Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f (x), k (x)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Так как коэффициент при

1 равен 16 , то res

z11

16 , и

поэтому

z z4 1

z11

2 i

res

2 i 16

32 i .

z z

в) Вычислить интеграл				z11		dz .
			z	4
	z 1	1,5			4

Подынтегральная функция имеет простые полюсы в точках

z1 1 i , z2 1 i , z3 1 i , z4 1 i , которые являются нулями знаменателя и найдены в предыдущем примере. Внутри

контура z 1 1,5 лежат точки z1 1 i и z4 1 i . Найдём вычеты подынтегральной функции в этих точках. Имеем

res

z11

(1 i)8

z 1 i z4

(z4 4)

z 1 i

4z3

z 1 i

так как (1 i)2 2i , (1 i)4 (2i)2

4 , (1 i)8 ( 4)2 16 .

Аналогично

res

z11

(1 i)8

4 ,

z 1 i z4

(z4 4)

z 1 i

4z3

z 1 i

так как (1 i)2 2i ,

(1 i)4

( 2i)2 4 , (1 i)8

( 4)2 16 .

z11

Поэтому

2 i

res

z 1

1,5

z 1 i z

2 i (4 4) 16 i .

г) Вычислить интеграл

z4 sin 1 dz .

Точка z 0 является существенно особой для подынтегральной функции и лежит внутри контура z 1. Поэтому, раскла-

101

дывая функцию z4 sin 1z в ряд Лорана в кольце 0 z , получаем

z4 sin

( 1)n

(2n 1)! z2n 1

n 0

... .

3!z3

5!z5

7!z7

Так как коэффициент при

равен

, то

120

res

sin

120

z 0

2 i

z4 sin

2 i res

z4 sin

120

z 0

д) Вычислить интеграл

dz .

sin z

Особыми точками подынтегральной функции могут быть только нули её знаменателя, то есть точки z k , k 0, 1, 2,...

Из них внутри контура z 1 лежит только точка z 0 . Эта точка является устранимой особой точкой для функции sinz z ,

поэтому res	z	0 . Таким образом,		z	dz	2 i 0 0 .
	sin z			sin z
z 0			z 1

Для несобственных интегралов первого рода						f (x)dx име-

ет место следующий результат.

Теорема 2.7.3. Если функция f (z) голоморфна (аналитична) в верхней полуплоскости за исключением конечного числа осо-

бых точек, голоморфна (аналитична) на оси OX	и	f (z)	M		,
			M

			z	1
			z	1

102

где M 0, 0 – некоторые константы, то несобственный инте-


грал первого рода		f (x)dx абсолютно сходится и

		n
		f (x)dx 2 i res f (z) ,
		k 1 z zk
где суммирование	ведётся по всем особым точкам функции

f (z) , лежащим в верхней полуплоскости, то есть таким, что


Im zk 0 ,	k 1, 2,..., n .
			xdx
2.7.2. Вычислить интеграл			xdx			.
2.7.2. Вычислить интеграл		2		2		.
	(x		4)(x		2x 5)

Данная подынтегральная функция может иметь особые точки только в нулях знаменателя. Такими являются точки x1 2i ,

x2 2i , x3 1 2i , x4 1 2i – нули кратности 1 (простые ну-

ли). Из них в	верхней полуплоскости лежат точки x1 2i и
x3 1 2i . Так	как числитель в этих точках в нуль не обращает-

ся, то x1 2i

и x3 1 2i

есть полюсы порядка 1 (простые по-

люсы). Поэтому имеем

res

lim

(z 2i)z

4)(z2

(z2 4)(z2 2z

z 2i (z2

z 2i

lim

(z 2i)(z2 2z

z 2i (z 2i)(z2 2z 5)

z 2i

1 4i .

2 8i

(z 1 2i)z

res

lim

4)(z2

(z2 4)(z2

2z 5)

z 1 2i (z2

z 1 2i

lim

(1 2i)

2 9i .

(z2 4)(z 1 2i)

((1

2i)2 4)4i

z 1 2i

103

Таким образом,

	xdx		1 4i	2 9i		i

		2 i			2 i			.
(x2 4)(x2 2x 5)			34	68		68	34

x2dx

2.7.3.Вычислить интеграл (x2 4)2 .

x2 2i , обе нули кратности 2. Из них в верхней полуплоскости лежит точка x1 2i . Так как числитель в этой точке в нуль не обращается, то x1 2i есть полюс порядка 2. Поэтому имеем

res

lim

d (z 2i)2 z2

lim

4)2

(z2

4)2

dz (z

2i)2

z 2i (z2

z 2i dz

z 2i

lim

2z(z 2i)2 z2 2(z 2i)

lim

2z(z 2i) 2z

(z 2i)4

(z 2i)3

z 2i

lim

4zi

i .

2i (z 2i)3

(z 2i)3

z 2i

(4i)3

64i

Таким образом,

x2dx

2 i i

Вычисление

интегралов

R(cost,sin t)dt

или

интегралов

R(cost,sin t)dt ,

где

R(cost,sin t)

есть рациональная функция

переменных cost

и sin t ,

заменой

z eit

сводится к вычисле-

нию интеграла

R1(z)dz , где

R1(z)

–

другая рациональная

функция переменной z . Действительно, если t пробегает полу-

104

интервал [0,2 ) или полуинтервал [ , ) , то точка z пробегает единичную окружность. Далее, по формулам Эйлера получаем

eit e it

cos t

, sin t

Кроме того,

dz ie

dt ,

или

Подставляя

найденные выражения для

cos t ,

sin t ,

выражение

R(cost,sin t)dt ,

получаем

новую

рациональную

функцию, но

уже переменной z .

2.7.4.Вычислить интеграл 5 cos x 2 .

Сделаем замену z eix . Тогда cos x

и поэтому

z2 10z

5 cos x 5

Далее,

4z2dz

4izdz

5 cos x

1 iz z2

10z 1

1 z2 10z 1

Особыми точками подынтегральной функции являются точки

обращения в нуль знаменателя. Это происходит в точках

z1 5 24 и z2 5 24 .

Так как 4

24 5 ,

то

24 9 ,

и поэтому точка

z1 5

не

лежит в круге

Далее,

так

как

z2 5

1 5

24 0 , то

1, и точка

лежит в круге

1. Поэтому

4izdz

4iz

2 i

res

5 cos x

1 z2

10z

z 5

24 z2 10z 1

105

Точка z2 5 24 есть нуль кратности 2 знаменателя, а

следовательно, полюс порядка 2 подынтегральной функции. Далее имеем

res

4iz

lim

d z 5 24 2

4iz

z2 10z 1 2

z 5 24 z2 10z 1 2

z 5 24 dz

lim

4iz

z 5 24 dz z 5 24 2

lim

4i z 5

24 2

4iz 2

z 5

z 5 24

lim

z 5

			4i z 5		24 4iz 2
		lim
				z 5 24 3
	z 5 24

4zi 20i 4 24i 4zi 20i 4 24i
24 z 5 24 3					z 5 24 3			z 5 24
	4	5 24 i 20i 4 24i
						40i
							.
		5 24 5 24 3				24 24

Окончательно получаем

		dx			40i		40					10	5
		dx		2 i	40i		40					10	5		.
	5	cos x	2	2 i	24 24						3 24		3	6	.
	5	cos x			24 24	12		24			3 24		3	6
		Задачи для самостоятельного решения
2.7.5. Вычислить интегралы: а)									z8	dz	;
2.7.5. Вычислить интегралы: а)								z	3	dz	;
						z	3		8
									8

106

б)

dz ; в)

z2 2z 10

dz ; г)

e2z

dz ;

z 1

д)

dz ; е)

dz ;

sin z

z 1 i

2,5 z

ж)

2z 5

dz ; з)

(z5 2z 3)cos

dz ;

4z 20

z 4i

и)

3z4 2 sin

dz ; к)

z3 z cos

1 dz ;

x3dx

x2dx

л)

; м)

;

2 8x 20

н)

; о)

; п)

;

x2 4x 5

3 sin x

7 cos x

р)

8 sin

107

3. Ряды Фурье

Рассмотрим множество вещественнозначных функций, заданных на отрезке [a,b] и интегрируемых вместе со своим

квадратом, то есть таких, что существуют интегралы f (x)dx и

		a
b
f 2 (x)dx . Такими являются, например,	все	непрерывные на
a
отрезке [a,b] функции. Положим	для	этих функций

( f , g) f (x)g(x)dx . Эта операция обладает всеми свойствами

скалярного произведения. Поэтому на множестве функций, интегрируемых вместе со своим квадратом, вводят скалярное произведение по формуле

b
( f , g) f (x)g(x)dx .	(3.1)

Для комплекснозначных функций действительного переменного, интегрируемых со своим квадратом, скалярное произведение вводят по формуле

b
( f , g) f (x)g(x)dx .	(3.2)

Назовём две функции ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Семейство функций 1, 2 ,..., n ,... назовём ортогональным,

если каждые две функции из этого семейства ортогональны между собой.

Ортогональной системой функций является так называемая тригонометрическая система функций

1, cos n x	, sin n x	,	n 1, 2,... ,	(3.3)
l	l

которая ортогональна на отрезке [ l, l] .

108

Частным случаем этой системы функций является система

1,cos nx,sin nx , n 1, 2,... ,

(3.4)

ортогональная на отрезке [ , ] .

Конкретные ортогональные семейства функций, отличные от тригонометрической системы, можно найти в [4–8] и других книгах.

Пусть 1, 2 ,..., n ,... – множество попарно ортогональных функций. Пусть, далее, функция f (x) представлена в виде


f (x) ak k .	(3.5)

k 1

Это представление называется разложением функции в обобщённый ряд Фурье. Если ряд можно интегрировать почленно, то вычисляя скалярное произведение от левой и правой частей данного разложения, получаем коэффициенты этого разложения

Применяя эти формулы к тригонометрической системе (3.3), получаем разложение

f (x) a0

bn sin n x

an cos n x

(3.7)

n 1

коэффициенты которого находятся по формулам

1 l

n x

f (x)cos

dx ,

n 0,1, 2,... ;

(3.8)

1 l

n x

f (x)sin

dx ,

n 1, 2,...

(3.9)

Преобразуем слагаемое

a cos n x

sin n x в формуле (3.7).

Имеем

cos n x b

sin n x

109

n x

a 2

cos

sin

Положим

a 2

2 A ,

cos

sin

2 b 2

2 b

С учётом этих обозначений имеем

a cos n x

sin n x

cos

cos n x sin

sin n x

A cos n x

Поэтому ряд (3.7) может быть записан в виде

f (x)

n x

An cos

n .

n 1

Функция

cos

n x

является периодической с наи-

меньшим периодом 2nl и представляет собой гармоническое

колебание. Поэтому разложение функций в ряд Фурье называют гармоническим анализом. Величина An называется амплитудой

гармоники, nl – частотой гармоники, n – отклонением от на-

чального положения.

Величины An , n 1, 2,... , называют амплитудным спектром, nl – частотным спектром, n , n 1, 2,... , – фазовым спектром.

Заметим, что, зная амплитудный, частотный и фазовый спектры, всегда можно восстановить исходную функцию, так как имеет место следующий результат.

Теорема Дирихле. Всякая кусочно-непрерывная и ограниченная на отрезке [ l,l] функция (сигнал) f (x) может быть

разложена в ряд Фурье (3.7), который сходится к периодической

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20233.39 Mб17Практикум по объектно-ориентированному программированию..pdf
#
05.02.20231.39 Mб14Практикум по программированию на языке программирования Си..pdf
#
05.02.2023406.11 Кб2Практикум по социально-культурной деятельности..pdf
#
05.02.20231.98 Mб17Практикум по Теоретической механике..pdf
#
05.02.2023931.61 Кб17Практикум по теории вероятностей..pdf
#
05.02.20231.22 Mб7Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению..pdf
#
05.02.20231.44 Mб36Практикум по физико-химическим методам анализа..pdf
#
05.02.2023206.8 Кб0Практическая подготовка студентов.-1.pdf
#
05.02.2023623.34 Кб0Практическая подготовка студентов..pdf
#
05.02.2023290.92 Кб10Практический маркетинг..pdf
#
05.02.2023176.72 Кб1Преддипломная практика студентов..pdf