Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика-2-й семестр (курс лекций)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

11.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Таким образом, осталось научиться раскладывать

правильные рациональные дроби на сумму простейших.

По основной теореме алгебры любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в

виде Q(x) an (x x1 )(x x2 )...( x xn ) an (x xl ) , где xl –

l 1

действительные или комплексные корни полинома Q(x) , повто-

ренные столько раз, какова их кратность.

Пусть полином Q(x) имеет n различных корней x1, x2 ,..., xn . Тогда правильная рациональная дробь может быть

представлена в виде	P(x)		A1	A2		...	An		, где
представлена в виде	Q(x)		x x	x x		...	x x		, где
		1			2			n

A1, A2 ,..., An - числа, подлежащие определению. Если xi - корень кратности , то ему в разложении на простейшие дроби соот-

ветствует слагаемых	A1		A2	...	A	. Если	x j
	x x		(x x )2		(x x )
		i
			i		i

- комплексный корень кратности полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число x j -

тоже корень кратности этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней,

объединяют и записывают одним слагаемым вида	Mx N	,

	x2 px q

если x j , x j – корни кратности один. Если x j , x j – корни кратно-

сти ,	то им соответствует слагаемых,				и соответствующее
разложение имеет вид
		M1x N1	M 2 x N2	...	M x N	.
		x2 px q	(x2 px q)2	...	(x2 px q)	.
		x2 px q	(x2 px q)2		(x2 px q)
			241

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, рассмотренных выше.

Одним из способов нахождения коэффициентов Aj , M j , N j в разложении правильной рациональной дроби явля-

ется следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами Aj , M j , N j приводят к общему

знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x ), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов. Продемонстрируем изложенное на примерах.

Пример 1. Найти

x2 x 1

dx .

x3 3x 2

Корни знаменателя –

x1 2 кратности 1 и x2

1 крат-

ности 2. Поэтому

x3 3x 2 (x 2)(x 1)2 , и подынтегральная

функция может быть представлена в виде

x2 x 1

x3 3x 2

(x 1)2

x 1

Приводя к общему знаменателю, получаем

x2 x 1

A (x 1)2

A (x 1)( x 2) A (x 2)

x3 3x 2

( A1 A2 )x2 ( 2A1 A2 A3 )x ( A1 2A2 2A3 ) .

x3 3x 2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

242

	A1 A2			1,
				1,
2 A1 A2 A3				1,
	A 2 A 2 A			1.
	1	2	3

Решая эту систему, находим A																					7		, A		2	, A				1	.
Решая эту систему, находим A																							, A			, A					.
																1					9		2	9		3			3
																					9			9					3
Таким образом,
			x2 x 1									7 dx						2					dx	1					dx
							dx
		x3 3x 2					dx				9		x 2					9				x 1		3				(x 1)2
			7	ln	x 2			2	ln			x 1				1						C.
			7					2								1
															3(x
9								9												1)
9								9												1)
Пример 2. Найти										2x2 2x 2									dx .
Пример 2. Найти										x3 2x 4									dx .
Корни знаменателя – x1 2 кратности 1 и два комплекс-
ных корня x2,3 1 i . Поэтому x3																	2x 4 (x 2)(x2 2x 2) ,
и подынтегральная функция может быть представлена в виде
						2x2 2x 2										A							Mx N				.
						x3 2x 4								x		2					x2 2x					2	.
						x3 2x 4								x		2					x2 2x					2
Приводя к общему знаменателю, получаем
	2x2 2x 2									A(x2 2x 2) (Mx N )( x 2)
			x3 2x 4														x3 2x 4
			x3 2x 4														x3 2x 4

( A M )x2 (2A 2M N )x (2A 2N ) .

x3 2x 4

A M		2,
		2,
2 A 2M N
	2 A 2N	2.

Решая эту систему, находим A 1, M 1, N 2. Таким образом,

243

2x2 2x 2

x 2

x3 2x 4

x 2

x2 2x 2

x 2

x 1 1

x 1

x2 2x 2

x 2

x2 2x 2

ln x 2 12 ln(x2 2x 2) arctg(x 1) C .

Пример 3. Найти	14 x2 54 x 43	dx .
	(x2 2x 2)( x 5)2

Корни знаменателя x1,2 5 кратности 2 и пара ком-

плексно сопряжённых корней x3,4 1 i кратности 1. По-

этому подынтегральная функция может быть представлена в виде

14 x2 54 x 43

Mx N

(x2 2x 2)(x

5)2

(x 5)2

x2 2x 2

Приводя к общему знаменателю и подобные, получаем

14 x2 54 x 43

( A M )x3 ( 3A A 10M N )x2

(x2 2x 2)( x 5)2

( 8A1 2 A2 25M 10 N )x ( 10 A1 2 A2 25 N )

(x2

2)( x 5)2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в чис-

лителях правой и левой частей последнего соотношения, полу-

чаем

3A1

A2 10M

N 14,

8A1 2A2

25M 10 N 54,

10 A 2A

25 N 43.

Решая

эту

систему,

находим

A1 2, A2 1, M 2, N 1 .

Таким образом,

244

dx rt

14 x2 54 x 43

dx 2

2x 1

(x2 2x 2)(x 5)2

x 5

(x 5)2

2x 2

2ln

x 5

ln(x2 2x 2) arctg(x 1) C.

x 5

2x3 6x2 4

Пример 4. Найти

dx .

(x2

1)2 (x 1)

Корни знаменателя –

x1 1 кратности 1 и два комплекс-

ных корня x2,3,4,5 i

кратности 2.

Поэтому подынтегральная

функция может быть представлена в виде

2x3 6x2 4

x N

(x2 1)2

x 1

x2 1

(x 1)

(x2 1)2

Дальнейшие вычисления предлагается проделать самостоятельно.

4.2.2.5. Интегрирование простейших иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции

Рациональной функцией переменных x1, x2 ,..., xn назовём

отношение двух полиномов от этих переменных, или, что то же самое, отношение двух линейных комбинаций всевозможных произведений целых степеней этих переменных.

Пусть

R x, r1

, r2

,..., rn

–

рациональная

функция от

,..., rn

x, r1

, r2

x. Эта функция, а следовательно, и интеграл от

неё,

рационализируется подстановкой x t r , где

r –

наимень-

шее общее кратное чисел r , r ,..., r

. Тогда dx rt r 1dt

и Тогда

1 2

r 1dt и, подставляя x и dx в подынтегральное выражение, получаем под интегралом рациональную функцию аргу-

мента t. Аналогично,

если

подынтегральное выражение

ax b

R x, r1

, r2

,..., rn

есть рациональная функция

cx d

245

от x, r1

ax b

, r2

ax b

,..., rn

ax b

, то подынтегральная функция

cx d

рационализируется подстановкой

ax b

t r , где

r –

наимень-

cx d

шее общее кратное чисел

r , r ,..., r . Тогда x

dtr b

. Под-

1 2

ct r

ставляя в исходное выражение, получаем рациональную функцию от t.

Пример 1. Вычислить

dx.

x 3 x2

Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6. Поэтому

делаем замену x t 6 . Тогда dx 6t 5dt , и

t3 6t 5dt

t 4

dt 6

t 4 1 1

x 3

t 6 t 4

t 2 1

6 (t 2 1)dt 6

6 (t 2 1)dt 3

t 2 1

t 1

2t3 6t 3ln

t 1

3ln

t 1

C 2t3 6t 3ln

t 1

x 1

x 6 6 x 3ln

x 1

Пример 2. Вычислить

5 (x 2)3

dx .

x 2 5 (x 2)8

Наименьшее общее кратное чисел 2 и 5 равно 10. Поэто-

му делаем замену x 2 t10 . Тогда dx 10t 9dt , и

5 (x 2)3

t 610t9dt

t10

t5 t16

1 t11

x 2 5 (x 2)8

10 ln

1 t11

1 (x 2)

246

Пример 3.

4 x 1 1

dx.

x 1 4

(x 1)

Наименьшее общее кратное чисел 2 и 4 равно 4. Поэтому

делаем замену x 1 t 4 . Тогда dx 4t 3dt , и

(t 1)4t3dt

4 x 1 1

t 2 t3

(x 1)3

x 1

4 tdt 2t 2 C 2

x 1 C.

Для

интегрирования рациональных

функций вида

R(sin x, cos x)

применяют подстановку t tg

, которая называ-

ется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда


x 2arctg t, dx		2dt		,sin x	2t	, cos x	1 t 2	.	К сожалению,
	1		t 2		1 t 2		1 t 2

универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому по возможности пользуются

следующими

подстановками.

Если

R( sin x,cos x) R(sin x,cos x) ,

то делают замену

cos x t , и

тогда sin xdx dt. При

R(sin x, cos x) R(sin x,cos x)

полага-

ют

sin x t ,

при

этом

cos xdx dt,

случае

R( sin x, cos x) R(sin x,cos x) делают замену tg x t ,

при ко-

торой

x arctgt ,

,sin x

cos x

или

1 t 2

замену ctg x t . Проиллюстрируем сказанное примерами.

Пример 4. Вычислить интеграл cos4 xsin3 x dx .

Делаем

замену

cos x t .

Тогда

cos4

x sin3 x dx

t4 (1 t2 )dt

cos7

cos5 x

C .

247

Пример 5. Вычислить интеграл cos3 x dx . sin4 x

Делая замену sin x t , получаем

cos3 x

(1 t 2 )dt

sin4 x

t 4

t 2

3t3

3sin3 x

sin x

Пример 6. Найти интеграл

dx .

sin4 x

Делаем замену tgx t. Подставляя, получаем

(1 t 2 )2 dt

(1 t 2 )dt

sin4

t 4 (1 t 2 )

t 4

tdt4 tdt2 31t3 1t C 13 ctg3 x ctgx

Заметим, что в данном примере лучше было сделать замену ctgx t , так как эта подстановка быстрее приводит к цели. Дей-

ствительно,

тогда

,sin x

,cos x

1 t 2

(1 t 2 )2 dt

t 2 )dt

поэтому

t C

sin4 x

(1 t 2 )

t C

ctg3 x ctgx C .

Пример 7. Вычислить интеграл cos3 xsin8 xdx.

Делаем

замену

sin x t .

Тогда

cos3 xsin8 xdx

t8 (1 t 2 )dt

t11

sin9 x

sin11 x

cos3 x

Пример 8. Вычислить интеграл 1 sin 2 x dx .

Делая замену sin x t , получаем

248

cos3 x		(1 t 2 )dt	2 (t 2 1)
	dx			dt
1 sin2 x		1 t 2	1 t 2

2arctgt t C 2arctgsin x sin x C .

Пример 9. Найти интеграл

dx .

cos6 x

Делаем замену tgx t. Подставляя, получаем

(1 t 2 )3 dt

t 2 )2 dt

cos6 x

(1 t 2 )

dt 2t2 dt t4dt t

2t3

tgx

2tg3 x

tg5 x

C .

Для

интегрирования

рациональных

выражений

применяют замену x asint

или x a cost

R x,

вида

, вы-

							a
			2	a	2	- подстановку x	a
ражений вида	R x,	x						или
ражений вида	R x,	x						или
							cost

	a
x	a				2	x	2
		, а для интегрирования выражений вида	R x,	a
		, а для интегрирования выражений вида	R x,	a
	sin t

применяют замену x a tgt или x a ctgt . Можно в этих слу-

чаях пользоваться также заменами с гиперболическими функциями.

Пример

10. Для

вычисления

интеграла

4 x2

воспользуемся

заменой

x 2sint .

Тогда

dx 2costdt,

4 x2

4 4sin2 t 2cost , и исходный интеграл равен инте-

гралу

2 costdt

Тогда

4sin2 t 2 cost

2cost dt

ctgt C.

Делая обратную замену

4sin2 t 2 cost

4sin2 t

249

t arcsin

получаем

1 ctg(arcsin

) C

. После

4 x2

преобразований получаем

C .

2 4 x2

Пример 11. Для вычисления интеграла

вос-

1 x2

пользуемся

заменой

x tgt .

Тогда

cos2 t

1 x2

1 tg2t

и исходный интеграл равен интегра-

cost

лу

costdt

Тогда

costdt

d (sin t)

Делая обрат-

sin2 t

sin t

ную

замену

t arctg x ,

получаем

C . После преобразований по-

sin(arctg x)

1 x2

лучаем

1 x2

C .

1 x2

4.3. Задача интегрирования в конечном виде

В этой главе мы научились находить первообразные, а следовательно, и неопределённые интегралы для некоторых типов функций. В связи с этим совершенно естественным является вопрос о классе функций, для каждой из которых существует первообразная. Ответ на него даёт следующая теорема.

Теорема 4.9. Для любой непрерывной функции существует первообразная.

Обобщение понятия первообразной на функции, имеющие конечное число точек разрыва, даётся следующим образом.

250

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб3Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб9Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб5Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб3Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf