Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика-2-й семестр (курс лекций)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

11.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3524 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

x dx

d (1 x

)

1 x2

и в качестве V можно

1 x

взять V 1 x2 . Таким образом, окончательно получаем

arcsin2 x dx x arcsin2

x 2

arcsin x dx

1 x2

arcsin x

2 dx

x arcsin

x 2

1 x

x arcsin2 x 21 x2 arcsin x 2x C .

Пример 7. Вычислить x arctg2 x dx .

Полагаем

U arctg2 x, dV x dx .

Тогда

2arctgx

dx ,

1 x2

xarctg2

x dx 1 x2 arctg2 x

1 x

arctgx dx .

Полагая

во

втором

слагаемом

1 x2

U arctgx,

dx ,

имеем

1 x2

x2 1 1

dx x arctgx C , поэтому в качестве V

1 x2

можно взять V x arctgx и, следовательно,

arctgx dx (x arctgx) arctgx

x arctgx

1 x2

(x arctgx) arctgx 1 ln 1 x2 1 arctg2 x C .

Таким образом, окончательно получаем

1 x

xarctg

x dx

1) arctg

x x arctg x

2 ln

Пример 8. Вычислить ln 2 x dx .

231

	Полагаем			U ln 2 x, dV dx .				Тогда
dU	2 ln x	dx, V	x ,	и поэтому ln	2	x dx x ln	2	x 2 ln xdx .
	x

Применяя ко второму слагаемому формулу интегрирования по

частям	с			U ln x,		dV dx ,		имеем
ln x dx x ln x dx x ln x x C .								Поэтому
ln 2 x dx x ln 2 x 2x ln x 2x C .
Пример 9. Вычислить x ln 2 x dx .
Полагаем				U ln 2 x,	dV xdx .			Тогда
dU 2ln x dx, V		1	x2	и поэтому		x ln2 x dx	1	x2 ln2 x
dU 2ln x dx, V			x2	и поэтому		x ln2 x dx		x2 ln2 x
x	2						2

x ln xdx . Применяя ко второму слагаемому формулу интегри-

рования

по частям

U ln x ,

dV xdx ,

имеем

x ln x dx 1 x2 ln x 1

xdx 1 x2 ln x

1 x2 C . Поэтому

x ln 2 x dx 1 x2 ln 2

x 1 x2 ln x

1 x2 C .

Пример 10. Вычислить ln(x2 3) dx .

Полагаем

U ln(x2 3) ,

dV dx.

Тогда

2xdx

, V x

и поэтому

ln(x

3) dx x ln(x

dx x ln(x

3) 2x 2

3 arctg

C .

Пример 11. Интеграл

dx вычисляется либо ин-

(1 x5 )3

тегрированием по частям

U x5 , dV

dx ,

либо с

(1 x5 )3

помощью

замены

переменной

z 1 x5 .

В первом

случае

232

dU 5x4 dx, V

поэтому

10(1 x5 )2

(1 x5 )3

5x4

C .

10(1 x5 )2

10(1 x5 )

Во втором случае dz 5x4dx, x5 z 1, и поэтому

z 1

dx 15

dz 15

(1 x5 )3

C .

10 z 2

5(1 x5 )

x5 )2

10(1

Приведём два примера применения формулы интегриро-

вания по частям с далеко не очевидным итогом.

Пример 12. Вычислим интеграл J ex cos x dx .

Положив

U ex ,

dV cos x dx ,

получаем

J ex sin x ex sin x dx. . Применив к интегралу в правой части формулу интегрирования по частям с U ex , dV sin x dx ,

имеем J ex sin x ex cos x J . Разрешая последнее равенство относительно J , получаем

J ex cos xdx ex cos x ex sin x C . 2

Таким образом нами, в частном случае a 1, b 1 , доказана формула 16 из таблицы интегралов. Интеграл примера 11, равно как и интегралы ex sin x dx , eax cosbx dx , eax sinbxdx

называется циклическим. Циклические интегралы вычисляются по схеме примера 12. Предлагается вывести формулы для вычисления этих интегралов самостоятельно или ознакомиться с их получением, например, в [5, 6].

233

Пример 13.

С помощью формулы интегрирования по

частям

найдём

Положив

dV dx , получаем

a2 n

2nx2dx

(x2 a2 )n

2 a2 )n 1

(x2

a2 )n

2n(x2

a2 a2 )dx

)

n 1

)

2na2

2n J

2na2 J

(x2 a2 )n 1

(x2 a2 )n

n 1

Из крайних частей последнего равенства, разрешая отно-

сительно J n 1 , получаем рекуррентную формулу

J n 1

2n 1

J n

(4.1)

2na2

(x2 a2 )n

для вычисления интеграла

Jn 1

при любом

n .

Дейст-

вительно,

arctg

C .

Тогда

(x2

a2 )

arctg

(x2 a2 )2

2a2

x2 a2

2a3

. Аналогично находятся

, J 4 и

2a2

(x2 a2 )3

так далее. По приведённой схеме эти интегралы получены в таблицах интегралов [27] и других.

4.2.2.3. Простейшие преобразования подынтегрального выражения

Рассмотрим некоторые преобразования подынтегрального выражения, применение которых позволяет иногда достаточно легко найти интеграл.

234

Выделение целой части
Суть приёма видна из примеров.
Пример 1.	x	dx	x 2 2	dx dx 2	dx
	x 2				x
			x 2			2

x 2ln x 2 C .

Пример 2.

x 3 3

dx dx 3

x 3

x 3ln

x 3

C .

x2 4 4

Пример 3.

dx dx 4

x2 4

x 2arctg

C .

x2 16 16

Пример 4.

dx dx 16

x2 16

x 4arctg

C .

Пример 5.

(x 2)2

4 4x

dx dx

4xdx

x2 4

dx 2 d (x2 4) x 2 ln(x2 4) C .

x2 4

Преобразование тригонометрического выражения

Наиболее часто применяется понижение степени с использованием формул

sin2 x	1 cos2x	, cos2 x	1 cos2x	,
	2		2

преобразование произведения в сумму по формулам sin sin 12 (cos( ) cos( )) ,

cos cos 12 (cos( ) cos( )) , sin cos 12 (sin( ) sin( ))

235

и некоторые другие.

Пример 6. sin2

x dx

1 cos2x

1 x

1 sin 2x C .

Пример 7. cos2

x dx

1 cos2x

sin 2x C .

Пример 8. cos3x cos x dx

(cos 2x cos 4x)dx

sin 2x

sin 4x C .

Пример 9. cos 2xsin 5x dx

(sin 7x sin 3x)dx

cos7x

cos3x

C .

Пример 10.

sin 2xsin 6x dx 1 (cos 4x cos8x)dx

1 sin 4x

sin 8x C .

cos2 x

1 sin2 x

Пример 11.

ctg

x dx

sin2 x

ctgx x C .

Выделение полного квадрата

Иногда удаётся получить табличный интеграл выделив в подынтегральной функции выражения вида (ax b)2 , то есть

полный квадрат двучлена ax b . Покажем на примерах, как это делается.

Пример 12. Вычислить интеграл

x2 4x 20

Знаменатель дроби можем преобразовать следующим

образом

x2 4x 20 (x2

4x 4) 16 (x 2)2 42 . Сделав

замену

x 2 t ,

окончательно

получаем

x 2

4 arctg

C .

x2 4x 20

t 2 42

236

Пример 13. Вычислить интеграл

18x 9x2

Выражение под корнем можно преобразовать следую-

щим

образом

18x 9x2 5 9(x2

2x 1) 9 5 4 9(x 1)2 .

Поэтому

можем написать

18x 9x2 5

9(x 1)2

1 arcsin

3(x 1)

C .

Пример 14. Вычислить интеграл

Аналогично

предыдущим

примерам

можно

написать

2x (x2 2x 1) 1 1 (x 1)2 . Поэтому

arcsin(x 1) C .

x2 2x

1 (x 1)2

Выделение дифференциала

Интегралы

Mx N

dx ,

Mx N

выделе-

px q

(x2 px q)n

нием в числителе дифференциала выражения

x2 px q сво-

дятся к интегралам

px q

(x2

px q)n

Пример 15. Вычислить интеграл

3x 3

dx .

x2 4x 20

Производная знаменателя равна 2x 4 . Поэтому

3x 3

2x 2

2x 4 2

x2 4x 20

d (x2 4x 20)

x2 4x 20

x 2

ln(x2

4x 20)

3 arctg

237

(Интеграл		dx	найден ранее.)

	x2	4x 20
	x2	4x 20
Аналогично, интеграл				(Mx N )dx		выделением в


					a2 (x b)2
					a2 (x b)2

числителе дифференциала подкоренного выражения сводится к

интегралу

. Проиллюстрируем это на примере.

a2 (x b)2

Пример 16. Вычислить интеграл

(4x 2)dx

1 (x 1)2

Производная подкоренного выражения равна 2(x 1) .

Поэтому

(4x 2)dx

( 2(x 1) 1)

1 (x 1)2

21 (x 1)2 2arcsin(x 1) C .

4.2.2.4. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью или рациональной функцией называется отношение двух полиномов (многочленов), то есть вы-

ражение вида P(x) , где

Q(x)

P(x) bl xl bk xk bk 1xk 1 ... b1x b0

l 0

Q(x) al xl an xn an 1xn 1 ... a1x a0 -

l 0

полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Если степень полинома (многочлена) в числителе меньше степени полинома в знаменателе, то есть k n , то такую рациональную дробь называют правильной.

В дальнейшем будем считать, что k n , так как в про-

тивном случае всегда	можно представить числитель в виде
P(x) Q(x)R(x) S(x),	где R(x) и S(x) - полиномы, называе-
	238

мые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и

остатком, причем степень полинома

S(x) меньше n . Тогда

P(x)

R(x)

S(x)

(4.2)

Q(x)

а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем.

Покажем на примере, как можно получить разложение

(4.2).

Пусть

P(x) x7

3x6 3x5

3x3 4x2

x 2,

Q(x) x3

3x2 x 2.

Разделим

полином

P(x) на полином

Q(x) так же, как мы делим вещественные числа. Имеем

_ x7 3x6 3x5

3x3 4x2 x 2

x3 3x2 x 2

x4 2x2 4x 7

x7 3x6 x5 2x4

_ 2x5 2x4 3x3 4x2 x 2

2x5 6x4 2x3 4x2

_ 4x4 5x3 8x2 x 2

4x4 12 x3 4x2 8x

_ 7x3 12 x2 7x 2

7x3 21x2 7x 14

9x2

14 x 12

Таким образом, мы получили целую часть дроби (част-

ное

от

деления

полинома

P на

полином

Q )

R(x) x4 2x2 4x 7

и остаток S(x) 9x2 14x 12 от этого

деления.

Поэтому

можем

записать

x7 3x6 3x5 3x3 4x2 x 2

4 2x2 4x

9x2

14 x 12

x3 3x2 x 2

239

Простейшими рациональными дробями назовём дроби

(x a)n

x2 a2

(x2 a2 )n

x2 px q

x a

Mx N

(x2 px q)n

x2 px q

(x2 px q)n

Рассмотрим интегрирование этих дробей. Интегралы

x a

C, n 1 ,

x a

1)( x a)

n 1

x2 a2

a arctg

C являются табличными, а интеграл

J n

может быть найден или по рекуррентной

(x2 a2 )n

формуле (4.1)

n 1

2n 1 J

, полученной

2na2 (x2 a2 )n

2na2

выше интегрированием J n

по частям, или с помощью таб-

лиц [27]. Интегралы

в случае,

x2 px q

(x2

px q)n

когда знаменатель имеет комплексные корни (дискрими-

нант D p2 4q 0), сводятся с помощью выделения пол-

ного квадрата к интегралам

заменой

t 2

(t 2

a2 )n

t . Наконец,

как это указывалось ранее, интегралы

Mx N

dx ,

dx выделением в числителе

x2 px q

(x2

px q)n

дифференциала выражения

x2 px q

сводятся к интегра-

лам

x2 px q

(x2 px q)n

240

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3524 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб3Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб10Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб6Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб4Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf