Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

n2 5

г)

sin

; д)

sin

; е)

sin

; ж)

;

n n

n 1

з)

л)

; и) arcsin

;

к) narctg

;

n 1

3 n8 3n2 5n 2

n 1

4 n

n 1

; м)

; н)

arctg

; о)

n 1

Интегральный признак (Коши). Пусть для ряда an уда-

n 1

ётся подобрать монотонную действительнозначную функцию f действительного аргумента так, что f (n) an . Тогда из сходи-

мости интеграла f (x)dx	следует абсолютная сходимость ряда
1

an , а из расходимости	интеграла f (x)dx следует, что ряд
n 1	1

an не является абсолютно сходящимся.

n 1

2.1.5. а) Выяснить сходимость ряда

n 2 nln n

Рассмотрим функцию

f (x)

. Для интеграла

x ln x

имеем

lim

d ln x

lim ln ln x

2A lim

ln ln A ln ln 2 .

x ln x

2 ln x

Интеграл расходится, поэтому и ряд расходится.

б) Выяснить сходимость ряда

n 2 nln

Рассмотрим функцию

f (x)

. Для интеграла

x ln

A d ln x

можем

записать

lim

2 x ln2 x

A 2 ln2 x

ln x

. Следовательно, интеграл сходится и

lim

ln A

ln 2

его значение равно ln12 . Поэтому исходный ряд тоже сходится.

в) Выяснить сходимость ряда

n 2 n

ln n

Рассмотрим функцию

f (x)

. Для интеграла

ln x

d ln x

ln x

получаем

lim

2 lim

x ln x

ln x

lim ln A ln 2 .

Интеграл расходится, поэтому и ряд расходится.

		1
г) Выяснить сходимость ряда			.
	2
n 1 n		4

По признаку сравнения ряд сходится, так как он в смысле

сходимости ведёт себя так же, как и ряд 12 . Докажем теперь

n 1 n

сходимость ряда с помощью интегрального признака сходимо-

сти. Рассмотрим функцию

f (x)

. Для интеграла

имеем

lim

lim arctg

1 x2 4

A 1

x2 4

2 A

arctg

lim arctg

arctg

2 A

Следовательно, интеграл

сходится

его

значение

равно

1 arctg

1 . Поэтому исходный ряд тоже сходится.

Задачи для самостоятельного решения

2.1.6. Выяснить сходимость рядов:

а)

; б)

; в)

; г)

;

ln n

2n 3

n 2 nln

n 2 n

n 1

n 1 n

3 n 1

д)

; е) e n ; ж)

; з)

n 1 3 (n 1)2

n 1

n 1 (2n

3)(2n 5)

n 1 n6 9

Признак Даламбера в непредельной форме. Если начиная

an 1

q 1,

с некоторого номера

то ряд an

абсолютно схо-

n 1

дится,

если

an 1

q 1,

то ряд

расходится, так

как если

an 1 q 1, то предел модуля общего члена ряда не равен ну- an

лю, поэтому предел общего члена ряда либо не равен нулю, либо не существует и из-за нарушения необходимого признака сходимости ряд расходится.

Признак Даламбера в предельной форме. Если

	an 1	q , то при q 1 ряд

lim			an		абсолютно сходится, при
n	an		n 1
q 1	ряд расходится (при q 1		lim	a	n	0 ), при	q 1 признак
q 1	ряд расходится (при q 1		lim	a		0 ), при	q 1 признак
			n
			n

Даламбера ответа не даёт, то есть имеются как сходящиеся ряды, так и расходящиеся, для которых q 1 .

2.1.7. а) Выяснить сходимость ряда

2)n

n 1 (n

Применяя признак Даламбера, получаем

lim

an 1

lim

(n 1)!

lim

1)!(n 2)

n 1

(n 3)

(n 2)

n!(n 1)(n 2)n

lim

(n 1)(n

2)n

lim

n 1

(n 3)

(n 1)

n 2

n 2 n

lim

(n 3)

n 3

n (n

n 3

1 lim

n 2 n

1 n

e 1 .

lim 1

n 3

Так как e 1 1 , то ряд сходится.

б) Выяснить сходимость ряда ntg

n 1

Применяя признак Даламбера, получаем

lim

n 1

lim (n 1)tg

ntg

2n 2

2n 1

Так как 12 1, то ряд сходится.

в) Выяснить сходимость ряда 3n n 1 .

n 1 2

Применяя признак Даламбера, получаем

n 1

3(n 1) 1

3n 1

(3n 4)2n

lim

2n 1

n 2n 1(3n 1)

Так как 12 1, то ряд сходится.

г) Выяснить сходимость ряда (4n n 3)2 .

n 1 3

Применяя признак Даламбера, получаем

		lim	an 1		(4(n 1) 3)		2	:	(4n		3)	2
							2					2
				lim
		n	an			n 1				n
		n		n		3				3
				n		3				3
					(4n 7)3n				1
				lim						.
				lim	n 1					.
					n 1	(4n 3)			3
				n	3	(4n 3)			3
Так как	1	1, то ряд сходится.
	3

Задачи для самостоятельного решения

2.1.8. Выяснить сходимость рядов:


а) n2 sin
а) n2 sin			2n
n 1			2n
	1
д) ntg	1	; е)
д) ntg	3n	; е)
n 1	3n

				(2n)!2 ; в)
; б)
	n 1			(n!)
		n
n			; ж)			n!

n 1	n!				n 1 nn

	(n!)	2						1
	(n!)			; г)		narcsin		1		;
	(2n)!			; г)		narcsin			2n	;
n 1	(2n)!					n 1			2n
			n		n		3
; з)			n			; и) n		.
; з)						; и) n		.
	n 1		2n n!			n 1 n!

Радикальный признак Коши в непредельной форме. Если


начиная с некоторого номера n	an	q 1, то ряд	an абсо-
начиная с некоторого номера n	an	q 1, то ряд	an абсо-
			n 1

лютно сходится, если n an q 1, то ряд расходится, так как

если n an q 1, то предел модуля общего члена ряда не равен

нулю, поэтому предел общего члена ряда либо не равен нулю, либо не существует и из-за нарушения необходимого признака сходимости ряд расходится.

Радикальный признак Коши в предельной форме. Если

lim n

q , то при q 1

ряд

абсолютно сходится, при

n 1

q 1

ряд расходится (при

q 1

lim

0 ), при

q 1 признак

Коши ответа не даёт, то есть имеются как сходящиеся ряды, так и расходящиеся, для которых q 1 .

2 i n

2.1.9. а) Выяснить сходимость ряда

n 1

Применяя радикальный признак Коши, получаем

2 i n

2 i

lim n

lim

Так как

1 , то ряд сходится абсолютно.

i(2n i) n

б) Выяснить сходимость ряда

n 1

Применяя радикальный признак Коши, получаем

lim n

i(2n i)

lim

2n i

lim

2n i

Так как

1, то ряд сходится абсолютно.

в) Выяснить сходимость ряда

n 1 n 1

Применяя радикальный признак Коши, получаем

lim n

lim

1 .

n 1

n n 1

Так как

1, то ряд сходится.

n 1

г) Выяснить сходимость ряда

2n 1

n 1

Применяя радикальный признак Коши, получаем

lim n

lim

n 1 n

lim

n 1

lim

n 1

2n 1

Так как

1 1, то ряд сходится.

д) Выяснить сходимость ряда sinn

n 1

Применяя радикальный признак Коши, получаем

lim n

sin

lim

sin

lim sin

0 .

Так как 0 1, то ряд сходится.

Задачи для самостоятельного решения

2.1.10. Выяснить сходимость рядов:

2n2 1 n

n 1

а)

; б)

arcsin

; в)

;

n 1

5 2i n

3n 2

2 3i n

г)

; д)

4n 1

; е)

; ж) tgn

n 1

Признак Дирихле. Пусть дан ряд

cn anbn

с произ-

n 1

вольными членами и пусть последовательность Sn ak

час-

k 1

тичных сумм ряда an

ограничена, а числовая последователь-

n 1

ность

стремится

нулю

монотонно,

тогда

ряд

n 1

anbn

сходится.

n 1

Следствием признака Дирихле является следующий признак.

Признак Лейбница. Пусть дан знакочередующийся ряд

( 1)n an , an 0 . Если начиная с некоторого номера an an 1

n 1

и lim an 0 , то ряд сходится.


2.1.11. а) Выяснить сходимость ряда ( 1)n 1 sin		.

n 1	2n

Ряд из модулей имеет вид sin . Исследуя его с помощью

n 1 2n

предельного признака сравнения и находя порядок малости относительно 1n , получаем

lim sin

lim

sin

0,если 1;

lim

,если

, если

Таким образом, порядок малости относительно

равен 1 и ряд

sin

расходится,

следовательно,

исходный ряд

n 1

( 1)n 1 sin

не является абсолютно сходящимся. Далее, так

n 1

как

lim

( 1)n 1 sin

lim sin

и стремление к

нулю монотонно,

потому что sin

sin

, то по призна-

2(n 1)

ку Лейбница ряд ( 1)n 1 sin

сходится, а так как он не схо-

n 1

дится абсолютно, то является условно сходящимся.

б) Выяснить сходимость ряда ( 1)n 1 sin2

n 1

Ряд из модулей имеет вид sin2

. Применяя предельный

n 1

признак сравнения и находя порядок малости относительно

1 ,

получаем

lim

sin2

lim

sin

0,если 2;

lim

,если 2;

n 4n

,если 2.

Таким образом, порядок малости относительно

равен 2 и ряд

sin2

сходится,

следовательно,

исходный

ряд

n 1

( 1)n 1 sin2

сходится абсолютно.

n 1

в) Выяснить сходимость ряда ( 1)n 1

n 1

Предел модуля общего члена ряда равен

lim

n 1 1 n

lim 1

n 1 .

n n 1

n 1

Поэтому ряд расходится.

2n 3 n

г) Выяснить сходимость ряда ( 1)n 1

n 1

3n 1

2n 3

. Исследуя его с по-

Ряд из модулей имеет вид

3n 1

n 1

мощью радикального признака Коши, получаем

lim n

lim

2n 3 n

lim n

2n 3

lim

2n 3

3n 1

n 3n 1

Таким образом, ряд из модулей сходится, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Задачи для самостоятельного решения

в)

д)

ж)

и)

л)

н)

р)

2.1.12. Исследовать на сходимость ряд:

а) ( 1)n 1

; б)

( 1)n 1arctg

;

n 1

3 n

n 1

( 1)n 1

; г) ( 1)n 1

;

3n2 2

3n4 2n2 5

n 1

ein

n 1

( 1)n 1

; е)

( 1)n 1 ln

;

4 n

n 1

( 1)n 1

; з) ( 1)n 1arctg2

;

3 5n4

n 1

( 1)n 1 arcsin4

; к) ( 1)n 1 cos

;

3 n

n 1

( 1)n 1 arcsin

; м) ( 1)n 1arctg

;

3 n

n 1

( 1)n 1arctg3

; о) ( 1)n 1 sin

; п)

( 1)n 1 sin2

;

n 1

( 1)n 1 ln 1

; с) ( 1)n 1 ln

n 2

ln n

n 2

nln2 n

2.2. Функциональные ряды

Выражение un (z) называется функциональным рядом,

n 1

un (z) – общим членом функционального ряда. Будем обозначать через Sn (z) частичную сумму ряда, через S(z) сумму ряда.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20233.39 Mб17Практикум по объектно-ориентированному программированию..pdf
#
05.02.20231.39 Mб13Практикум по программированию на языке программирования Си..pdf
#
05.02.2023406.11 Кб2Практикум по социально-культурной деятельности..pdf
#
05.02.20231.98 Mб16Практикум по Теоретической механике..pdf
#
05.02.2023931.61 Кб16Практикум по теории вероятностей..pdf
#
05.02.20231.22 Mб7Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению..pdf
#
05.02.20231.44 Mб36Практикум по физико-химическим методам анализа..pdf
#
05.02.2023206.8 Кб0Практическая подготовка студентов.-1.pdf
#
05.02.2023623.34 Кб0Практическая подготовка студентов..pdf
#
05.02.2023290.92 Кб10Практический маркетинг..pdf
#
05.02.2023176.72 Кб1Преддипломная практика студентов..pdf