Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Так как при каждом фиксированном z функциональный ряд является числовым, то для исследования сходимости функциональных рядов применяются признаки сходимости числовых рядов.

Множество тех z , в которых ряд un (z) сходится, называ-

n 1

ется областью сходимости функционального ряда.

Множество тех z , в которых ряд un (z) абсолютно сходит-

n 1

ся, называется областью абсолютной сходимости функционального ряда. Обычно искать область абсолютной сходимости проще.

Кроме обычной сходимости функциональных рядов, рассматривают ещё равномерную и равномерную внутри области сходимости.

Говорят, что ряд un (z) сходится равномерно к своей сум-

n 1

ме S(z) в области D , если для всякого 0 существует номер

N( ) , единый для всех z из области D , такой, что для всех
n N( ) выполняется неравенство	Sn (z) S(z) сразу для

всех z из области D .

Говорят, что ряд сходится равномерно внутри области D , если он сходится равномерно на каждом ограниченном замкнутом подмножестве из D .


Будем говорить, что ряд an	мажорируется рядом bn ,
n 1			n 1

или, что то же самое, ряд bn	мажорирует ряд an , если,
n 1	n 1
начиная с некоторого номера, выполнено неравенство		an		bn	.
начиная с некоторого номера, выполнено неравенство		an		bn	.

Теорема 2.2.1 (Вейерштрасс). Если для ряда un (z)			в об-
	n 1

ласти D существует мажорирующий его абсолютно сходящий-


ся числовой ряд an , то ряд					un (z)	сходится в области D
равномерно.		n 1			n 1
равномерно.

Будем	говорить,		что	ряд	un (z)	можно	интегрировать
					n 1
почленно в области			D ,	если для любой кривой L , лежащей
в области		D ,		выполняется			соотношение

un (z) dz un (z)dz .
L n 1		n 1 L

Теорема 2.2.2. Если ряд сходится равномерно внутри облас-

ти D , а функции un (z) и сумма ряда un (z) интегрируемы на

n 1

кривой L , лежащей в области D , то ряд можно интегрировать почленно.

Будем говорить, что ряд un (z) можно дифференцировать

n 1

почленно в области D , если для всех z из области D выполня-


ется соотношение
		un (z)
	n 1

un (z) .

n 1

Теорема 2.2.3. Если ряд сходится равномерно внутри области D и функции un (z) голоморфные (аналитические) в области

D , то сумма ряда есть функция аналитическая и ряд можно дифференцировать почленно любое число раз.

Заметим, что для функций действительного переменного дифференцируемость функции не влечёт её аналитичность. Для рядов, состоящих из функций действительного переменного, имеет место следующий результат о почленной дифференцируемости ряда.

Теорема 2.2.4. Если функции un (x) дифференцируемы на

интервале (a,b) и ряд из производных un (x) сходится рав-

n 1

номерно внутри этого интервала, то исходный ряд un (x)

n 1

можно дифференцировать почленно, то есть имеет место равен-


ство			un (x) , или, что то же самое, производная
		un (x)
	n 1		n 1

суммы исходного ряда равна сумме ряда из производных.

2.2.1. а) Найти область сходимости ряда zn .

n 1 n!

Найдём область абсолютной сходимости ряда. Используя признак Даламбера, получаем

n 1

zn 1

zn 1n!

lim

(n 1)!

(n 1)!z

lim

zn!

lim

n!(n 1)zn

(n 1)

n (n 1)

Этот предел равен нулю при каждом фиксированном z на комплексной плоскости. Таким образом, ряд сходится абсолютно, а следовательно, сходится на всей комплексной плоскости. В дан-

ном случае область абсолютной сходимости совпадает с обла-

стью сходимости.

б) Найти область сходимости ряда n!zn .

n 1

Применяя признак Даламбера, получаем

lim

n 1

lim

(n 1)!zn 1

lim

n!(n 1)zn z

lim

(n 1) .

n!zn

Этот предел равен при каждом фиксированном z 0 на комплексной плоскости. Таким образом, ряд не сходится ни в одной отличной от нуля точке комплексной плоскости. При z 0 получаем ряд, состоящий из нулей, и поэтому предел частичных

сумм равен нулю. Окончательно получаем, что ряд n!zn схо-

n 1

дится только в точке z 0 .

в) Найти область сходимости ряда 3 n . n 1 z

Найдём область абсолютной сходимости ряда. Используя радикальный признак Коши, получаем

lim

un (z)

lim

lim n

lim

Таким образом, ряд сходится абсолютно при

и расходит-

ся при

1 , или, что то же самое, сходится при

3 и расхо-

3 . При

3 ни с помощью признака Коши, ни с

дится при

помощью признака Даламбера (показывается так же) выяснить

сходимость этого ряда не удаётся. Рассмотрим ряд при

3 .

Так как

3 , то z 3ei ,

0 2 . Подставляя в ряд, получа-

ем

e in . Так как

e in

1, то в силу нарушения

n 1 3e

n 1

необходимого

признака сходимости

ряд

e in

расходится.

n 1

и расходится

Таким образом, ряд

сходится при

при

3 .

n 1 z

2n 1

г) Найти область сходимости ряда

n 0

Применяя признак Даламбера, получаем

un 1

z2(n 1) 1

z2n 1

lim

3n 1

Таким образом,

ряд сходится абсолютно при

и расхо-

дится при

1, или, что то же самое, сходится при

3 и

3 . При

3 ни с помощью признака

расходится при

Коши, ни с помощью признака Даламбера (показывается так же, как и в предыдущем примере) выяснить сходимость этого ряда

не удаётся. Рассмотрим ряд при

3 .

Так как

3 , то

3ei ,

0 2 .

Подставляя

ряд,

получаем

2n 1

3ei(2n 1) . Так как

ei(2n 1)

1 , то в силу

n 1

нарушения

необходимого

признака

сходимости

ряд

2n 1

3ei(2n 1)

расходится. Таким образом, ряд

сходит-

n 1

n 0

ся при

и расходится при

3 .

z n

1 n

д) Найти область сходимости ряда

n 1

Исходный ряд сходится в области, в которой сходится каж-

дый

из

рядов

Тогда

их

сумма

n 1 5

n 1 z

z n

1 n

сходится. Применяя

n 1

z 1

n 1

к ряду

признак Коши, находим

n 1

lim n

un (z)

lim

lim n

lim

Следовательно, ряд

сходится в области

и расхо-

n 1 5

дится в области

5 . Исследуя при

(на границе облас-

5ei n

тей),

получаем

ein . Так как

ein

1 , то в силу

n 1

нарушения необходимого признака сходимости ряд ein

рас-

n 1

z n

ходится. Таким образом, ряд

сходится при

и рас-

ходится при

5 .

n 1

Аналогично,

применяя к ряду

признак Коши, на-

ходим

n 1 z 1

un (z)

lim n

lim

z 1

из чего заключаем,

что

ряд

сходится в области

n 1 z

z 1

1 и расходится при

z 1

1 . Исследуя при

z 1

1 (на

границе областей),

получаем

e in .

Так

как

n 1 e

n 1

e in

1, то в силу нарушения необходимого признака сходи-

мости ряд e in

расходится. Таким

образом, ряд

n 1

n 1 z

сходится при

z 1

1 и расходится при

z 1

1 . Поэтому ряд

	z		n		1	n
							сходится в пересечении (общей части) об-
		5					сходится в пересечении (общей части) об-
		5		z 1
n 1

ластей

5 и

z 1

1 .

n 3

2.2.2. Доказать, что ряд

сходится равномерно

(n 1)3n

n 0

внутри области сходимости.

Нетрудно доказать, что данный ряд сходится в области

(например, с помощью признака Даламбера). Возьмём

3 ,

(3 )

n 3

где 3 0 – некоторое число. Тогда ряд

, с одной

(n 1)3n

n 0

стороны, является мажорирующим для

исходного в

области

z 3 , с другой стороны, он сходится, так как по признаку

Даламбера имеем

lim

n 1

lim

(3 )n 4

(3 )n 3

lim

(n 1)(3 )

(n 2)3n 1

1)3n

(n 2)3

lim

n 1

lim

3 .

n n 2

3 1

(3 )

n 3

Так как

, то ряд

сходится. По теореме

(n 1)3n

n 0

Вейерштрасса исходный ряд сходится равномерно на множестве z 3 . Так как любое замкнутое множество из круга z 3

может быть заключено в замкнутый круг z 3 при некотором 3 0 , то исходный ряд сходится равномерно внутри круга z 3 .

2.2.3. Доказать, что ряд zn можно интегрировать почлен-

n 0 3n

но.

Так же как и в предыдущем примере, показывается, что ряд

(3 )n

является сходящимся числовым рядом. Так как ряд

n 0

(3 )

мажорирует ряд

в области

3 , то ряд

n 0

n 0 3

сходится равномерно внутри области

3 и поэтому

n 0 3

его можно интегрировать почленно по любой кривой, лежащей внутри круга z 3 .

		n 1
2.2.4 Доказать, что ряд	z		можно дифференцировать
		n
n 0 3

почленно.

Так же как и в предыдущих примерах, показывается, что ряд

(3 )n 1

является сходящимся числовым рядом. Так как ряд

n 0

n 1

(3 )

мажорирует ряд

в области

3 , то

n 0

n 0 3

n 1

ряд

сходится равномерно внутри области

3 , поэто-

n 0

му его можно дифференцировать почленно внутри круга z 3 .

					z	n 3
2.2.5. а) Найти сумму ряда					z		.
2.2.5. а) Найти сумму ряда					(n 1)3n		.
			n 0		(n 1)3n
Вынося z2 за знак суммы, получаем
	z	n 3					z	n 1
	z			z2			z		.
		n		z2				n	.
n 0 (n 1)3					n 0 (n 1)3

	z	n 1
Ряд	z		получен интегрированием членов ряда
Ряд	(n 1)3n		получен интегрированием членов ряда
n 0	(n 1)3n

n 0

n 1

, так как

dz , и поэтому можем записать

1)3

n 1

dz . В задаче 2.2.3 показано, что ряд

(n 1)3

n 0 0 3

n 0

сходится равномерно внутри круга

3 . И так как его члены

есть функции голоморфные (аналитические)

на всей ком-

плексной плоскости,

то ряд

можно интегрировать по-

n 0 3

членно.

Далее,

ряд

есть сумма членов геометрической

n 0 3

прогрессии с первым членом 1

и знаменателем прогрессии

При

знаменатель прогрессии по модулю меньше еди-

ницы,

следовательно,

при

получаем

3 z

1: 1

. Поэтому

n 0

n 1

dz 3ln(3 z) 3ln 3 .

n 0 0 3

n 0

1)3

Таким образом,

z n

n 3

n 1

n 0

(n 1)3

n 0

1)3

n 0 0 3

z2 ( 3ln(3 z) 3ln 3) .

(n 1)z

n 3

б) Найти сумму ряда

n 0

Для данного ряда можем записать

(n 1)zn 3

(n 1)zn

zn 1

n 0

n 1

Ряд

состоит из голоморфных (аналитических) функций

n 0

zn 1

3n , а так как он внутри области z 3 сходится равномерно,

то его можно дифференцировать почленно, поэтому

n 0

(n 1)zn 3		zn 1
(n 1)zn 3		zn 1
	z3
n	z3		n
n			n
3		n 0	3

z3 33zz z3

zn 1

n 0

9z3

(3 z)2

Задачи для самостоятельного решения

а)

е)

и)

л)

н)

2.2.6. Найти область сходимости ряда:

; б) nn zn

; в)

; г)

; д) nz

n 1 nn

n 1

n 1 n2n

n 1 n 1

n 1

(1 i)

(z 1)

1 2i)

; ж)

; з)

;

n2n

n 1

(n 1)(n 2)

n 1 n

n 1

1 i)

(n 2)

z i

; к)

;

n 1

(z 1 i)

n 1 n

n 1 3 (n 1)

z 2 n

; м)

;

1 i

n 1

n 1 z 1

z 3 n

1 n

nz3n 2

z5n 3

; о)

; п)

n 1

n 1 z 1

n 1

n 1 n2 7n

;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 207 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20233.39 Mб25Практикум по объектно-ориентированному программированию..pdf
#
05.02.20231.39 Mб20Практикум по программированию на языке программирования Си..pdf
#
05.02.2023406.11 Кб2Практикум по социально-культурной деятельности..pdf
#
05.02.20231.98 Mб17Практикум по Теоретической механике..pdf
#
05.02.2023931.61 Кб35Практикум по теории вероятностей..pdf
#
05.02.20231.22 Mб10Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению..pdf
#
05.02.20231.44 Mб59Практикум по физико-химическим методам анализа..pdf
#
05.02.2023206.8 Кб0Практическая подготовка студентов.-1.pdf
#
05.02.2023623.34 Кб0Практическая подготовка студентов..pdf
#
05.02.2023290.92 Кб12Практический маркетинг..pdf
#
05.02.2023176.72 Кб1Преддипломная практика студентов..pdf