Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

Дробно-рациональная функция

Показательная функция w ez ex iy exeiy . Логарифмическая функция

w Ln z ln z i(arg z 2k ) ln z i Arg z

и ее главное значение w ln z ln z i arg z . Тригонометрические функции комплексного переменного

Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболиче-

1.3.1. а) Найти образы линий x const , y const , y x при

отображении w z2 .

Можем записать w z2 (x iy)2 (x2 y2 ) i2xy . Поэтому u(x, y) Re w x2 y2 , v(x, y) Im w 2xy . Если x c , то полу-

чаем в плоскости w кривую, заданную параметрически уравне-

шиной в точке w c2 , пересекающая мнимую ось при v 2c2 ,

то есть в точках 2c2i и 2c2i . При c 0 получаем отрицательную полуось OX .

Если y c , то параметрические уравнения образа этой кривой есть u x2 c2 , v 2cx , откуда, исключая параметр x , име-

пересекающая мнимую ось при v 2c2 , то есть в точках 2c2i и2c2i . При c 0 получаем положительную полуось OX .

уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиусом ec , пробегаемую бесконечное число раз. Если y c ,

то w exeic . Это уравнение луча, исходящего из начала координат, со значением аргумента, равным c . Если y x , то

w exeix , и мы получаем спираль, описываемую вокруг начала

OY при c 0 и асимптотами y x и y x . Далее, так как v(x, y) Im w 2xy , то 2xy c , если v c . При c 0 получаем уравнение xy 0 , которое описывает оси координат. При c 0

22

получаем гиперболы, лежащие в 1-м и 3-м координатных углах

arg z const , то получаем луч, исходящий из начала координат под углом 2arg z .

д) Найти прообразы линий w const, arg w const при ото-

w const , то при arg w [0,2 ) получим половину окружности радиусом w , лежащую в верхней полуплоскости плоскости

z , при arg w [2 ,4 ) это половина окружности радиусом w , лежащая в нижней полуплоскости плоскости z . Таким образом, прообраз линии w const при отображении w z2 есть окруж-

ность радиусом w , пробегаемая бесконечное число раз. Если arg w const , то получаем луч в плоскости z , исходящий из на-

1.3.2. Найти модуль, аргумент, вещественную и мнимую час-

Re w e2 cos1, Im w e2 sin1 .

б) Так как e2 3i e2e 3i e2 (cos( 3) isin( 3)) , то w e2 , arg w 3 2 , если главное значение аргумента выбирать из

1.3.4. Найти вещественную и мнимую части, модуль и аргумент комплексного числа z Ln( e) .

Имеем

z Ln( e) ln e i(arg( e) 2k ) ln e i( 2k )1 i(2k 1) . Таким образом, Re Ln( e) 1 ,

Im Ln( e) (2k 1) , Ln( e) 1 (2k 1)2 2 , arg Ln( e) arctg(2k 1) .

1.3.5. Найти вещественную, мнимую части и модуль комплексного числа z Arctg2i .

24

Имеем z Arctg2i , откуда tg z 2i . Или i(eiz e iz ) 2i .

zk .

1.3.7.Решить уравнение cos z 2 .

ei2z 4eiz 1 0 . Это квадратное уравнение относительно eiz .

Из второго соотношения имеем

ln 2 3 2k i .

Поэтому z 2k i ln 2 3 .

Задачи для самостоятельного решения

1.3.8. Найти:

а) образы линий x const, y const, y x при отображении

w 1z ;

б) прообразы линий u const, v const, v u при отображе-

нии w 1z .

1.3.9. Найти модуль, аргумент, вещественную и мнимую час-

в) w 1 i i ; г) w 1 3i i ; д) w (3 4i)1 i ; е) w ii ;

1.3.11. Найти вещественные и мнимые части, модули и аргу-

1.3.12. Решить уравнения: а) sin z 5 ; б) cos z 3 ;

1.4. Голоморфные (аналитические) функции комплексного переменного, геометрический смысл производной

Пусть G и D – области на комплексной плоскости и f – отображение из G в D ( f :G D ). Говорят, что функция f дифференцируема в точке z0 G , если существует число A Bi такое, что приращение f (z) f (z0 ) функции f можно представить в виде

f (z) f (z0 ) A Bi (z z0 ) (z z0 )

для всех z из некоторой окрестности точки z0 , где бесконечно

дифференцируема в точке z0 , то, как и в случае функций дейст-

27

условие f (z)

z

Римана. То есть функция f (z) дифференцируема в точке z0 тогда и только тогда, когда производная функции по комплекс-

но сопряженному аргументу равна нулю, то есть f (zz) 0 .

Говорят, что функция f голоморфная (аналитическая) в точке z0 G , если она дифференцируема в точке z0 и в некоторой ее окрестности и производная непрерывна в точке z0 .

Отметим некоторые свойства голоморфных (аналитических) функций:

1)основные элементарные функции голоморфны (аналитические) в своей области определения;

2)композиция (суперпозиция) и линейная комбинация конечного числа голоморфных (аналитических) функций является голоморфной функцией;

3)произведение конечного числа аналитических (голоморфных) функций есть функция аналитическая (голоморфная);

4)если знаменатель отличен от нуля, то отношение голоморфных (аналитических) функций есть функция голоморфная (аналитическая).

бого направления, исходящего из точки z .

28

Функция u(x, y) называется гармонической, если она удов-

вительная и мнимая части голоморфной (аналитической) функции являются гармоническими функциями.

комплексной плоскости, поэтому функция аналитическая (голоморфная) во всей комплексной плоскости.

вия Коши – Римана не выполнены ни в одной точке комплексной плоскости, поэтому функция не является аналитической (голоморфной) ни в одной точке комплексной плоскости.

1.4.3. Какая часть комплексной плоскости сжимается и какая

растягивается при отображении: a) w ez , б) w z2 ?

а) Плоскость растягивается, когда коэффициент линейного растяжения больше единицы, и сжимается, когда этот коэффициент больше нуля и меньше единицы. Коэффициент линейного

кость растягивается, удовлетворяют неравенству ex 1, откуда получаем x 0 , или, что то же самое, Re z 0 . Аналогично показывается, что плоскость сжимается при Re z 0 .

29

тельно, точки, в которых плоскость растягивается, удовлетво-

плоскость растягивается во внешности круга с центром в начале координат и радиусом, равным 0,5. Аналогично показывается,

что плоскость сжимается при z 0,5 , то есть внутри круга с центром в начале и радиусом, равным 0,5.

1.4.4. Для отображения w z2 2z найти точки, в которых коэффициент линейного растяжения равен 0.

Следовательно, z 1 0 , откуда получаем z 1. Интересен фи-

зический смысл постановки данной задачи. Если коэффициент линейного растяжения больше 1, то плоскость растягивается, если равен 1, то плоскость ни растягивается, ни сжимается, если меньше 1, но больше 0, то плоскость сжимается.