Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

z3 2 не содержит. Поэтому по интегральной теореме Коши для многосвязной области

sin

2 z

dz I1 I2 .

z 1

z 2i z 1 z 2

2,5

e4 z

1.6.3. Вычислить интеграл

dz .

z 3i 3

z 3i

Подынтегральная функция

e4 z

имеет особенность (зна-

z 3i 3

менатель обращается в нуль)

в точке

z1 3i . Других особенно-

стей у подынтегральной функции нет. Контур

z 3i

1 содер-

жит внутри себя эту точку. Применяя интегральную формулу

Коши, в которой

f (t) e4 z ,

и t заменено на

t z n 1

1 3

z , получаем

4 z

2 i

e4 z

16 ie12i .

z 3i

Задачи для самостоятельного решения

1.6.4. Записать интегральную формулу Коши, позволяющую найти:

а) значение функции f (z) в точке z0 5 ;

б) вторую производную функции f (z) в точке z0 2i ; в) пятую производную функции f (z) в точке z0 2 3i .

1.6.5. Записать интегральную формулу Коши, позволяющую найти:

а) значение функции f (z) в точке z0 2 3i ;

б) третью производную функции f (z) в точке z0 1 2i ; в) четвертую производную функции f (z) в точке z0 2 i .

1.6.6. Вычислить интеграл

z2 1

dz , если

C z

4 z 3i z 1

есть контур: а)

z 2i

3 ; б)

z 2i

0,5 ; в)

z 1

0,5 ;

z 3i

г)

0,5 ; д)

1,5 ; е)

; ж)

0,5 .

1.6.7. Вычислить интеграл

dz ,

если

z 3i

z 2 z 3

есть контур: а)

z 3i

1; б)

z 2

1 ; в)

z 3

2 ; г)

4 ;

д)

cos z

dz , если

1.6.8. Вычислить интеграл

z i 2 z2 9

z 2i 4

C есть контур: а)

z i

0,5 ; б)

z 3i

1; в)

z 3i

3 ;

z 2i

г)

2 ; д)

4 ; е)

0,5 .

1.6.9. Вычислить интеграл

z2 2z 10

dz , если

C есть кон-

тур: а)

z 3

1,5 ; б)

z 1

1,5 ; в)

z i

2 ; г)

z i

2 ;

д)

1; е)

z 1

0,5 .

dz , если C

есть кон-

1.6.10. Вычислить интеграл

81)

тур: а)

z 3

1 ; б)

z 3

1; в)

z 2i

2 ; г)

z 4i

2 ;

д) z 1 5 ; е) z 1 1 .

2. Представление функций рядами

2.1. Числовые ряды

Выражение an называется рядом, an – общим членом

n 1

ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует и конечен пре-

дел lim Sn частичных сумм	n
	Sn ak a1 a2 ... an ряда,
n	k 1

если же этот предел не существует или равен , то ряд называется расходящимся.

	Отметим,	что	для	рядов		с комплексными членами ряд

an Re an i Im an					сходится тогда и только тогда, когда
n 1	n 1

сходятся ряды Re an				и	Im an соответственно из действи-
		n 1			n 1
тельных и		мнимых частей				общего члена ряда. При этом

an Re an i Im an .
n 1	n 1		n 1

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из

модулей, то есть ряд an .

n 1

Отметим, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Обратное не верно. То есть имеются ряды, сходящиеся и не сходящиеся абсолютно.

Ряд, сходящийся и не сходящийся абсолютно, называют условно сходящимся.

Отметим также, что для знакоположительных рядов с действительными членами понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Для рядов с комплексными членами


an Re an i Im an
n 1	n 1

абсолютная сходимость ряда an эквивалентна одновремен-

n 1

ной абсолютной сходимости рядов Re an	и Im an соответ-
n 1	n 1

ственно из действительных и мнимых частей общего члена ряда.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то предел общего члена ряда существует и равен нулю, то есть

lim an 0 .

Необходимый признак хорош для доказательства расходимости ряда, так как эквивалентным необходимому признаку является следующее утверждение.

Необходимый признак сходимости ряда в альтернатив-

ной форме. Если предел общего члена ряда не существует или

не равен нулю, то есть lim an 0 , то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости могут быть сформулированы как в терминах абсолютной сходимости, так и в терминах сходимости знакоположительных рядов с действительными членами.

														2
2.1.1. а) Выяснить сходимость ряда														2		.
2.1.1. а) Выяснить сходимость ряда														2		.
											n 2 n			1
Так как a	2					1			1	, то
Так как a										, то
n		n2 1				n 1		n 1
n		n2 1				n 1		n 1
n	2					1 1			1	1	1				1		1
Sn	2		1						1		1	...			1		1
Sn			1						4		5	...			n 1		n 1
k 2 n2 1						3 2			4	3	5				n 1		n 1
		1 1			1		1			3	1			1		.
		1 1			1		n 1			3	n		n 1			.
				2		n	n 1			2	n		n 1

	Находя предел частичных сумм, получаем																	lim Sn			3	. Сле-
																3 .		n			2
довательно, ряд сходится и его сумма равна																3 .
																2
												1
	б) Выяснить сходимость ряда											1		.
	б) Выяснить сходимость ряда											n		.
										n 1 3		2
	Это сумма членов геометрической прогрессии с первым чле-
ном		1	и знаменателем 1					. Частичная сумма ряда равна
		6					2
			n	1		a	a qn		1	1	1	n					1		1	1		1 n
S	n					1	1						:		1								.
S					k	1	1						:		1								.
				3 2	k		1 q		6	6							2		3 3
			k 1	3 2			1 q		6	6	2						2		3 3			2

Переходя к пределу, получаем lim Sn 1 . Следовательно,

n 3

ряд сходится и его сумма равна	1 .
	3	n
		n
в) Выяснить сходимость ряда		3	.
в) Выяснить сходимость ряда		n 1	.
	n 1	2

Это сумма членов геометрической прогрессии с первым членом 34 и знаменателем 32 . Частичная сумма ряда равна

		n	3k		a	a qn	3	3	3	n					3	3	3	3 n
S					1	1						:		1					.
S	n			k 1	1	1						:		1					.
	n			k 1	1 q		4	4							2	2	2
		k 1	2		1 q		4	4	2						2	2	2	2
Переходя к пределу, получаем											lim		Sn . Следовательно,
										n

ряд расходится. Это можно было выяснить, заметив, что не выполнен необходимый признак сходимости, так как

lim a		lim	3n	lim 1	3	n	.

n	n	n 2n 1		n 2	2

г) Выяснить сходимость ряда 2n i3n 1 . 4n 1

n 1

	2n i3n 1		2n		3n 1		1		3 n 1
				i				i		.
	4n 1		4n 1		4n 1		2n 2		4
n 1		n 1		n 1		n 1		n 1

Первое слагаемое есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом 18 и знаменателем 12 . Так как знаменатель прогрессии меньше 1, то первое слагаемое есть сходящийся ряд и его сумма равна 14 . И второе слагаемое есть сумма

членов геометрической прогрессии с первым членом 169 и зна-

менателем 34 . Так как знаменатель прогрессии меньше 1, то и второе слагаемое также есть сходящийся ряд и его сумма равна

						n			n 1
9	. Подводя итог,		заключаем, что ряд 2				i3				сходится и
4				n 1			4n 1
		1		9 i . Более того, ряд			2	n	i3	n 1
его сумма равна		1		9 i . Более того, ряд			2		i3		сходится
		4		4	n 1				4n 1

абсолютно, так как ряды из действительных и мнимых частей сходящиеся знакоположительные и поэтому абсолютно сходящиеся (смотри замечание в начале пункта).

						1 i n
д) Выяснить сходимость ряда							2	. Ряд, составленный
					n 1		2
				1 i	n			2 n			1 n
				1 i	n			2 n			1 n
из модулей, имеет вид												.	Это
из модулей, имеет вид												.	Это
			n 1	2		n 1		2		n 1	2		1
			n 1	2		n 1		2		n 1	2
сумма членов геометрической прогрессии с первым членом
сумма членов геометрической прогрессии с первым членом													2
													2
и знаменателем	1	. Так как знаменатель прогрессии меньше 1,
и знаменателем	2	. Так как знаменатель прогрессии меньше 1,
	2
						1			1		1
то ряд сходится и его сумма равна							: 1					. И так
то ряд сходится и его сумма равна						2	: 1		2		2 1	. И так
						2			2		2 1

как ряд, составленный из модулей, сходится, то исходный ряд сходится абсолютно.

е) Выяснить сходимость ряда

n 1

Так как lim

1 0 ,

то в силу невыполнения необхо-

n 1

димого признака сходимости ряд расходится.

3 i

ж) Выяснить сходимость ряда

n 1

3 i

1 , то

3 i

Так

как

1 . Поэтому

lim

1 0

и ряд абсолютно расходится. Далее, из того, что

lim

1 0 , следует, что и

lim a

не может быть равным ну-

лю,

так как an

при любом n лежит на единичной окружности и

не может стремиться к нулю. Более того, нетрудно показать, что

lim a

не существует. Действительно, arg

3 i

. Поэтому

значение аргумента чисел an

будет повторяться через каждые

12 шагов, то есть

arg a

n(mod12) . В силу нарушения необ-

ходимого признака сходимости ряд расходится.

Задачи для самостоятельного решения

2.1.2. Выяснить сходимость рядов:

n 1

а)

; б)

в)

; г)

;

n 1

n 1 4n

n 1 n

n 1 4

n 1 3

3n i4n 1

1 3i n

д)

n 1

; е)

; ж)

;

n 1 9n 3n 2

n 1

	n	2	1		2n 1
з)				; и)		; к)
	n2 5				3n 20
n 1				n 1

Непредельная (конечная)

Пусть имеются два ряда:

	4 3i n		4 3i n
	5	; л)	6	.
n 1	5	n 1	6

форма признака сравнения.


an (1);	bn (2).
n 1	n 1

Если начиная с некоторого номера выполняются неравенства an bn , то из абсолютной сходимости ряда (2) следует абсо-

лютная сходимость ряда (1) и из абсолютной расходимости ряда

(1) следует абсолютная расходимость ряда (2).

Предельная форма признака сравнения. Пусть имеются два ряда:


an (1);	bn (2).
n 1	n 1

Если lim an K , K 0 , K , то либо оба ряда абсолют-

n bn

но сходятся, либо оба ряда абсолютно расходятся.

Отметим, что, так же как и в несобственных интегралах 1-го рода, удобно в качестве эталонного ряда применять обобщён-

ный гармонический ряд

, который при 1 расходится,

n 1 n

а при 1 сходится.

2.1.3. а) Выяснить сходимость ряда

n 1 n 2

При любом

n 1 выполняется неравенство

. Так

n 2n

как ряд

сходится, то сходится и исходный ряд.

n 1

б) Выяснить сходимость ряда sin

n 1

Данный ряд можно исследовать как с помощью предельного признака сравнения, так и с помощью непредельного. По пер-

вому замечательному пределу lim sin n : n 1, а так как ряд

n 2 2


		сходится, то и исходный ряд сходится.
	n	сходится, то и исходный ряд сходится.
n 1	2
			n 1
			n 1
	в) Выяснить сходимость ряда ln			.
		n 1		n
	Данный ряд можно исследовать		с	помощью предельного

признака сравнения. По следствию из второго замечательного

предела

ряд 1

n 1 n

n 1

1 , и так как

lim ln

lim ln 1

расходится, то и исходный ряд расходится.

										1
г) Выяснить сходимость ряда										1	.
г) Выяснить сходимость ряда										3 8n4 3n2	.
								n 1		3 8n4 3n2
Находим порядок малости общего члена													1				ряда
Находим порядок малости общего члена												3 8n4 3n2					ряда
относительно			1	. Имеем
			n											4
											0,если			4		;
											0,если			3		;
										n				3
			1			1					1				4
			1			1					1				4
lim					:		lim						,если				;
lim	3				:		lim	3					,если				;
	3	8n4	3n2 n				n	3	8n4 3n2		2				3
n		8n4	3n2 n				n		8n4 3n2		2				3
											,если				4		.
											,если				3		.
															3

Таким образом, порядок малости						1		относительно		1
					3 n4 3n2					n

	4			1				1
равен		, поэтому ряды				и			в смысле схо-
	3			3 8n4 3n2			3 n4
			n 1			n 1

димости ведут себя одинаково, а так как ряд

сходится,

3 n4

n 1

то сходится и ряд

n 1

3 8n4 3n2

д) Выяснить сходимость ряда

3n4 2n

n 1

Находим порядок малости общего члена

ряда от-

5 3n4 2n

носительно 1 . Имеем

0,если

;

lim

,если

;

3n4

2n n

3n4 2n

,если

4 .

Таким образом, порядок малости

относительно 1

5 3n4 2n

равен 4

, поэтому ряды

в смысле схо-

5 3n4 2n

5 n4

n 1

димости ведут себя одинаково, и так как ряд

расходит-

5 n4

n 1

ся, то расходится и ряд

n 1 5 3n4 2n

Задачи для самостоятельного решения

2.1.4. Выяснить сходимость рядов:

cos n isin n

а) tg

; б) cos

; в)

;

2n 1

n 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20233.39 Mб17Практикум по объектно-ориентированному программированию..pdf
#
05.02.20231.39 Mб13Практикум по программированию на языке программирования Си..pdf
#
05.02.2023406.11 Кб2Практикум по социально-культурной деятельности..pdf
#
05.02.20231.98 Mб16Практикум по Теоретической механике..pdf
#
05.02.2023931.61 Кб16Практикум по теории вероятностей..pdf
#
05.02.20231.22 Mб7Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению..pdf
#
05.02.20231.44 Mб36Практикум по физико-химическим методам анализа..pdf
#
05.02.2023206.8 Кб0Практическая подготовка студентов.-1.pdf
#
05.02.2023623.34 Кб0Практическая подготовка студентов..pdf
#
05.02.2023290.92 Кб10Практический маркетинг..pdf
#
05.02.2023176.72 Кб1Преддипломная практика студентов..pdf