Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

L f t p

1

F

p

.

3.

Запаздывание. Если (Lf )( p) F( p) , то

L f t p e p L( f (t))( p) e p F( p) .

4.

Смещение. Если (Lf )( p) F( p) , то

L e p0t f t p F( p p0 ) .

5.

Дифференцирование оригинала. Если (Lf )( p) F( p) и

f

f

(n)

(t) оригиналы, то

f (t) ,

(t) , …,

L f t p pF( p) f ( 0) ,

L f

t p

p

2

F( p) pf ( 0) f ( 0) ,

L f (n) t p pn F( p) pn 1 f ( 0) ... f (n 1) ( 0) .

6.

Дифференцирование изображения. Если (Lf )( p) F( p) ,

то

t

F( p)

L f ( )d ( p)

.

p

0

f (t)

теграл

F( p)dp

абсолютно сходится, то

оригинал

t

p

и

f (t)

( p) F( p)dp .

L

t

p

t

Функция

( f g)(t) f ( )g(t )d называется

свёрткой

функций f (t)

и g(t) .

0

3. Формула Дюамеля

t

L f (0)g(t)

f

( )g(t )d ( p) pF( p)G( p) .

0

Таблица оригиналов и изображений

Оригинал

Изображение

h(t)

1

p

e t

1

p

cos t

p

p2 2

sin t

p2 2

tn

n!

pn 1

142

Оригинал

Изображение

ch t

p

p2

2

sh t

p2

2

e t cos t

p

p 2

2

e t sin t

p 2

2

f t L 1 F p t

1 a i

F p e pxdp ,

2 i

a i

где

интеграл

берётся

вдоль

любой

прямой

с

Re p a r0 ,

а r0

– показатель роста функции

f (t) .

Вторая теорема обращения. Если

1) функция F( p)

аналитическая в полуплоскости Re p r0 и в

полуплоскости Re p r0

имеет конечное число полюсов;

2)

lim max

F( p)

0 ,

где

CR

– дуги

окружностей

p

R ,

R p CR

Re p r0 ;

a i

3) для любого a r0 абсолютно сходится интеграл

F p dp ,

a i

f

1

p p

pt

то

функция

t

L

F

p

t

h(t)

есть

res F( p)e

k

k

Так как

3

L(sin 3t) ,

то по теореме смещения получаем

p

2

2

3

F( p)

1

3

1

L et sin 3t

, или, что то же самое,

3

( p 1)

2

3

2

3

1

1

1

1

3

1

t

L

L

e

sin 3t .

2

2 p

10

3

( p 1)

2

2

3

p

3

4.2.5.

Восстановить

оригинал

по

изображению

F( p)

2 p2

9 p

3

.

p3

2 p2 3 p

Корни знаменателя

p1 1 ,

p2 0

и

p3 3 . Поэтому

p3 2 p2

3 p ( p 1) p( p 3) . Раскладывая на простые дроби,

получаем

2 p2 9 p 3

2 p2 9 p 3

A

A

A

1

2

3

.

p3 2 p2

3 p

p( p 1)( p

3)

p 1

p 3

p

Приводя к общему знаменателю, имеем

2 p2 9 p 3

A p( p 3) A ( p 1)( p 3) A ( p 1) p

1

2

3

p3 2 p2

3 p

p3 2 p2 3 p

( A A A ) p2 ( 3A 2A A ) p 3A

1

2

3

1

2

3

2 .

p3 2 p2

3 p

A

A

A

2,

1

2

3

3A1 2A2 A3

9,

3A2

3.

Таким образом,

2 p2 9 p 3

2

1

1

L 2e t 1 e3t ,

p

3

2 p

2

3 p

p 1

p

p

3

или, что то же самое,

L 1

2 p

2

9 p 3

L 1

2

1

1

2e t 1 e3t .

3

2

2 p

p p 3

p

3 p

p 1

ния y 3y 2 y sin x ,

y 0 0 , y 0 3 .

Пусть L y Y p .

По теореме дифференцирования ориги-

Далее,

L sin x

1

. Применяя преобразование Лапласа к

p2 1

обеим

частям

уравнения,

получаем

уравнение

1

p2Y p 3 3 pY p 2Y p

для нахождения изображе-

p2 1

1

2

4

p2 3 p 2 Y p

3

3 p

, или, что то же самое,

p

2

2

1

1

p

Y p

3 p2 4

.

Раскладывая

получившуюся ра-

p2 1 p2

3 p 2

циональную

дробь

на

сумму

простейших

дробей,

имеем

Y p

17

p

7

1

1

1

3

1

.

Так

как

5

p2 1

2

p2 1

10

p 1

p 2

10

p

1

1

L 1

cos x

,

L 1

sin x ,

L 1

ex ,

p

2

p

2

1

1

p 1

L 1

1

e2x , то

y x

17 cos x

7 sin x

1

ex

3

e2x .

p 2

10

10

5

2

147

ния

y 0 2 ,

y 0 1 .

y y 4sin x ,

гинала можем

написать L y p2Y p p y(0) y 0

1

p2Y p 2

p 1 p2Y p 2 p 1. Далее,

L sin x

.

p2 1

p2Y p 2 p 1 Y p

4

.

p2 1

Приводя подобные в левой части уравнения, можем записать

p2 1 Y p

2 p3 p2 2 p 5

,

или,

что

то

же самое,

p2 1

Y p 2 p3 p2 2 p 5 .

p2 1 2

По второй теореме обращения оригинал y x

равен сумме

вычетов в полюсах функции Y p

2 p3

p2

2 p 5 , то есть

p2 1 2

2 p3 p2 2 p 5

y x

e px

res

p

1

2

p i

2

2 p3 p2 2 p 5

e

px

res

p

2

1

2

.

p i

Так как точки

p i

есть полюсы порядка 2 для функции

2 p3 p2 2 p 5

e

px

res

p

1

2

p i

2

d

2 p

3

p

2

2 p 5

lim

p i 2

e px

p

2

p i

2

dp

1

d

2 p3

p2 2 p 5

px

lim

e

2

p i dp

p i

lim

2 p3 p2 2 p

5

xe px

2

p i

p i

6 p2 2 p

2 p i 2 2 2 p3 p2

2 p 5 p

i

px