студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

Не следует, однако, отождествлять диэлектрическую проницаемость, которую мы вводили в электростатике, с константой <

вуравнениях (11.1)–(11.3). Это одно и то же по физическому смыслу, но не по величине. Известно, что у чистой воды в статике < 81 Казалось бы, отсюда следует 9, но в действительности показатель преломления воды равен примерно 1,33

вкрасной области спектра и 1,34 — в фиолетовой.

Мы с детства любуемся радугой, существование которой обусловлено именно этой небольшой разницей. Такую же «радугу» можно наблюдать при преломлении света в стеклянных призмах — даже просто на скошенном краю толстого зеркала. Эти бытовые наблюдения свидетельствуют о фундаментальном факте зависимости показателя преломления от частоты. Данное свойство называется дисперсией; мы его уже касались в связи с соотношением (10.6). Не следует преувеличивать полноты информации, представленной нашим повседневным опытом. Порядок цветов в радуге любой природы таков, что из него следует рост с частотой. Но во-первых, как раз при 0 величина < оказывается почти в 7 раз больше, чем в оптике, т. е. при 1015 с 1 А во-вторых, для электромагнитных волн существенно более высокой частоты — жестких рентгеновских лучей — коэффициент преломления любого вещества оказывается очень близок к единице. Дисперсия электромагнитных волн — явление сложное, функция немонотонна и включает области непрозрачности.

Но и тот простой случай, который представляют уравнения (11.1)–(11.3), реализуется во многих ситуациях, представляющих практический интерес, а потому ст´оит изучения. Приведем некоторые соотношения, демонстрирующие отличие волн

впрозрачной среде с постоянным коэффициентом преломления, от волн в вакууме.

Как уже было отмечено в гл. 10, восприятие цвета обусловлено частотой. Мы знаем, что в стационарной оптической системе чистый спектральный цвет не меняется при переходе из одной среды в другую. (Это не относится к нестационарным системам, включающим, например, движущиеся зеркала или среды с переменным во времени коэффициентом преломления, а также к нелинейным средам.) Факт сохранения частоты в линейной стационарной системе — по сути, закон сохранения энергии для световых квантов. Не касаясь этой стороны дела, мы его примем

вкачестве экспериментального. Как следствие, разная фазовая скорость волн в разных средах обусловлена зависимостью от волнового числа или, что то же, длины волны:

11.2 ] Отражение и преломление на плоской границе 353

где 0 2$ 0 — характеристики волны данной частоты в вакууме. Из соотношений (11.4) естественно следует определение относительного коэффициента преломления двух сред:

И это определение соответствует стандартному, принятому в оптике. Получим далее соотношения между величинами электрического и магнитного полей в волне, аналогичные (10.16). Подставим решения вида (10.15) в уравнения (11.1) и постараемся записать ответ в форме, как можно более симметричной:

Отсюда следует, что плотность энергии электромагнитной волны может быть представлена в следующем виде:

Представляется достаточно интересным тот факт, что электрическая и магнитная энергия поперечной волны остаются, как и в вакууме, равны друг другу. Исходя из (11.6), мы можем вычислить и вектор Пойнтинга

И, наконец, плотность импульса электромагнитной волны в прозрачной среде оказывается равной

Ради общности мы всюду сохранили величину 1 1, хотя, как уже говорилось, для прозрачных сред магнитная проницаемость, как правило, несущественна.

11.2. Отражение и преломление на плоской границе

Рассмотрим задачу о прохождении электромагнитной волны через плоскую границу двух диэлектрических сред I и II (одной из них может, в частности, быть и вакуум). Эта ситуация представлена на рис. 11.1 а, б для случая двух различных поляризаций. Направление электрического и магнитного векторов соответствует правилу, согласно которому k, E, B образуют правую тройку. Мы использовали в качестве магнитного вектора H, поскольку именно для него будем писать соответствующее граничное условие. Заметим, что магнитное поле ориентировано

12 Основы физики. Т. I

на рис. 11.1 а так же, как электрическое поле на рис. 11.1 б (с точностью до знака), а на рис. 11.1 б — ортогонально плоскости рисунка. Результаты, которые мы получим в данном параграфе, можно переносить и на случай искривленной поверхности раздела. Она лишь должна быть гладкой, а радиус кривизны ее

должен многократно превосходить характерный пространственный масштаб электромагнитного поля — длину волны. Таким образом мы опишем действие на электромагнитную волну, в частности, поверхности линзы. Все расчеты линз, тонких и толстых,

атакже и сложных оптических систем базируются именно на законе преломления. Мы будем пользоваться не понятием луча, принятым в геометрической оптике, а более корректным с точки зрения электродинамики понятием волнового фронта; «лучи» — падающий, отраженный и преломленный — изображенные на рис. 11.1, представляют в наших терминах нормали к волновому фронту, направление которых задается вектором k.

Пусть показатели преломления сред I и II равны, соответ-

ственно, 1, 2 (в вакууме — просто единице). Мы показали на каждом из рис. 11.1 три волны: падающую (индекс ), отраженную (индекс ), и преломленную (индекс ). Это экспериментальный факт, известный каждому школьнику, но даже и не зная этого заранее, можно было его предсказать, исходя из уравнений Максвелла. В случае падения электромагнитной волны на проводящую поверхность (см. § 10.4) имеет место единственное нетривиальное граничное условие — закон сохранения тангенциальной компоненты электрического поля (9.12),

авсе остальные выполнялись должным образом за счет зарядов и токов, индуцированных на поверхности проводника. Теперь такой возможности уже нет, поскольку мы имеем дело с диэлектрическими средами, а поэтому всего лишь одной волны, помимо падающей, нам просто не хватит. В каждой из двух ситуаций на рис. 11.1 нам придется выполнить условия непрерывности и . Третье условие — сохранение в случае, изображенном

на рис. 11.1 а, и в случае рис. 11.1 б — будет выполнено автоматически как следствие закона преломления.

Еще один вопрос, на который целесообразно ответить заранее: правомерно ли разделение постановки задачи именно на те два случая, которые представлены на рис. 11.1 а, б? Не могут ли возникнуть отраженные либо преломленные волны с поляризацией, ортогональной таковой в падающей волне? Ответ: не могут, и это прямое следствие уравнений Максвелла и граничных условий. В силу линейности задачи, мы можем расщепить решение уравнений Максвелла на два линейно независимых, соответствующих двум различным поляризациям. Выбирая решение с одной из поляризаций — той же, что и у падающей волны, мы оперируем с полями трех волн, что позволяет выполнить граничные условия (9.12) и (9.15). При попытке выполнить их для другой поляризации нам опять «не хватит» переменных, т. к. в нашем распоряжении будут только две волны, без падающей, так что единственным возможным решением с такой поляризацией окажется нулевое поле. Разумеется, эти рассуждения находятся в полном соответствии с экспериментальными данными.

Пусть все три волны записаны в виде (10.15). Очевидно, для линейной среды зависимость , или , будет иметь точно такой же вид. Воспользуемся для случая а граничным условием (9.12)

I II - - - , а для случая б — (9.15)

I II G G G

(мы учли, что в обоих случаях в соотношение входят параллельные векторы). Поскольку дальнейшие действия для обеих поляризаций совершенно идентичны, мы ограничимся случаем рис. 11.1 а. Пусть в какой-то момент времени граничное условие выполнено. Однако оно сразу же нарушится, если зависимость от времени не будет одинаковой для всех трех полей. Это означает, что частота всех трех волн должна быть одинаковой (и действительно, отражение от прозрачной среды и преломление в ней «сохраняют цвет»). Далее введем в плоскости падения вдоль границы сред координату . Из поперечности волн и параллельности векторов , , следует, что все три волновых вектора ! , ! , ! лежат в одной плоскости — плоскости падения. Вдоль оси произведения kr в формулах типа (10.15) вырождаются в . Таким образом, граничное условие при равных частотах сводится к следующему:

- 0 - 0 - 0 B

Мы воспользовались обозначениями углов рис. 11.1 и учли, что из равенства частот для падающей и отраженной волн следует

12*

равенство волновых чисел. Для преломленной волны волновое число определяется формулой (11.5). Теперь потребуем, чтобы наше граничное условие выполнялось в любой точке оси . Для этого необходимо, чтобы экспоненциальные множители были тождественно равны друг другу, а значит, равны должны быть их аргументы:

B

Мы получили аналитически из законов электродинамики хорошо известные правила вычисления углов отражения и преломления:

Соотношения (11.10), в частности, подтверждают, что введенный нами коэффициент преломления <1 и в самом деле имеет право так называться. Далее из (11.10) можно извлекать следствия, хорошо известные из школьного курса физики: эффект полного внутреннего отражения, отклонение световой волны призмой, фокусное расстояние тонкой линзы и т. д. Однако решение задачи о прохождении волной границы двух сред не исчерпывается этим результатом. Те же самые граничные условия (9.12)–(9.15) позволят нам продвинуться существенно дальше — определить коэффициенты отражения и прозрачности на границе раздела двух диэлектриков. Впервые это было сделано О. Френелем (более чем за десять лет до рождения Максвелла).

11.3. Формулы Френеля

Предметом нашего рассмотрения по-прежнему остаются задачи, представленные на рис. 11.1 а, б. Для упрощения последующих выкладок положим для обеих сред 1 1; по сути, все сколько-нибудь интересные ситуации укладываются в рамки такого ограничения. Далее, мы проведем вычисления для границы диэлектрика с вакуумом: 1, , а ответ представим в такой форме, что его можно будет отнести к границе сред

спроизвольными коэффициентами преломления.

Вдальнейшем, выписывая граничные условия, мы сразу будем сокращать экспоненциальные осциллирующие множители, поскольку равенство частот и формулы (11.10) гарантируют нам такую возможность. Теперь выполнение граничных условий потребует лишь определенного соотношения между амплитудами волн. В этой связи заметим, что направление векторов E на

рис. 11.1 а и H на рис. 11.1 б выбрано нами из соображений как можно большей симметрии получающихся уравнений —