Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 (cos n i sin n )

(cos n i sin n ) 1

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Имеем

			2	3			n x
		b	3		f (x)sin		3	dx
		n
				0
	1				2					3	x)sin n xdx .
2	(2 x)sin n xdx			2	sin n xdx				2	(3	x)sin n xdx .
3	0	3		3	1	3			3	2	3
	0				1					2

Вычислим каждый интеграл отдельно. Для вычисления пер-

								1
вого интеграл (2 x)sin n xdx																					применим формулу интегриро-
								0							3
								0
вания			по		частям. Полагая													u 2 x ,									dv sin n x dx										, имеем
									3	cos n x . Тогда																								3
du dx ,					v				3
du dx ,					v				n
									n				3
	1																		3								1				3	1
	1																										1					1
	(2 x)sin n xdx										(2 x)											cos n x										cos n xdx
	(2 x)sin n xdx										(2 x)								n			cos n x								n		cos n xdx
	0							3											n						3		0			n		0				3
	0																										0					0
							(2 x)						3			cos n x					1				3 3		sin n x						1
													3												3 3
												n											n2 2
																		3			0										3		0
																		3			0										3		0
	3			n				6			9							n							3			n				9					n	6
		cos														sin					0					cos									sin				.
	n	cos			3			n								sin		3			0				n	cos		3				n2		2	sin		3	n	.
	n				3			n		n2 2								3							n			3				n2		2			3	n
															2
Для второго интеграла sin n x dx																									получаем
															1				3
															1
		2			n x						3						n x			2					3				2n							n
		2			n x						3						n x			2					3				2n							n
			sin					dx						cos												cos							cos				.
			sin			3		dx			n			cos				3						n		cos					3		cos			3	.
						3					n							3		1				n							3					3
		1																		1						3	(3 x)sin n xdx , так же
																										3
Для вычисления третьего интеграла
																										2								3
																										2

как и для вычисления первого, применим формулу интегриро-

121

вания по			частям.									Полагая											u 3 x ,																			dv sin n x dx										, имеем
						3			cos n x dx . Тогда																																									3
du dx ,		v				3
du dx ,		v			n
					n										3
3																								3																	3				3			3
3																																									3							3
(3 x)sin n xdx (3 x)																												cos n x																				cos n xdx
(3 x)sin n xdx (3 x)																							n					cos n x																n				cos n xdx
2						3																	n												3						2			n				2			3
2																											3														2							2	3
			(3 x)												3				cos n x															3 3								sin n x
															3																			3 3
														n																				n2 2
																						3					2																		3				2
																						3					2																		3				2
				3								2n							9							sin n																9							2n
	0						cos																																							sin
	0			n			cos						3																										n2 2							sin				3
				n									3						n2 2																				n2 2											3
													3		cos					2n										9					sin							2n .
												n			cos						3						n2 2								sin							2n .
												n									3						n2 2															3
Окончательно для коэффициентов bn																																									имеем
			b					2						3			cos n													9					sin n												6
			b					2									cos n																		sin n
				n				3													3					n2 2																3 n
								3			n										3					n2 2																3 n
									2									3						2n																	n
																				cos												cos
									3								n			cos					3							cos										3
									3								n								3																	3
								2			3						cos				2n											9				sin						2n

								3														3							n2				2										3
								3			n											3							n2				2										3
	4		cos n							cos								2n				1											6				sin n											sin			2n	.
			cos n							cos									3			1															sin n											sin			3	.
	n						3												3												n2 2													3							3
Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид
																			4						n															2n
																			4						n															2n
				f (x)																	cos											cos													1
				f (x)																	cos											cos													1
													n 1			n									3																	3
										6				sin n sin 2n																								sin n x .
								n2 2						sin n sin 2n																								sin n x .
								n2 2												3													3												3

Для примеров 3.1, 3.2, 3.3 было бы весьма полезным получить коэффициенты Фурье с помощью какого-нибудь математического пакета и на одном графике поместить функцию и несколько частичных сумм ряда при n 1, 2,..., k .

122

3.4. Разложить функцию		1 x 0,
f (x)	2,	1 x 0,
f (x)	3,	0 x 1

в ряд Фурье в комплексной форме. Найти амплитудный, фазовый и частотный спектры.

Найдём коэффициенты разложения. Так как l 1, то

c	1	1	f	(x)e in xdx							1	0		2e in xdx 1			1 ( 3)e in x dx
n	2										2					2
n
		1										1					0
1				0		3e in x				1			i					3
				0						1

	e in x														e0 ein				e in e0
in	e in x						2in						n		e0 ein			2	e in e0
in				1		i	2in			0			n					2
										0					3
															3
								1	ein						2	e in 1
								1	ein							e in 1
					n

1 ( 1)n

( 1)n 1

( 1)n , n 0, 1, 2,...

Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид

1 ( 1)n ein x .

f (x)

5 1 ( 1)n

Амплитудный спектр

2n 2

Фазовый спектр

если n 2k,

arg

1 ( 1)n

если n 2k 1.

Частотный спектр равен n .

Задачи для самостоятельного решения

3.5. Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье. Найти амплитудный, фазовый и частотный спектры.

123

а) б)

в)

3.6. Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье

по косинусам.
а)	б)

в)

3.7. Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье по синусам.

124

а)

б)

в)

3.8. Разложить функцию в ряд Фурье в комплексной форме, найти амплитудный, фазовый и частотный спектры:

а) f (x) 3x 5, 2 x 2 ; б) f (x) e 3x , 3 x 3 ;

в) f (x) x2 16,		x		4 ;

г) f (x) 2x 7, x ;

sin x,	x 0,
д) f (x)	0 x .
cos x,	0 x .

125

4. Интегральные преобразования

Пусть K (x, s,t) – функция переменных x, s,t , которые могут

быть многомерными. Пусть G Rn – некоторое множество, U (G) – подмножество множества ограниченных на G функций. Оператор A , определённый на U (G) и действующий по форму-

ле ( Af )(s) K (x, s, f (x))dx , назовём интегральным оператором

или интегральным преобразованием. Функцию K (x, s,t) назовём ядром интегрального преобразования. ИнтегралK (x, s, f (x))dx есть интеграл, зависящий от параметра, и, сле-

довательно, его свойства, такие как предельный переход, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость по параметру, определяются свойствами подынтегральной функции (ядра интегрального преобразования). Мы будем рассматривать частный случай ядра K (x, s,t) K (x, s) t . Такие ядра называют мультип-

ликативными. В случае этого ядра справедлива теорема. Теорема. Если U (G) – линейное пространство, то оператор

( Af )(s) K (x, s) f (x)dx , определённый на этом пространстве,

линеен, то есть

( A( f g))(s) ( Af )(s) ( Ag)(s) , ( A( f ))(s) ( Af )(s) .

Доказательство очевидно из свойства линейности как собственных, так и несобственных интегралов.

Другие свойства интегральных преобразований зависят от ядра K (x, s) , размерности переменных x, s и области G .

Наиболее известны преобразования Фурье, синус-преобразо- вание Фурье, косинус-преобразование Фурье и преобразование Лапласа.

126

4.1. Преобразование Фурье, интеграл Фурье, синус- и косинус-преобразования Фурье

Множество G	есть числовая			прямая,		то есть
G R ( , ) , U (G)	– совокупность абсолютно интегрируе-
мых на ( , ) функций.
Ядро преобразования Фурье		K (x, s)		1	e isx	. Преобразо-
Ядро преобразования Фурье		K (x, s)		2	e isx	. Преобразо-
вание Фурье имеет вид				2
вание Фурье имеет вид
(s) f	(x) s	1	f (x)e isxdx .
		1

		2

Функция (s) называется также спектральной функцией или спектральной плотностью, (s) называется амплитудным спектром, arg (s) называется фазовым спектром.

Обратное преобразование Фурье имеет вид

x	1
		(s)eisxds .

	2

Подставляя в выражение для обратного преобразования Фурье функцию (s) (результат прямого преобразования Фурье),

получаем формулу

	1		1
x		f t e ist dt eisxds		f t eis( x t)dt ds,

	2		2

которая называется интегралом Фурье. Это аналог ряда Фурье. Имеет место следующий результат.

Теорема. Если f x абсолютно интегрируемая на ( , ) ,

кусочно-непрерывная и ограниченная или кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке функция, то

	f x 0 f x 0	1
(x)			f t eis( x t)dt ds.

2		2

127

Заметим, что в точках непрерывности
		f x 0 f x 0		f x .
	2			f x .
	2
Свойства преобразования Фурье
1.	Линейность. Если ( f )(s) (s) , ( g)(s) ( p) , то
	( ( f g))(s) ( f )(s) ( g)(s) (s) (s) ,
	( ( f ))(s) ( f )(s) (s) ,
или, что то же самое,
( f g) (s) ( f )(s) ( g)(s) (s) (s).
2.	Подобие. Если ( f )(s) (s) , то
		f ( x) (s)	1		s
						.

3.	Запаздывание. Если ( f )(s) (s) , то
	f x s e is (s) .
4.	Дифференцирование функции. Если	( f )(s) (s) ,
f (x) дифференцируема на всей числовой оси и		f (x) бесконеч-
но малая при x , то

f x s is f x s .

5.Дифференцирование образа. Если ( f )(s) (s) , то

f x s ixf x s .

6.Если ( f )(s) (s) , то

а) f x cos x (s) 12 (s ) (s ;

б) f x sin x (s) 21i (s ) (s .

Часто рассматривают синус- и косинус-преобразования Фурье.

Для синус- и косинус-преобразований Фурье множество G также есть числовая прямая, то есть G R ( , ) , U (G) –

совокупность абсолютно интегрируемых на ( , ) функций.

128

Ядро	1	синус-преобразования		Фурье	равно
K (x, s)	1	sin sx . Синус-преобразование Фурье имеет вид
K (x, s)	2	sin sx . Синус-преобразование Фурье имеет вид
	2
	s (s) s f (x) s		1	f (x)sin sxdx .

			2
			2

Для нечетных функций синус-преобразование Фурье имеет вид

Ядро

K(x, s)

	s (s) s f (x) s		2
			2	f (x)sin sxdx .
				f (x)sin sxdx .
				0
1		косинус-преобразования			Фурье	равно
1		cos sx . Косинус-преобразование Фурье имеет вид
2		cos sx . Косинус-преобразование Фурье имеет вид
2

c (s) c f (x) s	1	f (x)cos sxdx .

	2

Для чётных функций косинус-преобразование Фурье имеет вид

c (s) c f (x) s

f (x)cos sxdx .

4.1.1. Найти преобразование Фурье функции:

2 ,

f (x)

б)

f (x)

в других точках;

в)

f (x) x e

;

г)

f (x) e

cos x .

а) Записывая преобразование Фурье функции f (x) , имеем

			1			f (x)e isxdx
		(s)	1
		(s)
			2
1	1		1	1			1
1		0 e isxdx	1			xe isxdx	1	0 e isxdx
2		0 e isxdx	2			xe isxdx	2	0 e isxdx
2			2		1		2	1
					1			1
			1	1
			1		xe isxdx .
					xe isxdx .
			2
					1

129

	1	1
Для вычисления интеграла	1	xe isxdx применим форму-
Для вычисления интеграла		xe isxdx применим форму-
	2
		1

лу интегрирования по частям. Положим u x , dv e isxdx , тогда du dx , v is1 e isx si e isx . В результате получаем

	1	ix			isx	1	i	1		isx		1	ix			isx	1	1			isx	1
	1	ix			isx	1	i	1		isx		1	ix			isx	1	1			isx	1
(s)				e					e		dx				e					e
(s)				e					e		dx				e				2	e
			s				s							s					2
	2					1		1				2					1	s				1
	2					1		1				2					1	s				1

2 s

Так как eis e is

2cos s ,

eis

e is

2i sin s , то

(s)

cos s

sin s

cos s

2 s

б) Запишем функцию

f (x) следующим образом:

sin s .

1,	1	x	2 ,	1,	x ( 2, 1) (1, 2),

f (x)					x ( 2, 1) (1, 2).
	в других точках
0,				0,

Тогда

									1					f (x)e isxdx
					(s)				1
					(s)					2
										2
	1		2							1			1								1	1
	1			0 e isxdx						1			e isxdx								1	0		e isxdx
		2		0 e isxdx						2			e isxdx								2	0		e isxdx
		2								2			2								2	1
													2									1
					1		2							1
					1		e isxdx							1				0 e isxdx
					2		e isxdx								2			0 e isxdx
					2		1								2		2
							1										2
					1			1								1			2
					1			e isxdx								1			e isxdx
						2		e isxdx								2			e isxdx
						2		2								2			1
								2											1
1			1	e isx		1		1	e isx		2						1			i	e isx		1		i	e isx	2
1			1			1		1			2						1			i			1		i		2



2			is			2 is					1						2 s						2		s		1
2			is			2 is					1						2 s						2		s		1
												130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20233.39 Mб17Практикум по объектно-ориентированному программированию..pdf
#
05.02.20231.39 Mб13Практикум по программированию на языке программирования Си..pdf
#
05.02.2023406.11 Кб2Практикум по социально-культурной деятельности..pdf
#
05.02.20231.98 Mб16Практикум по Теоретической механике..pdf
#
05.02.2023931.61 Кб16Практикум по теории вероятностей..pdf
#
05.02.20231.22 Mб7Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению..pdf
#
05.02.20231.44 Mб36Практикум по физико-химическим методам анализа..pdf
#
05.02.2023206.8 Кб0Практическая подготовка студентов.-1.pdf
#
05.02.2023623.34 Кб0Практическая подготовка студентов..pdf
#
05.02.2023290.92 Кб10Практический маркетинг..pdf
#
05.02.2023176.72 Кб1Преддипломная практика студентов..pdf

	1	ix			isx	1	i	1		isx		1	ix			isx	1	1			isx	1
	1	ix			isx	1	i	1		isx		1	ix			isx	1	1			isx	1
(s)				e					e		dx				e					e
(s)				e					e		dx				e				2	e
			s				s							s					2
	2					1		1				2					1	s				1
	2					1		1				2					1	s				1

	1	ix			isx	1	i	1		isx		1	ix			isx	1	1			isx	1
	1	ix			isx	1	i	1		isx		1	ix			isx	1	1			isx	1
(s)				e					e		dx				e					e
(s)				e					e		dx				e				2	e
			s				s							s					2
	2					1		1				2					1	s				1
	2					1		1				2					1	s				1

	1	ix			isx	1	i	1		isx		1	ix			isx	1	1			isx	1
	1	ix			isx	1	i	1		isx		1	ix			isx	1	1			isx	1
(s)				e					e		dx				e					e
(s)				e					e		dx				e				2	e
			s				s							s					2
	2					1		1				2					1	s				1
	2					1		1				2					1	s				1