Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика-2-й семестр (курс лекций)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

11.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

валентных преобразований с использованием свойств неопределённых интегралов.

4.2.2.1. Подведение под знак дифференциала

Иногда удается представить подынтегральное выраже-


ние f (x)dx	в виде (u)du ,			где u - некоторая функция от x , то
есть записать		его в форме		f (x)dx (u(x))du(x) , и при этом
интеграл		(u)du	является табличным. Тогда если

(u)du F(u) C , то по свойству 5 неопределённого интегра-

ла F(u(x)) C (u(x))du(x) (u(x))u (x)dx f (x)dx .

Этот прием называется подведением под знак дифференциала и представляет собой простейший вариант использования формулы замены переменной, выраженной свойством 5. Для овладения этим приёмом необходимы устойчивое (доведённое до автоматизма) знание таблиц производных и дифференциалов и умение ими пользоваться в обе стороны, то есть необходимо не только уметь вычислять по исходной функции производную и дифференциал, но и по дифференциалу увидеть исходную функцию. Нам также понадобится свойство дифференциала

df (x) 1a d (af (x)) 1a d (af (x) b) .

Пример 1. sin 2xdx 12 sin 2xd(2x) 12 cos2x C.

Сдругой стороны,

sin 2xdx 2sin x cos xdx 2sin xd sin x sin2 x C;

sin 2xdx 2sin x cos xdx 2cos xd cos x cos2 x C.

Этот пример показывает, что у одной и той же функции может быть несколько разных первообразных, связанных между собой соотношением Ф(x) F(x) C .

Займёмся более подробно указанным приёмом. Вначале приведём таблицу дифференциалов в необходимой нам форме.

221

Таблица основных дифференциалов

1. dx 1a d (ax) 1a d (ax b) , где a и b - некоторые чис-

ла. В частности, dx 12 d (2x) 12 d (2x b) 13 d (3x) 13 d (3x b)

итак далее.

2.x dx 1 1 d (x 1 ) 1 1 d (x 1 b), 1 .

В частности, xdx 12 d (x2 ) 12 d (x2 b) ,

dx 1 d (x

) 1 d (x

b) ,

b ,

b .

3.dxx d (ln x) d (ln x b) 1a d (a ln x b) .

4.exdx d(ex ) d(ex b) .

5.cos xdx d sin x d(sin x b) .

6.sin xdx d cos x d(cos x b) .

7.			dx		dtgx d (tgx b) .

		cos2 x
8.			dx		dctgx d (ctgx b) .

		sin2 x
9.			dx		d (arctg x) d (arcctg x) .

	1 x2
10.				dx		d (arcsin x) d (arccos x) .



			1 x2

b ,

Остальное читатель в состоянии восстановить самостоятельно из таблицы производных.

222

Покажем теперь применение вышесказанного для некоторых интегралов с указанием табличных, к которым они сводятся.

Интегралы x		dx	1	x	1	C
			1

Пример 2. x 31 x2 dx 12 31 x2 d (x2 )

12 31 x2 d(x2 1) . В этом месте можно либо продолжить вы-

числения непосредственно и тогда получим

2 3 d (x2 1)

1 3 1 x2 d(x2 1) 1

1 x

1 x2 3

: 34

C ,

C 83 1 x2 3

либо

сделать

замену

переменных

u x2

тогда

1 3 1 x2 d (x2 1) 1 u 3 du 1 u 3 : 4 C 3 1 x2 3

C .

Пример 3.

sin3 x cos x dx sin3

x d sin x

sin4

C .

Пример 4.

sin3 5x cos5x dx

sin3 5x d sin 5x

sin4 5x

C .

5 4

Пример 5.

arctgx

arctgx d (arctgx)

arctg2 x

C .

1 x2

Интегралы

d (x2 )

d (1 x

2 )

xdx

2xdx

Пример 6.

1 x2

12 ln(1 x2 ) C . Знак модуля опущен в силу того, что 1 + x2

1 > 0 для x из R.

223

Пример 7.	x3dx	14	4x3dx	14	d (x4 )	14	d (1 x	4 )
	1 x4		1 x4		1 x4		1 x4

1 ln(1 x4 ) C .

ex dx

d (ex )

d (ex 1)

ln(ex 1)

Пример 8.

ex 1

Пример 9.

sin 3x

dx 1

d (cos3x)

cos3x

1 cos3x

d (cos3x 1)

3 ln(1 cos3x) C .

1 cos3x

Пример 10.

cos5x

dx 1

d (sin 5x)

1 sin 5x

1 ln(1 sin 5x) C .

Интегралы

arctg x C arcctg x C .

1 x2

Пример 11.

x3dx

4x3dx

d (x4 )

1 x8

1 (x4 )2

4 arctg(x

) C.

Пример 12.

d x

2 arctg 2

C .

4 x2

1 x

Пример 13.

6x 10

6x 9 1

d (x 3)

arctg(x 3) C .

(x 3)2 1

Пример 14.

dx6

6 arctg(x

) C

1 x12

1 (x6 )2

C .

224

dx5

Пример 15.

1 x10

1 (x5 )2

1 arctg(x5 ) C .

Пример 16.

e5x dx

d (e5x )

) C .

5 arctg(e

e10 x 1

1 (e5x )2

e4 x dx

d (e4 x )

4 x

Пример 17.

e8x 1

1 (e4 x )2

4 arctg(e

) C .

sin x

d (cos x)

Пример 18.

1 cos2 x

arctg(cos x) C .

Для интеграла

имеем

arctg a

C . Таким обра-

1 x

зом, нами доказана формула 5а таблицы интегралов. Часть из приведённых выше примеров можно решить используя эту формулу.

Интегралы

Пример 19.

		dx													~
					arcsin x C arccos x C


		1 x2
	x3dx			14			4x3dx				14		d (x4 )

1		x	8			1 (x		4	)	2		1 (x		4	)	2
1		x				1 (x			)			1 (x			)

1 arcsin(x4 ) C .
4												d
			dx					dx					x
			dx					dx
Пример 20.						1					2
Пример 20.						1
			4 x	2	2		1		x	2	1			x	2
									x					x

arcsin		C .					4				2
	x

2
					225

Пример 21.

x2 6x 8

2 6x 8)

(x2 6x 9 1)

1 (x2 6x 9)

1 (x 3)2

d (x 3)

arcsin(x 3) C .

1 (x 3)2

Пример 22.

e5 x dx

d (e5 x )

1 arcsin(e5 x ) C .

10 x

1 (e

5 x

)

1 e

Пример 23.

e4 x dx

d (e4 x )

1 arcsin(e4 x ) C .

1 e

8 x

1 (e

4 x

)

Пример 24.

sin x

d (cos x)

4 cos

cos

cos x

arcsin

C .

Для интеграла

имеем

a2 x2

arcsin ax

C . Таким обра-

1 x

зом нами доказана формула 6а таблицы интегралов. Часть из приведённых выше примеров можно решить используя эту формулу.

Интегралы	exdx ex	C
Пример 25.	x ex2 dx 1	ex2 d (x2 ) 1 ex2	C .
	2	2

226

Пример 26. x3 e2 x4 1 dx 1

e2 x4 1 d (2x4 )

e2 x4 1 d (2x4 1) 1 e2 x4 1 C .

Пример 27. e3sin 2 x cos 2x dx

e3sin 2 x d (3sin 2x )

1 e3sin 2 x C .

e2 tgx

2tgx

Пример 28.

dx 2 e

d (2tgx)

2 e

C .

cos2

Интегралы

cos x dx sin x C

Пример 29.

cos2x dx

1 cos2x d 2x

1 sin 2x C .

Пример 30. x cos(x2

3) dx

cos(x2

3) d (x2

1 sin(x2 3) C .

Интегралы

Пример 31.

cos x

d x

sin x

C .

d x12

12 e1 x

Пример 32.

e1 x

C .

1 cos

C .

Пример 33.

sin

4.2.2.2. Интегрирование по частям

Пусть U (x)

и V (x)

- дифференцируемые функции. То-

гда,

вычисляя дифференциал произведения функций

U (x) и

V (x) , получаем d(U (x)V (x)) U (x)dV (x) V (x)dU(x). Поэтому можем записать U (x)dV(x) d(U (x)V (x)) V (x)dU(x). Вычис-

227

ляя интеграл от обеих частей последнего равенства с учетом того, что d(U(x)V (x)) U(x)V (x) C , получаем соотношение

U (x)dV(x) UV V (x)dU(x) ,

называемое формулой интегрирования по частям. Понимают его в том смысле, что множество первообразных, стоящее в левой части, совпадает со множеством первообразных, получаемых по правой части.

Интегрирование по частям в определённом интеграле

В определенном интеграле сохраняется формула интегрирования по частям. В этом случае она приобретает вид

UdV UV

VdU.

Пример

Вычислить

интеграл

x3e x2 dx .

Полагаем

U x2 ,

dV xex2 dx .

Тогда

dU 2xdx, V 1 ex2

x3ex2 dx 1 x2ex2

xex2 dx

1 x2ex2

1 ex2

1 (e 0 e 1) 1 .

Пример 2. Вычислить интеграл xex dx.

Положим

U x,

dV exdx.

Тогда

dU dx ,

dV ex dx ex C , и в качестве V

можем взять V ex . По-

этому xexdx xex exdx xex ex C.

Пример 3. Вычислить интеграл x cos xdx .

Полагаем

U x,

dV cos xdx.

Тогда

dU dx ,

dV cos xdx sin x C ,

в качестве

V можем

взять

V sin x .

Следовательно,

x cos xdx x sin x sin xdx

228

xsin x cos x C .


2		2
x cos xdx x sin x	02	sin xdx x sin x	02	cos x	02


0		0

1. 2

		Пример 4. Вычислить интеграл x cos5xdx.
		Полагаем	U x, dV cos5xdx.				Тогда	dU dx ,
dV cos5xdx				1	sin 5x C , и в качестве V			можем взять

			5
V	1	sin 5x ,		поэтому		можем		написать
	5

xcos5xdx 15 xsin5x 15 sin5xdx 15 xsin5x 251 cos5x C .

При использовании формулы интегрирования по частям нужно удачно выбрать U и dV так, чтобы интеграл, полученный в правой части формулы, находился легче. Приведём пример неудачного выбора U и dV . Положим в первом примере

U ex , dV xdx.				Тогда	dU ex dx,V		x2	и

						2
xex dx	x2	ex	1	x2ex dx . Вряд ли интеграл		x2exdx		можно

2			2

считать проще исходного. Основные рекомендации здесь такие.

Если подынтегральная функция есть произведение полинома (многочлена) на экспоненту ( ex exp( x) ) или тригонометрическую функцию, то обычно в качестве U (x) выбирают полином, а всё остальное относят к dV (x) .

Заметим, что иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколько раз, например, при вычисле-

нии интеграла x2e3x dx . Полагаем U x2 ,				dV e3xdx. Тогда
dU 2xdx, V	1	e3x и x2e3xdx 13 x2e3x	1	2xe3xdx . Для вы-
	3		3

числения второго слагаемого снова применяем формулу интегрирования по частям, полагая U x, dV e3xdx. Тогда dU dx ,

229

V		1 e3x , и		поэтому xe3x dx 1 xe3x 1			e3x dx 1 xe3x
		3			3	3		3
	1 e3x C .			Таким образом,	x2e3x dx		1 x2e3x 2 xe3x
	9						3	9
	2		e3x C .
	27		e3x C .
	27

Интеграл x2 sin xdx. предлагается найти самостоятельно.

Приведём ещё несколько примеров на применение формулы интегрирования по частям.

Пример 5. Вычислить x tg2 6x dx .

Полагаем

U x,

dV tg2 6x dx.

Тогда

dU dx ,

sin2 6x

1 cos2 6x

6x dx

cos2 6x

6 tg6x x C ,

и в

качестве

можем

взять

1 tg6x x .

Поэтому

x tg2 6x dx

1 x tg6x x2 1 tg6x x dx

1 x tg6x x2

cos6x

C 1 x tg6x

cos6x

C .

Пример 6. Вычислить arcsin2 x dx .

Полагаем

U arcsin2 x ,

dV dx .

Тогда

arcsin

dx, V x

arcsin2 x dx x arcsin2

1 x2

arcsin x dx . Для нахождения второго слагаемого сно-

1 x2

ва применяем формулу интегрирования

по частям,

полагая

U arcsin x,

x dx

Тогда

1 x2

230

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб3Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб5Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб20Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб10Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб6Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб4Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf