Определим связь между корреляционными функциями и спектральными плотностями на входе и выходе системы. Начнем с корреляционных функций.
Чтобы получить искомое выражение для корреляционной функции выходной величины
Ry(τ) M[y(t)y(t τ)],
где M[] – математическое ожидание по корреляционной функции входного воздействия, воспользуемся связью между входной и выходной величинами системы через ее весовую функцию w(t). Согласно (3.5)
y(t) w(τ1)u(t τ1)dτ1 . |
(3.20) |
0 |
|
Перепишем это выражение для y(t ), |
введя новую |
независимую переменную 2: |
|
|
|
y(t ) w(τ2)u(t τ2)dτ2 . |
|
0 |
|
Тогда входящее в Ry(τ) произведение |
|
y(t)y(t τ) w(τ1)u(t τ1)dτ1 w(τ2)u(t τ2)dτ2
0 0
w(τ1)w(τ2)u(t τ1)u(t τ2)dτ1dτ2.
0 0
Отсюда корреляционная функция как среднее значение этого выражения
Ry(τ) w(τ1)w(τ2)Ru(τ 1 τ2)dτ1dτ2. |
(3.21) |
0 0 |
Ru(τ) |
Получили искомое выражение, связывающее Ry(τ) с |
через весовую функцию w(t) звена. Чтобы пояснить смысл этого выражения, представим его в следующем виде:
74
Ry( ) w(τ2)x( τ2)dτ2;
0 |
(3.22) |
|
|
||
|
||
x(τ) w(τ1)Ru(τ τ1)dτ1. |
|
|
0 |
|
Отсюда видно, что корреляционная функция Ry(τ) процесса на выходе звена получается двукратным взятием интеграла Дюамеля
(интеграла свертки) от корреляционной |
функции Ru(τ) входного |
||
воздействия. |
|
|
между Ru(τ) |
Выражения (3.21) и (3.22) определяют |
связь |
||
и Ry(τ) в интегральной форме. |
Ее |
можно |
представить |
и в дифференциальной форме через передаточную функцию системы в следующем виде:
Ry(τ) W(p)W( p)Ru(τ). |
(3.23) |
Это выражение непосредственно вытекает из (3.22), так как интегральной зависимости (3.20) между входом и выходом системы эквивалентна зависимость через передаточную функцию:
y(t) W(p)u(t).
Соответственно двукратной зависимости (3.22) эквивалентно произведение передаточных функций в (3.23). Передаточная функция
W( p) |
соответствует второму уравнению (3.22), |
где по сравнению |
|||||
с (3.20) |
вместо |
τ1 стоит τ1. Формально |
это |
означает изменение |
|||
направления течения |
времени |
и, следовательно, |
изменение знака |
||||
у производных, |
т. е. |
знака |
оператора |
p |
в |
соответствующей |
|
передаточной функции.
Выведем теперь выражение, связывающее спектральные плотности входной и выходной величин системы, т. е. рассмотрим связь между частотными характеристиками этих сигналов.
Функция спектральной плотности является изображением Фурье корреляционной функции, т. е.
|
|
Sy( ) Ry(τ)e jωτdτ. |
(3.24) |
75
Подставив сюда найденное выше выражение (3.23) для Ry(τ),
получим:
Sy(ω) W( jω)W( jω)Su(ω) |W(jω)|2 Su(ω), |
(3.25) |
т. е.
Sy(ω) A(ω)2Su(ω).
Таким образом, спектральная плотность стационарного случайного процесса на выходе системы равна спектральной плотности входного воздействия, умноженной на квадрат амплитудной частотной характеристики системы.
Собственно, (3.25) очевидно и из чисто физических представлений, если учесть, что амплитудная частотная характеристика определяет отношение амплитуд колебаний на выходе и входе системы, а спектральная плотность есть частотная характеристика для средних значений квадратов амплитуд гармоник.
Рассмотрим простой пример. Пусть W(p) k /(Tp 1), а спектральная плотность входного сигнала Su(ω) Su const, т. е. входное воздействие – белый шум. По (3.25) спектральная плотность на выходе будет
Sy(ω) Tjωk 12Su(ω) T2k2S2u 1.
Таким образом, в результате прохождения через инерционное звено или систему бесконечный спектр входного воздействия ограничивается в соответствии с амплитудной частотной характеристикой системы.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение переходной характеристики звена, весовой функции. Как они связаны?
2.Как взаимосвязаны переходная характеристика
ипередаточная функция? Приведите выражение этой зависимости.
3.Как по передаточной функции получить АФЧХ?
4.Как взаимосвязаны импульсная переходная характеристика
ипередаточная функция? Приведите выражение этой зависимости.
5.Дайте определения АЧХ и ФЧХ, действительной и мнимой характеристик. Приведите выражения взаимосвязи отдельных
76
частотных характеристик и АФЧХ.
6.Какое звено можно назвать минимально-фазовым?
7.Почему частотные характеристики строят в логарифмических координатах? Приведите выражения АЧХ и ФЧХ в логарифмической форме.
8.Дайте определение децибела.
9.Назовите единицу измерения частоты в логарифмическом масштабе.
10. Какое значение частоты берется за начало координат
влогарифмическом масштабе?
11.Какой зависимостью связаны корреляционные функции выходного и входного сигналов?
12.Каким соотношением связаны спектральные плотности выходного и входного сигналов?
77