Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

2.2.7. Доказать, что ряд сходится равномерно внутри области

2n 3

2 i)

сходимости: а)

; б)

;

(2n 1)

n 0 (2n 1)5

n 1

n2n

(z 1 3i) n

(n 2)

в)

; г)

(z 1

2i)

(n 1)

3 i)

n 1

n 1 (z

2.2.8. Доказать,

что

ряд можно

интегрировать

почленно

z2n

(z 3 i) n

внутри области сходимости: а)

; б)

;

(2n

n 0

n 1

(n 3)3n

(z 2

3i) n

32n 1(n 2)

в)

; г)

(z 1

2i)

3 2i)

n 1

2.2.9. Доказать, что ряд можно дифференцировать почленно

3n 1

внутри области сходимости: а)

;

б)

(z 3 i)

n 0 3

n 1 6

(3n

n32n 1

(z 2 2i) n

2n (n 2)

в)

; г)

2 2i)

(n 1)

(z 1 2i)

n 1

2.2.10. Найти сумму ряда:

2n 3

2i)

5n 3

(4n

1)z

4n 3

а)

; б)

; в)

;

(2n 1)3n

n 0

n 1

n 0

1 2i)

2n 3

(5n 1)(z 1 i)

5n 3

г)

; д)

;

2n 1

n 1

(3n 1)(z i)3n 3

n32n 1

(2n 1)3n

е)

; ж)

; з)

2n 3

(z 2

2i)

n 1

n 0

;

2.3. Степенные ряды

Ряд an (z z0 )n называется степенным. Так как этот ряд

n 0

сдвигом начала координат в точку z0 может быть преобразован

к виду an zn , то обычно последний и изучают. Имеет место

n 0

следующий результат.

Теорема Абеля. Если степенной ряд an zn сходится в

n 0

точке z1 , то он сходится, и притом абсолютно, в любой точке z ,


для которой	z	z1	. Если степенной ряд	an zn расходится в
для которой	z	z1	. Если степенной ряд	an zn расходится в
				n 0

точке z2 , то он расходится и в любой точке z , для которой

z z2 .

Таким образом, степенной ряд имеет круг сходимости. Выражение для нахождения радиуса R L1 круга сходимости сте-

пенного ряда an zn получают с помощью признака Даламбе-

	n 0
ра L lim	an 1	или признака Коши L lim	n	a	.


n	an	n		n
n	an	n

Нетрудно показать, что степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости, поэтому его можно интегрировать и дифференцировать внутри этого круга любое число раз.

2.3.1. Найти радиус круга сходимости и круг сходимости

(z 2 i)

степенного ряда

n 0

(n 1)3n

Имеем L lim n

lim 1

lim n

. Та-

(n 1)3n

n n 1

n 3

ким образом, радиус сходимости ряда R L1 3 и ряд сходится

в круге z 2 i 3 . Для выяснения сходимости на границе z 2 i 3 круга сходимости нужны дополнительные исследования.

2.3.2. Найти радиус круга сходимости и круг сходимости

степенного ряда

Имеем

n 0 (n 1)!

(n 1)n 1

(n 1)n 1(n 1)!

L lim

n 1

lim

(n 2)!

(n 1)!

(n 2)!n

1)n 1

(n 1)

n 1 n

lim

e .

2)n

(n 2)

Таким образом, радиус сходимости ряда R L1 1e и ряд схо-

дится в круге z 1e . Для выяснения сходимости на границе

z 1e круга сходимости нужны дополнительные исследования. 2.3.3. Найти радиус круга сходимости и круг сходимости

z3n 1

степенного ряда n .

n 0 5

В данном случае воспользоваться приведенными выше формулами для нахождения радиуса круга сходимости нельзя, так как степени z идут не подряд. Это так называемый ряд с пропусками. Для выяснения области сходимости лучше всего воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши непосредственно. Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем

lim

un 1

lim

z3(n 1) 1

z3n 1

lim

5n 1

Таким образом, ряд сходится абсолютно при

и расхо-

дится при

1 , или, что то же самое, сходится при

3 5 и

3 5 . При

3 5 ни с помощью признака

расходится при

Коши, ни с помощью признака Даламбера (показывается так же) выяснить сходимость этого ряда не удаётся. Рассмотрим ряд при

z		3 5 . Так как		z		3 5 , то z 3 5ei ,	0 2 . Подставляя в

3n 1

ряд,

получаем

3 5ei(2n 1) . Так

как

n 1

ei(2n 1)

1 , то в силу нарушения необходимого признака схо-

димости

ряд

3ei(2n 1)

расходится.

Таким

образом,

ряд

n 1

3n 1

сходится при

3 5 и расходится при

3 5 .

n 0

Задачи для самостоятельного решения

2.3.4. Найти радиус круга сходимости и круг сходимости

n!(z 1 i)n

z5n 3

степенного ряда: а)

; б)

; в)

;

n 0

n 1 n

n 1 n9

4n 3

(z 3

г)

(n 3)!zn ; д)

; е)

2i)n .

n 0

(n 2)

n 1 n

n 0

n 2 9

2.4. Ряды Тейлора и Лорана

Степенной ряд

cn (z z0 )n ,

коэффициенты которого вы-

n 0

числяются по формулам

f (n) (z0 )

f (z)

dz ,

где

2 i C z z0 n 1

интегрирование ведётся по любому замкнутому контуру, внутри себя содержащему точку z0 и не содержащему точек не анали-

тичности функции f (z) , называется рядом Тейлора.

Степенной ряд

cn (z z0 )n ,

коэффициенты которого вы-

числяются по формулам c

f (z)

dz , называется ря-

2 i C z z0 n 1

дом Лорана.

Слагаемое

cn (z z0 )n называется правильной

n 0

частью ряда

Лорана, а

слагаемое

cn (z z0 )n

называется

главной частью ряда Лорана.

Степенной ряд

cn zn ,

сходящийся в кольце

R , на-

зывается рядом Лорана в окрестности бесконечно удалённой

точки. Слагаемое cn zn называют правильной частью ряда

Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки, а слагаемое

cn zn называют главной частью ряда Лорана в окрестности

n 1

бесконечно удалённой точки.

Теорема Тейлора. Всякая голоморфная (аналитическая) в

круге

z z0

функция

есть

сумма

степенного ряда

cn (z z0 )n ,

коэффициенты cn

которого

вычисляются по

n 0

формуле

f (n) (z0 )

f (z)

dz ,

2 i C z z0 n 1

где интегрирование ведётся по любому замкнутому контуру, содержащему точку z0 внутри себя и целиком лежащему в кру-

ге z z0 R . Это представление единственно в том смысле,

что если мы получили разложение функции в степенной ряд

cn (z z0 )n , то это обязательно ряд Тейлора.

n 0

Ряд Тейлора разложения функции по степеням z , то есть при z0 0 , называется рядом Маклорена. Разложение часто исполь-

зуемых функций в ряд Маклорена давно получено и представлено ниже.

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена:

;

n 0

2n 1

sin z ( 1)n

( 1)n 1

;

(2n 1)!

n 0

n 1

cos z ( 1)n

;

(2n)!

n 0

zn ;

1 z

n 0

( 1)n zn ;

1 z

n 0

ln(1 z) ( 1)n 1

;

n 1

2n 1

arctgz ( 1)n

( 1)n 1

2n 1

n 0

n 1

Теорема Лорана. Всякая голоморфная (аналитическая) в

кольце

z z0

функция

есть

сумма

степенного ряда

cn (z z0 )n , коэффициенты

cn которого вычисляются по

формуле

f (z)

dz ,

2 i C z

z0 n 1

где интегрирование ведется по любому контуру, содержащему точку z0 внутри себя и целиком лежащему в кольце

r z z0 R . Это представление единственно в том смысле, что если мы получили разложение функции в степенной ряд

cn (z z0 )n , то это обязательно ряд Лорана.

Кольцо r

z z0

может включать случаи r 0

и R ,

то

есть

иметь либо вид

z z0

( r 0 ),

либо

вид

z z0

r ( R ).

2.4.1. Разложить в ряд sin z3 в окрестности точки z 0 .

2n 1

Пользуясь разложением

sin z ( 1)n

можем за-

(2n

1)!

z3 2n 1

n 0

z6n 3

писать

sin z3

( 1)n

. По теореме

(2n 1)!

n 0

единственности это ряд Тейлора для функции sin z3 .

(z 3)n

2.4.2. Пусть

f (z)

. Найти

(2n 1)5n

(3) .

n 0

f (z)

в ряд Тейлора по

Коэффициенты разложения функции

степеням z 3 вычисляются по формуле

f (n) (3)

. Поэто-

му

Так

как c3

то

(3) 3! c3 .

(2 3

1)53

125

875

875 875 .

(3)

2.4.3. Найти

f (125) (0)

f (126) (0) , если

f (z)

1 z2

Так как

f (z)

z2n , то четные коэффи-

1 z

n 0

циенты c2n 1, а нечётные c2n 1

0 . Поэтому

f (125) (0) 125! c

125! 0 0 ,

125

f (126) (0) 126! c

126! 1 126!

126

2.4.4. Разложить по степеням z 2 функцию

f (z) z2 5z 3 .

Имеем

f (2) 22

5 2 3 17 . Вычисляя производные, по-

лучаем f

5 , f

2 ,

остальные производ-

(z) 2z

(z) ( f

(z))

ные равны нулю. Далее,

2 2 5

9 , f

f (2)

(2) 2 . И окон-

чательно имеем

f (z) z2 5z 3 17 9(z 2) (z 2)2 . Заме-

тим, что данный результат можно было получить, выделяя степени z 2 в исходной функции, что является трудным при

несколько большей степени полинома.

2.4.5. Разложить по положительным и отрицательным степе-

ням z 2 функции							1		и			1		.
ням z 2 функции						z	3		и		z 3 2			.
						z	3				z 3 2
Можем записать							1					1							1		. Далее, для
Можем записать						z	3			z 2 2					3			(z	2) 5		. Далее, для
						z	3			z 2 2					3			(z	2) 5
разложения по положительным степеням z 2																				имеем
1				1			1					1		z 2 n							(z 2)n
																						.
	(z 2) 5							z 2													5n 1	.
				5	1			z 2				5 n 0					5			n 0
				5			5					5 n 0					5			n 0
							5
Это разложение справедливо при																z 2			1,	или, что то же
																z 2
																	5
																	5
самое, при		z 2	5 .
самое, при		z 2	5 .
Аналогично			для разложения										по		отрицательным степеням
( z 2 ) получаем

5 n

(z 2)n 1

(z 2) 5

z 2

z 2 n 0

n 0

1 z 2

Это разложение справедливо при

1, или, что то же са-

z 2

мое, при

z 2

5 .

Далее, так как

, то можем записать

z 3 2

z 3

n(z 2)n 1

(z 2)n

n 1

z 3

n 0

n 1

для разложения по положительным степеням ( z 2 ) и

(n 1)5

z 3

n 1

n 2

n 0 (z

n 0

для разложения по отрицательным степеням z 2 . 2.4.6. а) Функцию f (z) 1z разложить по степеням z .

По теореме единственности разложения функции в ряд Лорана данная запись и есть разложение функции по степеням z .

б) Функцию f (z) 1z разложить по положительным и отри-

цательным степеням z 3 .

	Можем записать				1	1	.		Далее,		для разложения по
	Можем записать				z	(z 3) 3	.		Далее,		для разложения по
					z	(z 3) 3
положительным степеням z 3 имеем
1		1		1		1		z 3		n		(z 3)n
						( 1)n					( 1)n		.
	(z 3) 3			z	3	( 1)n					( 1)n	3n 1	.
		3	1	z	3	3 n 0			3		n 0
		3			3	3 n 0			3		n 0
					3

Это разложение справедливо при

z 3

1, или,

что то же са-

мое, при

z 3

3 .

Аналогично

для

разложения

по отрицательным степеням

z 3 получаем

( 1)n

(z 3) 3

z 3

z 3 n 0

z 3

( 1)n

(z 3)n 1

n 0

Это разложение справедливо при

1, или,

что то же са-

z 3

мое, при

z 3

3 .

разложить по степеням z .

2.4.7. а) Функцию

z(z

Первый сомножитель

по степеням z

уже разложен. Оста-

лось разложить по степеням z

второй сомножитель

z 3

Для разложения по положительным степеням z

имеем

z 3

3 n 1

n 0

Это разложение справедливо при

3 , то есть полученный ряд

сходится в области

3 . Таким образом,

для исходной функ-

ции получаем разложение

n 1

z(z 3)

n 0 3 n 1

n 1 3 n 1

справедливое в области 0

3 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20233.39 Mб17Практикум по объектно-ориентированному программированию..pdf
#
05.02.20231.39 Mб14Практикум по программированию на языке программирования Си..pdf
#
05.02.2023406.11 Кб2Практикум по социально-культурной деятельности..pdf
#
05.02.20231.98 Mб17Практикум по Теоретической механике..pdf
#
05.02.2023931.61 Кб17Практикум по теории вероятностей..pdf
#
05.02.20231.22 Mб7Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению..pdf
#
05.02.20231.44 Mб36Практикум по физико-химическим методам анализа..pdf
#
05.02.2023206.8 Кб0Практическая подготовка студентов.-1.pdf
#
05.02.2023623.34 Кб0Практическая подготовка студентов..pdf
#
05.02.2023290.92 Кб10Практический маркетинг..pdf
#
05.02.2023176.72 Кб1Преддипломная практика студентов..pdf