,

1, 2,... . Так как пло-

щадь каждого

такого

треугольника равна

n 1, 2,... , то

x dx

0,25

. Заметим,

что условие ограниченности

1 0,5

функции f x

несущественно, так как вершины треугольников

n, n ,

можно

взять,

например, в

точках

, 0 ,

n2n

n 1, 2,... .

, 0

n2n

sin x

cos x

Пример 8. Интегралы

dx и

сходятся аб-

солютно

при

любом

Действительно,

sin x

cos x

для всех x 0 , а интеграл

– сходящийся, а так

если x 0 ,

как

то и абсолютно сходящийся при любом

264

Напомним, что если

f (x) 0 ,

то понятия сходимости и

абсолютной сходимости интеграла f (x)dx совпадают.

Покажем

теперь,

что при любом

0 1

интеграл

sin x

сходится, но

не

абсолютно. Действительно,

sin x

A sin x

dx lim

dx . Применим к стоящему справа интегра-

лу

формулу

интегрирования

по

частям.

Положим

, dV sin xdx .

Тогда

dU dx ,

x 1

dV sin xdx cos x C

и можем положить V cosx . Да-

лее получаем

sin x

dx lim

cos x

cos x dx

lim

cos x

lim

dx .

Предел выражения справа существует, так как оба сла-

гаемых

имеют

конечный

предел.

Действительно

cos x

lim

, а так как интеграл

сходится абсо-

лютно при 0 (показано выше), то существует и конечен предел второго слагаемого. Поэтому существует предел выра-

sin x

жения слева и, следовательно, интеграл x dx сходящийся.

Аналогично показывается, что при любом 0 1 интеграл

cos x
		dx	сходится. Покажем теперь, что при любом 0 1
	x	dx	сходится. Покажем теперь, что при любом 0 1
	x

			265

sin x

интеграл x dx не является абсолютно сходящимся. Дейст-

вительно, для всех вещественных чисел выполнено неравенство sin2 x sin x . Следовательно, можем записать

sin x

	A	sin x
	A	sin x
dx lim

		x
A		x

lim

A sin2 x

1 cos2x

dx lim

A cos 2x

lim

dx .

Так как при

0 1 интеграл

расходящийся и

cos2x

то lim

. Далее, интеграл

dx сходящий-

ся,

так

как

можем

записать

cos2x

cosu

dx 2 2

d (2x) 2 2

du ,

а последний ин-

(2x)

теграл сходящийся. Следовательно, предел второго слагаемого

sin x

конечен. Тогда lim

dx и поэтому

dx расходит-

ся.

Заметим, что при 1 эти примеры рассмотрены в [5, 6]

и [8].

2 sin x

Пример 9. Выяснить сходимость интеграла

dx.

2 sin x

Так как

для всех x 1, а интеграл

сходится, то и исходный интеграл тоже сходится.

266

Пример 10. Выяснить сходимость интеграла

1 dx. x(x 1)

Находя порядок малости подынтегральной функции от-

носительно функции

, получаем

если 2;

lim

если 2;

x x(x 1)

если 2.

Таким

образом,

порядок

малости

подынтегральной

функции относительно

равен 2 и так как

сходится, то

x 2

исходный интеграл сходится.

Пример

11.

Выяснить

сходимость

интеграла

dx.

(x 1)

x 2

Находя порядок малости подынтегральной функции от-

носительно функции

получаем

если 1,5;

lim

если 1,5;

x (x 1) x 2

если 1,5.

Таким

образом,

порядок

малости

подынтегральной

функции относительно

равен 1,5 и так как

сходится,

x1,5

то исходный интеграл сходится.

Пример12.

Выяснить

сходимость

интеграла

dx.

(x 2)3

x 5

267

Находя порядок малости подынтегральной функции от-

носительно функции 1x , получаем

					0,	если	4		;
		x					3
		x					3
lim					1,	если		4		;
lim					1,	если	3			;
x (x 2)3 x 5							3
x (x 2)3 x 5							4
				,		если					.
				,		если	3				.
							3
Таким образом, порядок малости подынтегральной
функции относительно	1	равен	4	и, следовательно, интеграл
функции относительно	x	равен	3	и, следовательно, интеграл
	x		3
сходится.

													x 2
Пример 13. Выяснить сходимость интеграла													x 2
														dx.
												x2 4		dx.
									1

Находя порядок малости подынтегральной функции от-

носительно функции 1x , получаем

если 1,5;

x 2

lim

если 1,5;

если 1,5.

Таким образом, порядок малости подынтегральной

функции относительно

равен 1,5 и, следовательно, интеграл

сходится.

Пример

14.

Выяснить

сходимость

интеграла

dx.

Находя порядок малости подынтегральной функции от-

носительно функции 1x , получаем

	x			0,		если 0,5;
			x3 2	0,		если 0,5;
			x3 2
lim					1,	если 0,5;
lim		x2 5			1,	если 0,5;
x		x2 5				если 0,5.
				,		если 0,5.

		268

Таким образом, порядок малости подынтегральной

функции относительно

равен 0,5 и, следовательно, интеграл

расходится.

Пример 15.

Интеграл e x 2 dx

сходится, так как имеет

место оценка e x2 xe x2

для всех x 1, а интеграл

xe x2 dx ,

как было показано ранее, сходящийся.

Пример 16. Интеграл

расходится, так как имеет

ln x

место

оценка

для

всех x e ,

инте-

ln x

x ln x

грал

, как было показано ранее, расходится.

x ln x

4.6.2. Несобственные интегралы второго рода

Предположим

теперь,

что подынтегральная

функция

f (x)

неограничена на промежутке (a,b) . Эта особенность мо-

жет быть в точках

a, b или во внутренней точке этого проме-

жутка. Мы рассмотрим случай с особенностью в точке

b , то

есть в случае, когда функция

f (x) неограничена в некоторой

окрестности точки b . При этом функцию будем считать задан-

ной на полуинтервале [a,b) . Рассмотрим интеграл f (x)dx от

функции f (x) по несколько меньшему отрезку [a,b ] , вхо-

дящему в полуинтервал [a,b) . Устремляя в интеграле f (x)dx

верхний предел интегрирования к точке b , то есть при стремящемся к нулю, получаем понятие несобственного интеграла

269

второго рода (интеграла от неограниченной функции). Формализация рассмотренной идеи приводит к следующему определению.

Определение. Пусть f (x) задана на полуинтервале [a,b) и неограничена вблизи точки b (в некоторой окрестности точки b ). Пусть далее для всякого 0 b a существует интеграл

b		b
f (x)dx. Предел	lim	f (x)dx называется несобственным ин-
a	0	a
a		a

тегралом второго рода (интегралом от неограниченной функ-

b		b
ции) и обозначается f (x)dx. Если	lim	f (x)dx существует и
a	0	a
a		a

конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция неограниченна вблизи точки a , во внутренней точке отрезка [a,b] ,

вблизи точек a и b одновременно. Для удобства изложения мы рассматриваем случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.

										1	dx					1	dx
		Пример 1. Рассмотрим									dx		. Пусть 1. Тогда				dx
		Пример 1. Рассмотрим											. Пусть 1. Тогда				x
										0		x				0	x
										0						0
	1	dx	lim ln x			1 lim(ln1 ln ) . Таким образом, рас-
lim


0	x		0					0
0	x		0					0
смотренный интеграл при 1 расходится. Пусть теперь
1. Тогда
			1				1					1		1	1
			1				1					1		1	1
				dx					dx			x				при 1,
				dx					dx			x				при 1,
					lim					lim
			x		lim		x			lim		1			1
			x		0		x			0		1			1
			0													при 1,
			0													при 1,

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при 1 сходится и при 1 расходится. Аналогичные выво-

270

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3527 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб2Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб4Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб12Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб3Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб8Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб4Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб2Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб12Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб4Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб3Математика.-2.pdf