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Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению
..pdf![](/html/65386/276/html_Zb7eKdHye6.ae49/htmlconvd-TEpJeh111x1.jpg)
с периодом 2l функции S(x) , заданной на числовой прямой и в точках отрезка [ l,l] принимающей значения
S(x) f (x 0) f (x 0) . 2
Для чётных функций коэффициенты (3.8), (3.9) разложения функции в ряд Фурье приобретают вид
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2 l |
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n x |
|
|
2 |
0 |
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|
n x |
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|||
a |
|
l |
|
f (x) cos |
|
l |
dx |
l |
|
f (x) cos |
|
l |
dx , n |
||||
|
n |
|
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0 |
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|
l |
|
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bn 0 , |
n 1, 2,... |
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|||||
Аналогично для нечётных функций имеем |
|||||||||||||||||
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2 l |
|
|
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|
an 0 , |
n 0,1, 2,... ; |
||||||||
|
|
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|
n x |
|
|
2 |
0 |
|
|
n x |
|
||||
|
b |
|
l |
|
f (x)sin |
l |
dx |
|
l |
|
f (x)sin |
l |
|
dx , n |
|||
|
n |
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0 |
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|
l |
|
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0,1, 2,... ; (3.10)
(3.11)
(3.12)
1, 2,... (3.13)
Функции, заданные на половине периода, можно продолжить на другую половину периода любым образом. Продолжая чётным образом, получаем разложение по косинусам
f (x) a0 |
|
|
|
|
an cos n x |
, |
(3.14) |
||
2 |
n 1 |
l |
|
|
коэффициенты которого находятся по формулам (3.10), (3.11). Продолжая нечётным образом, получаем разложение по си-
нусам
|
|
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|
f (x) bn sin n x |
, |
(3.15) |
|
n 1 |
l |
|
|
коэффициенты которого находятся по формулам (3.12), (3.13). Разложение (3.7) можно также записать в виде
|
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n x |
|
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|
f (x) |
cnei |
l , |
(3.16) |
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|
n |
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при этом коэффициенты находят по формулам |
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||||||
|
2l |
|
n x |
|
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|
|
c |
1 |
l |
f (x)e i |
l dx , |
n 0, 1, 2,... |
(3.17) |
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
l
Разложение (3.16) называют рядом Фурье в комплексной форме.
111
![](/html/65386/276/html_Zb7eKdHye6.ae49/htmlconvd-TEpJeh112x1.jpg)
|
l |
c |
|
есть амплитудный спектр, arg |
l |
c |
|
||
Соответственно |
|
||||||||
|
|
|
n |
||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
– фазовый спектр, nl – частотный спектр.
Интересна функция Хэвисайда, или, что то же самое, еди-
|
0, если |
t |
0, |
. С помощью этой функ- |
||||
ничная функция h(t) |
1, если |
t |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
ции удобно записывается ступенька на отрезке |
[t1,t2 ] , |
зада- |
||||||
ваемая |
формулой |
1, |
если t [t1,t2 ] |
, |
так |
как |
||
f (t) |
|
если t [t1,t2 ] |
||||||
|
|
0, |
|
|
|
f(t) h(t t1) h(t t2 ) .
3.1.Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье.
Найти амплитудный, фазовый и частотный спектры.
Записывая функцию в аналитической форме, получаем
|
1, |
2 x 1, |
|
x, |
1 x 0, |
|
||
f (x) |
|
0 x 1, |
x 1, |
||
|
2, |
1 x 2. |
|
Найдем коэффициенты разложения данной функции в ряд
Фурье. Имеем |
a |
2 |
|
f x dx . Так как подынтегральная функ- |
1 |
2 |
|||
|
0 |
|
|
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2 |
|
112
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2 |
f x dx |
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||
ция положительна, |
|
то |
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|
есть площадь под |
кривой |
||||||||||||
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2 |
|
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|
f x , которая легко вычисляется и равна 5 . Поэтому |
a |
5 . |
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0 |
2 |
Далее, |
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1 2 |
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a |
n |
f x cos |
|
nx dx |
|
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||||||||
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2 |
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|
2 |
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|||
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|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
nx |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|||
2 |
|
cos |
2 |
dx |
2 |
|
x cos |
dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
x |
|
|
|
nx |
|
|
|
1 |
2 |
2cos |
nx |
|
|
|
||
2 |
|
1 cos |
dx |
2 |
|
|
dx . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
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1 |
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|
Вычислим каждый интеграл в данном выражении отдельно.
Для первого интеграла имеем |
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|
|
|||||||||||||||
1 |
|
nx |
|
|
|
|
2 |
|
|
nx |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
cos |
dx |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
sin n |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
2 |
n |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|||||||||||
|
Для вычисления второго интеграла |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
при- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x cos |
2 |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
Положим u x , |
||||||||||
меним формулу интегрирования по частям. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
du dx , dv |
|
|
2 |
|
|
|
|
nx |
|
|
||||||||||||||||||
dv cos |
|
dx |
. Тогда |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
. В резуль- |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
n |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
тате получаем |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
nx |
|
|
|
2x |
|
|
nx |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
nx |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
cos |
|
|
|
dx |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
dx |
|||||||||||||
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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113 |
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|
|
|
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|
|
![](/html/65386/276/html_Zb7eKdHye6.ae49/htmlconvd-TEpJeh114x1.jpg)
|
2 |
|
n |
|
4 |
cos 0 |
|
4 |
|
|
n |
|
|||
|
sin |
|
|
|
|
cos |
|
|
|||||||
n |
2 |
2n2 |
2n2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
4 |
|
4 |
|
n |
|||
|
sin |
|
|
|
|
cos |
|
. |
||||
n |
2 |
2n2 |
2n2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления третьего интеграла также применим фор-
мулу |
|
интегрирования |
|
|
|
по |
|
|
|
|
частям. |
|
|
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|
Положим |
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u x 1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du dx , |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
dv cos |
|
|
dx |
. Тогда |
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
. В результа- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
n |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
те имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
nx |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
nx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
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n |
2 |
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n |
2n2 |
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2 |
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n |
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cos 0 |
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n |
2 |
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2n2 |
2 |
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2n2 |
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n |
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4 |
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n |
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4 |
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. |
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n |
2 |
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2n2 |
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2 |
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2n2 |
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Для четвёртого слагаемого получаем |
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nx |
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4 |
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nx |
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2 |
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4 |
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2 n |
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1 |
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2 |
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n |
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2 |
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1 |
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n |
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2 |
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2 |
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4 |
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n |
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4 |
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n |
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sin n sin |
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sin |
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. |
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n |
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2 |
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n |
2 |
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Окончательно для коэффициентов an |
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имеем |
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n |
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2 |
sin |
n |
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4 |
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cos |
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n |
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n |
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n |
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2 |
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n |
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2n2 |
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2n2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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4 |
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n |
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4 |
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n |
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4 |
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4 |
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n |
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sin |
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cos |
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sin |
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n |
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2 |
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2n2 |
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2 |
2n2 |
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n |
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2 |
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24 2 cos n 1 .
n 2
114
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Вычислим теперь коэффициенты bn . Имеем |
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b |
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1 |
2 |
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f x sin |
nx dx |
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n |
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2 |
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2 |
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||||||||
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2 |
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||
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1 |
1 |
sin |
nx |
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1 |
0 |
|
x sin |
nx |
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|
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2 |
|
|
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2 |
|
dx |
2 |
|
|
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|
2 |
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dx |
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2 |
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1 |
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|
||||
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|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
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|
1 |
2 |
2sin |
|
|
nx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
x 1 sin |
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2 |
|
|
dx |
2 |
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|
|
|
2 |
|
dx . |
|
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|
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|||||||||||||||||
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0 |
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1 |
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Вычислим каждый интеграл отдельно. Для первого интеграла |
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1 |
|
nx |
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|
|
|
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|
|
2 |
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|
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|
nx |
|
1 |
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|
|
|
|
2 |
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|
|
|
|
|
n |
|
|
2 n |
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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sin |
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dx |
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|
cos |
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
n |
2 |
|
|
n |
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
2 |
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|
|
|
|
|
|
n |
cos n |
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
2 |
|
|
n |
|
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
Для вычисления второго интеграла |
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0 |
|
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|
|
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|
nx |
|
при- |
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x sin |
2 |
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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|
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|
||||
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u x , |
||||
меним формулу интегрирования по частям. Положим |
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nx |
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du dx , |
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2 |
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|
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|
nx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
dv sin |
|
|
|
dx . |
|
Тогда |
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
. И |
для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
n |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||
второго интеграла получаем |
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|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
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|
|
|
|
|
nx |
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|
|
|
|
2x |
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|
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|
nx |
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0 |
|
|
|
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|
2 |
|
|
0 |
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|
|
|
nx |
|
|
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n |
2 |
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n |
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2 |
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2n2 |
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2 |
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1 |
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2 |
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n |
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4 |
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sin 0 |
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4 |
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n |
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n |
2 |
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2n2 |
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2n2 |
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2 |
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2 |
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n |
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2 |
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2n2 |
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2 |
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115
Третий интеграл также вычисляем с применением формулы
интегрирования по частям. Положим u x 1 , dv sin nx dx .
2
Тогда du dx , |
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dv |
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2 |
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nx |
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cos |
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. И для третьего интеграла |
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n |
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2 |
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получаем |
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1 |
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nx |
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2 x 1 |
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nx |
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1 |
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2 1 |
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nx |
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x 1 sin |
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n |
2 |
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n |
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2 |
cos 0 |
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nx |
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2 |
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n |
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2n2 |
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2 |
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4 |
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n |
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2 |
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4 |
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n |
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4 |
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0 |
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cos |
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sin |
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n |
2 |
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n |
2n2 |
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2 |
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2n2 |
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2 |
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n |
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cos |
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sin |
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. |
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n |
n |
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2 |
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2n2 |
|
2 |
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Для четвёртого интеграла имеем |
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2 |
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nx |
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4 |
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|
nx |
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2 |
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2sin |
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2 |
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n |
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2 |
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1 |
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1 |
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2 n |
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n |
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cos |
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cos n cos |
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2 |
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n |
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cos |
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n |
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2 |
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Окончательно для коэффициентов bn |
имеем |
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b |
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1 |
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2 |
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1 n cos |
|
n |
|
|
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1 |
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2 |
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cos |
n |
|
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n |
|
|
2 |
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|
n |
|
|
|
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|
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|
2 |
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|
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2 n |
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|
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|
2 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
4 |
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|
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|
n |
|
1 |
|
|
|
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|
|
2 |
|
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|
|
1 |
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|
|
4 |
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|
|
n |
|
|
1 |
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|
|
|
|
4 |
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|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
sin |
|
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cos |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
2n2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
n |
2 |
n |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2n2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
n |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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116 |
|
|
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|
|
|
![](/html/65386/276/html_Zb7eKdHye6.ae49/htmlconvd-TEpJeh117x1.jpg)
Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n x |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
n |
sin |
n x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
4 |
|
|
2 |
n |
2 |
|
2 |
2 |
n |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||
Амплитудный спектр |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
An |
|
16 |
|
|
|
cos n |
|
1 2 |
|
|
|
1 |
|
1 1 n 2 |
, n 1, 2,... |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4 |
4 |
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
Фазовый спектр |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
cos |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2n2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1, 2,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Частотный спектр равен |
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье по косинусам.
Продолжая функцию, заданную на половине периода четным образом, получаем разложение по косинусам
f (x) a0 |
|
|
|
an cos n x |
. Так как функция задана на отрезке |
||
2 |
n 1 |
l |
|
[0,3] , то коэффициенты нужного нам разложения находятся по
формулам |
|
3 |
|
3 |
n 0,1, 2,... , b |
0 , |
n 1, 2,... |
a 2 |
3 |
f (x) cos n xdx , |
|||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
117 |
|
|
|
Переходя к аналитическому виду, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x, |
0 x 1, |
|
||||
|
|
|
|
|
f (x) |
1, |
1 x 2, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x, |
2 x 3. |
|
||||
Имеем |
|
3 |
f x dx . |
Так как подынтегральная функция |
|||||||||||
a 2 |
3 |
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x dx |
есть площадь под кривой f x , ко- |
||||||||
положительна, то f |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
торая легко вычисляется и равна 3 . Поэтому a0 2 . |
|||||||||||||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n |
|
3 |
|
f (x)cos |
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
x) cos n xdx |
|
2 |
|
|
|
3 |
x) cos n xdx . |
||||||
(2 |
2 |
cos n xdx 2 |
(3 |
||||||||||||
3 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
1 |
3 |
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим каждый интеграл отдельно. Для вычисления пер-
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вого интеграл (2 x)cos n xdx применим формулу интегриро- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вания по |
частям. |
Полагая |
u 2 x , |
|
|
dv cos n x dx , имеем |
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
sin n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
du dx , |
v |
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(2 x) cos n xdx |
(2 x) |
sin n x |
|
|
|
sin n xdx |
|||||||||||||||||
|
n |
n |
|||||||||||||||||||||
0 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
0 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(2 x) |
3 |
sin n x |
|
1 |
|
3 3 |
|
cos n x |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n |
n2 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118
|
3 |
|
n |
|
9 |
|
n |
|
9 |
|
|
|
|
sin |
|
0 |
|
cos |
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
3 |
n2 2 |
|||||||
|
|
n2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
n |
|
9 |
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
1 . |
|
|||
|
|
|
n |
3 |
|
n2 2 |
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для второго интеграла cos n xdx получаем |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n x |
|
|
|
3 |
|
|
n x |
|
2 |
|
3 |
|
2n |
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
cos |
|
dx |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
sin |
. |
|||
3 |
n |
|
3 |
|
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
3 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления третьего интеграла |
(3 x) cos n xdx , так |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
же как и для вычисления первого, применим формулу интегри-
рования по |
частям. Полагая |
u 3 x , |
|
|
|
dv cos n x dx , имеем |
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3 |
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sin n x dx . Тогда |
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3 |
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du dx , v |
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n |
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3 |
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3 |
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3 |
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3 |
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3 |
3 |
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(3 x) cos n xdx (3 x) |
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sin n x |
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sin n xdx |
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n |
|
n |
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2 |
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3 |
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3 |
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2 |
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2 |
3 |
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(3 x) |
3 |
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sin n x |
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3 |
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3 3 |
|
cos n x |
|
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
n2 2 |
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3 |
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|
2 |
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|
3 |
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|
2 |
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||||||||||||||||
0 |
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|
3 |
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|
sin |
|
2n |
|
|
9 |
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|
cos n |
9 |
|
|
cos |
2n |
|
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|
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|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
3 |
|
|
n2 2 |
n2 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2n |
|
|
9 |
|
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( 1)n |
|
cos |
2n |
|
||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
sin |
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
. |
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|||||||||||||||||||
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|
n |
|
3 |
|
n2 2 |
|
|
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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Окончательно для коэффициентов an |
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имеем |
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a |
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2 |
3 |
sin n |
2 |
|
9 |
cos n 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
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|
3 n |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
n2 2 |
|
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|
|
3 |
|
|
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|||||||||||||||
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||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
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|
3 |
sin |
2n sin n |
|
2 |
3 |
sin |
2n |
|
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
n |
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
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|
3 |
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||||||||||||||||||
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119 |
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|
![](/html/65386/276/html_Zb7eKdHye6.ae49/htmlconvd-TEpJeh120x1.jpg)
|
2 |
|
9 |
|
( 1)n cos |
2n |
|
||
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|||||
3 |
n2 2 |
3 |
|||||||
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6 |
1 cos n ( 1)n cos |
2n |
. |
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n2 2 |
3 |
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|
3 |
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||||
Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид |
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6 |
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1 |
cos n ( 1)n cos 2n |
cos n x . |
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f (x) 1 |
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n 1 n2 2 |
3 |
3 |
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3 |
3.3. Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье по синусам.
Продолжая функцию нечётным образом, получаем разложе-
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ние по |
синусам f (x) bn sin n x , коэффициенты которого |
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n 1 |
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l |
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находятся по формулам |
2 l |
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||
a |
0 , |
n 0,1, 2,... , b |
f |
(x)sin n xdx , |
n 1, 2,... |
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n |
|
n |
l |
|
l |
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||
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0 |
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Переходя к аналитическому виду, получаем |
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2 x, |
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0 x 1, |
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f (x) |
1, |
|
1 x 2, |
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|
3 x, |
|
2 x 3. |
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120