Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2.4.11. Пусть f (z)

. Найти f (4) (5) .

2.4.12. Найти f (7) (0) ,

и f (9) (0) для функции

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Для разложения сомножителя

по отрицательным сте-

пеням z получаем

z 3

n 0

n 0 z n 1

Это разложение справедливо при

3 . Поэтому разложение

исходной функции по степеням z в области

3 имеет вид

z(z 3)

n 0 z n 2

б) Функцию

разложить по степеням z 3 .

z(z 3)

Задача решается аналогично предыдущей, только по степеням z 3 раскладываем множитель 1z , а множитель z 1 3 не

беспокоим. Разложение 1z по степеням z 3 выполнено в задаче 2.4.6. Объединить результаты предоставляется читателю.

в) Функцию	1		разложить по степеням z 2 .
	z(z 3)

Раскладывая рациональную дробь							1		на сумму двух
						z(z 3)
		1		1	1		1
простейших, получаем								.
			z(z 3)	3			z
					z 3

Первое слагаемое раскладывается по степеням z 2 сле-

дующим образом. Так как		1		1	, то разложение по
		z 3		(z 2) 1

положительным степеням z 2			имеет вид
1
		(z 2)n			(1)
	z 3
		n 0

справедливо

при

z 2

Разложение

по

отрицательным

степеням z 2 имеет вид

(2)

(z 2)n

z 3

2 n 0

n 0 (z 2)n 1

и справедливо при

z 2

1 .

можем

записать

Аналогично

для

слагаемого

. Поэтому разложение

по положи-

z 2 2

2 (z

тельным степеням z 2

имеет вид

1 1 ( 1)n (z

( 1)n (z

(3)

2 n 0

n 0

2n 1

и справедливо в области

z 2

2 , а разложение по отрицатель-

ным степеням z 2

имеет вид

( 1)

(4)

(z 2)n

(z 2)n 1

2 n 0

n 0

и справедливо в области

z 2

2 . Объединяя выражения (1) и

(3), получаем разложение

(z 2)n

( 1)n (z 2)

z(z 3)

n 0

2n 1

справедливое в области

z 2

1. Объединяя выражения (2) и

(3), получаем разложение

( 1)n (z 2)

(z 2)n 1

z(z 3)

n 0

2n 1

справедливое в области 1

z 2

2 . Объединяя выражения (2)

и (4), получаем разложение

( 1)

z(z 3)

n 0 (z 2)n 1

n 0

(z 2)n 1

справедливое в области z 2 2 . Выражения (1) и (4) объеди-

нить нельзя, так как области сходимости соответствующих рядов не имеют общих точек.

2.4.8. а) Функцию ez 3

разложить по степеням z 3 .

Имеем ez 3

n 0

б) Функцию ez 3

разложить по степеням z .

Имеем ez 3 e 3ez

e 3

n 0

2.4.9. Функцию (1 z3 )sin 1

разложить по степеням z .

Разложение sin 1

по степеням z

имеет вид

sin

( 1)n

(2n 1)!z2n 1

n 0

Поэтому можем записать

(1 z3 )sin

(1 z3 ) ( 1)n

(2n 1)!z2n 1

n 0

( 1)n

z3 ( 1)n

(2n

1)!z

2n 1

(2n 1)!z

2n 1

n 0

( 1)n

(2n 1)!z

2n 1

(2n 1)!z

2n 1

n 0

( 1)n

(2n 1)!z2n 1

(2n 1)!z2n 2

n 0

n 2

Данное разложение справедливо в области z 0 , то есть пред-

ставляет разложение исходной функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки. Можно попытаться записать ответ в виде одной суммы, но мы этого делать не будем.

Задачи для самостоятельного решения

2.4.10. Разложить в ряд cos z2 в окрестности точки z 0 .

f(z) 1 1z3 .

2.4.13.Разложить по положительным и отрицательным сте-

пеням z 3 функции

z 5

z 5 2

2.4.14. Разложить по степеням z 2 функцию z2

7z 9 .

2.4.15.

Разложить

по

степеням

z 3

функцию

z5 6z4 8z3 3z2 9z 7 .

z 1

2.4.16.

Разложить

по

степеням

функцию

z5 2z4 3z3 3z2 5z 17 .

2.4.17. а) Функцию

разложить по степеням z 3 .

б) Функцию

разложить по положительным и отрица-

z 3

тельным степеням z 3 .

2.4.18.

1) Функцию

разложить в областях: а)

3 ,

z 3

б)

3 , в)

z 1

2 .

2) Функцию

разложить в областях: а)

3 ,

z 3 2

б)

3 , в)

z 1

2 .

разложить: а) по степеням z ;

2.4.19. Функцию

z 1 2 (z 2)

б) по степеням z 1 .

2.4.20. Функцию

разложить по степеням:

(z 3)(z 2)2

а) z , б) z 2 , в) z 2 .

2.4.21. Функцию

разложить в областях: а)

z 3

4 ,

z 1

z 3

z 1

б)

4 , в)

2 .

2.4.22. Функцию

разложить в областях: а)

z 3

4 ,

1 3

z 3

z 1

б)

4 , в)

2 .

2.4.23. Функцию

(z i)cos

разложить

по

степеням

(z i)2

z i .

разложить:

2.4.24. Функцию sin z

а) по степеням z

, б) по степеням z .

разложить:

2.4.25. Функцию cos z

а) по степеням z

, б) по степеням z .

2.4.26. Функцию e

разложить в ряд по степеням z .

2.4.27. Функцию

(z 1)sin

разложить

по

степеням

z i .

2.4.28. Функцию (1 z)cos 1z разложить в ряд Лорана в окре-

стности бесконечно удалённой точки (по степеням z ). 2.4.29. Функцию e2z разложить в ряд по степеням z .

2.5. Нули аналитических функций. Особые точки

Точка z0 называется нулем функции f (z) , если функция в этой точке обращается в нуль, то есть f (z0 ) 0 .

Точка z0 называется нулём кратности k функции f (z) , если в этой точке обращаются в нуль сама функция и её первые k 1

производные, а производная порядка k нулю не равна,			то есть
f (z0 ) f (z0 ) ... f (k 1) (z0 ) 0, f (k ) (z0 ) 0 .
Теорема 2.5.1. Точка		z0 является нулём кратности k	функ-
ции f (z)	тогда и только тогда, когда её разложение в ряд Тей-
лора по степеням z z0
		имеет вид f (z) an (z z0 )n .
		n k
Теорема 2.5.2. Точка		z0 является нулём кратности k	функ-
ции f (z)	тогда и только тогда, когда её можно записать в виде
f (z) (z z0 )k (z) , где		(z) – аналитическая в окрестности
точки z0	функция, такая, что (z0 ) 0 .
Точка	z0 называется особой точкой функции f (z) ,		если в
этой точке нарушается аналитичность функции f (z) .
Точка z0 называется изолированной особой точкой функции

f (z) , если существует окрестность этой точки, внутри которой нет других особых точек функции f (z) .

Точка z0 называется регулярной или правильной точкой функции f (z) , если она не является особой точкой.

Классификация изолированных особых точек основана на

поведении предела lim f (z) .

z z0

Если lim f (z) существует и конечен, то точка z0 называется

z z0

устранимой особой точкой.

Если lim f (z) существует и равен бесконечности, то точка

z z0

z0 называется полюсом.

Если lim f (z) не существует, то точка z0 называется суще-
z z0
ственно особой точкой.
Теорема 2.5.3. Точка z0	является полюсом функции f (z)
тогда и только тогда, когда z0		является нулём функции
1			, если z z0 ,


g(z) f (z)
		если z z0 .
0,

Эта теорема позволяет уточнить понятие полюса аналитической функции.

Точка z0 называется полюсом порядка k функции f (z) , если эта точка есть нуль кратности k функции

	1	, если z z0	,


g(z) f (z)
	0, если z z0 .

Полюс порядка 1 обычно называют простым полюсом.
Теорема 2.5.4. Точка z0	является полюсом порядка k функ-

ции f (z) тогда и только тогда, когда её можно записать в виде

f (z)	(z)	, где (z) – аналитическая в окрестности точки
	(z z0 )k

z0 функция, такая, что (z0 ) 0 .

Интересна связь между типом изолированной особой точки и видом разложения функции в ряд Лорана в проколотой окрест-

ности точки z0 (в кольце 0		z z0		R ).

Теорема 2.5.5. Точка z0		является устранимой особой точкой
функции	f (z) тогда и только тогда, когда её разложение в ряд
Лорана по степеням z z0		не содержит главной части, то есть

имеет вид	f (z) cn (z z0 )n .
	n 0
Теорема 2.5.6. Точка z0		является полюсом порядка k функ-
ции f (z)	тогда и только тогда, когда её разложение в ряд Лора-

на по степеням z z0 содержит в главной части k слагаемых, то есть имеет вид

				1
f (z) cn (z z0 )n			cn (z z0 )n cn (z z0 )n
	n k		n k			n 0
	c k	c k 1			c 1
	c k	c k 1		...	c 1	cn (z z0 )n .
	(z z0 )k	(z z0 )k 1		...	(z z0 )	cn (z z0 )n .
	(z z0 )k	(z z0 )k 1			(z z0 )	n 0

Теорема 2.5.7. Точка z0 является существенно особой точкой функции f (z) тогда и только тогда, когда главная часть её разложения в ряд Лорана по степеням z z0 содержит беско-

нечное число членов.

В бесконечно удалённой точке та же классификация особых точек. Связь с разложением в ряд Лорана та же с учётом специфики бесконечно удалённой точки. Приведём её.

Теорема 2.5.8. Бесконечно удалённая точка является устранимой особой точкой функции f (z) тогда и только тогда, когда

её разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки не содержит главной части, то есть имеет вид

	0	с 2	с 1
f (z)	cn zn ...	с 2	с 1	c0 .
	n	z2	z

Теорема 2.5.9. Бесконечно удалённая точка является полюсом порядка k функции f (z) тогда и только тогда, когда её

разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки содержит в главной части k слагаемых, то есть имеет вид

	k	0	k
f (z) cn zn		cn zn cn zn
	n	n	n 1
	0		... ck zk .
	cn zn c1z c2 z2		... ck zk .

Теорема 2.5.10. Бесконечно удаленная точка является существенно особой точкой функции f (z) тогда и только тогда, ко-

гда главная часть ее разложения в ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки содержит бесконечное число членов.

2.5.1. а) Найти нули аналитической функции f (z) z2 5z 4

и указать их кратность.

Решая квадратное уравнение z2 5z 4 0 , получаем

	z		5 25 16	5 3 ,
	1,2		2	2
			2	2
или z1 4 ,	z2 1. Поэтому можем записать
		z2 5z 4 (z 4)(z 1) .

Таким образом, кратность каждого корня равна 1. б) Найти нули аналитической функции

f(z) z3 9z2 27z 27

иуказать их кратность.

Вспоминая

школу,

получаем

z3 9z2

27z 27 (z 3)3 .

Поэтому точка z 3 есть нуль кратности 3.

f (z) sin2 z и ука-

в) Найти нули аналитической функции

зать их кратность.

Решая уравнение sin2 z 0 ,

получаем sin z 0 , решениями

которого являются точки z k ,

k 0, 1, 2,... Так как

(sin2 z) 2sin z cos z sin 2z ,

(sin2 z) (sin 2z) 2cos 2z ,

(sin

z k sin 2k 0

, (sin

z k

2cos 2k 2 , то точки

f (z) sin2 z

z k ,

k 0, 1, 2,... ,

для функции

есть нули

кратности 2.

f (z) z3 z2 4 2 и

г) Найти нули аналитической функции

указать их кратность.

Точка

z 0

есть нуль кратности 3, точки z 2i

есть нули

кратности 2.

д) Найти нули аналитической функции f (z) 1 cos z и ука-

зать их кратность.

Решая уравнение 1 cos z 0 , получаем cos z 1, следова-

тельно,	z 2k ,	k 0, 1, 2,...			Вычисляя производную, имеем
	(1 cos z)	sin z ,	f			cos z .
f (z)				(z) (sin z)

		0 ,			1 .

Поэтому f (2k ) sin z	z 2k		f (2k ) cos z	z 2k

Таким образом, точки z 2k , k 0, 1, 2,... , являются нулями кратности 2 для функции f (z) 1 cos z .

1
2.5.2. а) Найти особые точки функции f (z)		и
	z2 5z 4

указать их характер.

Числитель и знаменатель заданной функции есть функции голоморфные (аналитические), поэтому нарушение аналитичности может быть только в точках обращения в нуль знаменателя.

Имеем z2 5z 4 (z 4)(z 1) . Таким образом,

1		1
f (z)			.
	z2 5z 4	(z 4)(z 5)

По теореме о виде функции в полюсе заключаем, что точки z 4 и z 1 есть простые полюсы функции f (z) .

б) Найти особые точки функции f (z) sin12 z и указать их

характер.

Так как числитель и знаменатель голоморфные (аналитические) функции на всей комплексной плоскости, то особыми точками могут быть только нули знаменателя. Таковыми являются точки z k , k 0, 1, 2,... , которые для знаменателя есть нули

кратности 2. Поэтому для функции sin2 z f 1(z) данные точки

являются нулями кратности 2 и по определению полюсов точки z k , k 0, 1, 2,... , есть полюсы порядка два для функции

f (z) sin12 z .

в) Найти особые точки функции f (z) sinz2 z и указать их

характер.

Аналогично предыдущему примеру особыми точками являются нули знаменателя z k , k 0, 1, 2,... В отличие от пре-

дыдущего примера, одна из них, а именно точка z 0 , является

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20233.39 Mб17Практикум по объектно-ориентированному программированию..pdf
#
05.02.20231.39 Mб14Практикум по программированию на языке программирования Си..pdf
#
05.02.2023406.11 Кб2Практикум по социально-культурной деятельности..pdf
#
05.02.20231.98 Mб17Практикум по Теоретической механике..pdf
#
05.02.2023931.61 Кб17Практикум по теории вероятностей..pdf
#
05.02.20231.22 Mб7Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению..pdf
#
05.02.20231.44 Mб36Практикум по физико-химическим методам анализа..pdf
#
05.02.2023206.8 Кб0Практическая подготовка студентов.-1.pdf
#
05.02.2023623.34 Кб0Практическая подготовка студентов..pdf
#
05.02.2023290.92 Кб10Практический маркетинг..pdf
#
05.02.2023176.72 Кб1Преддипломная практика студентов..pdf