Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

к) x

1

31

i ; л) x

2 2i ; м) z 2 i , z

2

3 i ;

1, 2

2

2

1, 2

1

arctg

11

arctg

11

8

8

1 i

740

cos

isin

2

2

н) z

,

1

4

3 arctg

11

11

1 i

8

i sin

3 arctg

8

740 cos

2

2

z2

.

4

1.2.6. а) окружность с центром в точке z0 2 3i

и с радиу-

сом, равным 5;

б) внутренность круга с центром в точке z0 2 3i

и с ра-

диусом, равным 5;

z0 2 3i

и с радиу-

в) внешность круга с центром в точке

сом, равным 5.

или z 1 4i 5eit , t 0,2 .

1.2.7.

z 1 4i

5

1.2.8.

а)

z i

z

2i

4 –

эллипс

с

фокусами в

точках

б)

z i

z 2i

3

– отрезок, соединяющий точки z1 2i и

z2 i ;

z i

z 2i

3 – пустое множество;

z i

z 2i

3

–

внешность отрезка, соединяющего точки

z i

z 2i

1

– пустое множество;

z i

z 2i

1

– вся комплексная плоскость.

1.2.9. а)

z i

z 2i

2 – ветвь гиперболы с фокусами в

точках z01 2i

и z02 i , лежащая выше оси OX ;

z i

z 2i

2 – множество точек комплексной плоскости,

1.3.8. а) образом линии x c при отображении

w 1

явля-

1

z

ется: при c 0 – окружность с центром в точке w

радиу-

0

2c

1

сом

, при c 0 – мнимая ось;

2c

1

образом линии y c при отображении

w

является: при

1

z

1

c 0 – окружность с центром в точке w

i

радиусом

,

0

2c

2c

при c 0 – действительная ось;

1

образом линии y x при отображении

w

является пря-

z

мая v u – биссектриса второго и четвертого квадрантов;

б) прообразом линии u c при отображении w

1

является:

z

при c 0 – окружность с центром в точке

1

,0

радиусом

2c

1

, при c 0 – ось OY ;

2c

1

прообразом линии v c при отображении

w

является:

z

при c 0 – окружность с центром в точке

1

радиусом

0,

2c

1

, при c 0 – ось OX ;

2c

1

прообразом линии v u при отображении

w

является

z

в) образом линии

z

c

при отображении w

1

является

z

окружность с центром в точке

w 0 радиусом 1 , пробегаемая

0

c

по часовой стрелке;

w 1

образом линии arg z c при отображении

является

z

луч, исходящий из начала координат под углом c ;

г) прообразом линии

w

c при отображении w

1

являет-

z

1 , про-

ся окружность с центром в начале координат радиусом

бегаемая по часовой стрелке;

c

w 1

прообразом линии arg z c

при отображении

является

z

б) w 5e

3 arctg

1

2 k

2

1

3

1

3

cos arctg

ln 5

i sin arctg

ln 5

, k Z ;

2

2

2

2

cos ln

2 isin ln

2 , k Z ;

в) w e

4 2 k

2

k cos ln 2 isin ln 2 , k Z ;

г) w e3

д)

w 5e

arctg

4

2

k

3

4

ln 5

4

ln 5

cos

arctg

3

i sin arctg

3

, k Z ;

е) w e

2 k

, k Z ;

2

2 k

, k Z );

ж) w e4

з)

w

5e

arctg

4 2 k

3

4

4

Z ;

cos

arctg

3

ln 5

i sin arctg

3

ln 5 , k

и) z cos3sh 2 i sin 3ch 2 .

1.3.11. а) Re z 1 ln 3 , Im z 2 k ,

z

1 ln 3 2

4 2k2 ,

arg z arctg

2 k

;

1

ln 3

2 k cos ln 2 , Im z e

б) Re z e 6

6 2 k sin ln 2 ,

z

e

2 k

,

arg z ln 2 ;

6

в) Re z cos3sh 2 , Im z sin 3ch 2 ,

z

cos2 3sh2 2 sin2 3ch2 2 ,

arg z arctg tg 3cth 2 ;

arctg

4

2 k

arctg

4

2 k

г) Re z

3

, Im z 0 ,

z

3

,

2

2

arg z

0,

если Re z 0

.

если Re z 0

,

1.3.12. а)

z1 2 k i ln 5

24 ,

2

z2

2 k i ln 5 24 ;

2

б) z1 2 k i ln 3 8 , z2 2 k i ln 3 8 ;

1 2

2 sin

z

8

2 k

в)

arctg

1

2 2

2 cos

8

i

ln 13

4 2 2cos

sin

,

2

8

8

1 2

2 sin

z2 arctg

8

2 k

i

4 2

sin

ln 13

2cos

;

2 2

2 cos

2

8

8

8

г)

z

2 k

1 3

, z

2 k

1 3

i ln

2

i ln

;

1

4

2

4

2

д) z1 2 k i ln 2 5 , z2 2 k i ln 2 5 ;

е)

z

k ,

z

2

k .

1

4

4

1.4.11.

w z0

6 ,

w z1

75 ,

arg w z0

,

2

L

1.5.7. zdz

9 i .

L

2

1.5.8. 2zzdz 256 .

L

1.5.9. z Re z dz

13

8i .

L

2

L

f z

1.6.4. а) f 5

1

dz , где C – любой замкнутый

2 i

C

z 5

б)

f 2i

2!

f z

dz , где C – любой замкнутый кон-

2 i

z 2i

3

C

и содержащий

точку z0 2i

внутри;

в) f 5 2

3i

5!

f z

dz , где C – любой замк-

2 i

z 2 3i

6

C

функции f (z)

и содержащий точку z0 2 3i внутри.

2 3i

1

f z

C – любой замк-

1.6.5. а) f

dz , где

2 i

z 2 3i

C

б)

f 1 2i

3!

f z

dz , где C – любой замкну-

2 i

z 1 2i

4

C

в)

f 4 2 i

4!

f z

dz , где C – любой замкну-

2 i

z 2 i

5

C

1.6.6. а)

C

z2 1

dz

3

4 3i

;

z2 4

z 3i 3 z 1 2

50

б)

C

z2 1

dz

3

4 3i

;

z2

4 z 3i 3 z 1 2

6250

в) C

z2 1

dz

3 3 4i

;

z2

4 z 3i 3 z 1 2

625

г)

z2 1

dz 0 ;

2

3

2

C z

4 z 3i z 1

д) C

z2 1

dz

3 2 i

;

z2