студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

т. е. мы полагаем, что гармоническое внешнее воздействие возбуждает в осцилляторе гармоническое колебание, частота которого совпадает с частотой внешнего воздействия, а комплексный множитель G D5 # определяет амплитудуи начальную фазу B вынужденных колебаний. Это предположение необходимо проверить. Подставив предполагаемое решение (2.64) в уравнение (2.62), убедимся, что можно подобрать комплексный множитель G так, чтобы уравнение (2.62) обратилось в тождество.

Действительно, уравнение (2.62) является линейным, т. е. содержит неизвестную функцию и ее производные только в первой степени. В частности, над функцией в левой части (2.62) выполняется лишь линейная операция дифференцирования, которая оставляет неизменным вид экспоненциального множите-

Множитель D# содержится как в правой части последнего уравнения, так и в его левой части. После сокращения на этот множитель мы приходим к алгебраическому уравнению для определения G, откуда получаем

Запись G подчеркивает, что найденное нами комплексное число G зависит от частоты вынуждающей силы. Таким образом, мы показали, что функция , определяемая формулой (2.64), действительно является решением уравнения (2.62), если G определяется соотношением (2.66).

Предоставляем читателю самостоятельно показать, что модуль комплексного числа G есть

442 Колебания в линейных системах [ Гл. 2

а его аргумент B определяется формулой

Подчеркнем еще раз, что речь идет о гармоническом осцилляторе, т. е. о линейной колебательной системе (в которой сила, возвращающая осциллятор в положение равновесия, прямо пропорциональна смещению). Мы получили исключительной

важности результат.

Гармоническая внешняя сила частоты возбуждает в осцилляторе вынужденные колебания, которые происходят также по гармоническому закону и имеют ту же частоту .

Функция определяет амплитуду вынужденных коле-

баний — ее зависимость от частоты внешней силы; ее называют амплитудной характеристикой осциллятора (точнее

есть отношение амплитуды вынужденных колебаний к амплитуде внешнего воздействия, что ясно из (2.70)), а функция B (2.68) дает сдвиг по фазе между вынужденными коле-

баниями и колебаниями внешней силы и называется фазовой характеристикой.

Комплексную функцию G 5 # называют частотной (или амплитудно-фазовой) характеристикой (иногда используют термин передаточная функция).

Исследуем подробнее полученные нами зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фазы от частоты внешней силы.

Зависимость интенсивности колебаний (квадрата амплитуды) от частоты внешней силы имеет вид

(эта величина больше, чем на частоте 0, когда амплитуда вынужденных колебаний равна C).

Таким образом, максимум амплитуды приходится на частоту, несколько меньшую 0, однако при C 1 мы имеем из (2.73) и (2.74) уже отмеченный результат: максимальная амплитуда, равная 0C, наступает при 0.

Наконец, рассмотрим вопрос об остроте резонансной кривой колебательной системы с большой добротностью. При каком отклонении частоты от значения 0 амплитуда вынужденных

колебаний заметно уменьшается (скажем в 2 раз)? Как видно из (2.72), это происходит при

Итак мы нашли полуширину резонансной кривой на уровне

1 2 , которая равна величине затухания Æ.

Заметим наконец, что при амплитуда вынужденных колебаний стремится к нулю: знаменатель в (2.72) при0 2 1 имеет вид

если C 1. Поэтому получаем

2

при 0 Выражение для фазовой характеристики (2.68) можно пере-

писать в виде

2.7. Гармонические колебания в линейных стационарных системах

При изучении общих свойств линейных систем (фильтров) обычно не интересуются их конкретным устройством. Систему изображают в виде блок-схемы (рис. 2.17). Внешнее воздействие

нал 7 в выходной сигнал 9 . Тот факт, что 9 является откликом на внешнее воздействие 7 , будем записывать в виде равенства 9 + 7 , которое означает, что в результате действия входного сигнала 7 на линейную систему + получаем сигнал на выходе 9 .

Гармонический осциллятор является одним из примеров линейной колебательной системы, т. е. системы, колебания в ко-

торой подчиняются линейному уравнению (напомним, уравнение линейно, если искомая функция 9 и ее производные входят в уравнение только в первой степени). Другие примеры линейных систем показаны на рис. 2.18.

Fòð x

Рис. 2.18

На рис. 2.18 а изображена %-цепочка, колебания в которой возбуждаются внешней ЭДС 7 . Искомой функцией является изменение напряжения на конденсаторе 9 .

На рис. 2.18 б показана +-цепочка. Ищется закон изменения напряжения на катушке индуктивности.

На рис. 2.18 в — простой механический пример: изучается движение тела массы под действием внешней силы, меняющейся во времени по закону 7 , тело движется в среде с вязким трением (сила трения пропорциональна скорости тр * ). Ищется закон изменения скорости 2 .

Покажем, что во всех этих случаях поведение систем также описывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами, и гармоническое внешнее воздействие приводит к возникновению в этих системах вынужденных гармонических колебаний , происходящих с той же частотой, т. е. G D#. Найдем также частотные характеристики G этих систем.

1. Рассмотрим %-фильтр (см. рис. 2.18 а). Закон Кирхгофа

имеет вид

/ ;5 7

(сумма падений напряжения на сопротивлении / и на конденсаторе / % равна внешней ЭДС 7 . Искомой величиной (выходным сигналом фильтра) является напряжение на конденсаторе 9 / %. Тогда напряжение на сопротивлении / % 9 и мы получаем

Вновь приходим к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.

Каков процесс вынужденных колебаний, если внешним воздействием является гармоническое колебание единичной амплитуды? Уравнение, описывающее процесс колебаний имеет вид

Так же, как и в случае гармонического осциллятора, перейдем к комплексной форме записи:

Предположим, что и в этом случае, так же как и в гармоническом осцилляторе, вынужденные колебания происходят по гармоническому закону

2.7 ] Гармонические колебания в линейных стационарных системах 447

Проверим наше предположение, подставив функцию (2.79) в уравнение (2.78). Мы получаем

G D# ;1 G D# ;1 D#

После сокращения на множитель D# находим частотную характеристику G

Итак, мы показали, что выходной сигнал фильтра, описываемый формулой (2.79), действительно представляет собой гармоническое колебание, если множитель G определяется

Амплитудная характеристика %-фильтра показана на рис. 2.19. 2. Аналогичным образом, используя закон Кирхгофа для +-фильтра (см. рис. 2.18 б) и имея ввиду, что выходной сигнал (напряжение на катушке индуктивности) 9 + ,

находим

: +:

Переходя к комплексной форме записи, получаем

Ищем решение последнего уравнения в виде 1 G1 D#. После подстановки в уравнение (2.82) получаем

Итак, выходной сигнал представляет собой гармоническое колебание, причем частотная характеристика +-фильтра

448 Колебания в линейных системах [ Гл. 2

Далее находим:

Мы можем сделать важный вывод, общий для всех линейных стационарных систем (систем, описываемых линейными уравнениями с постоянными коэффициентами): гармоническое внешнее воздействие возбуждает в линейной стационарной системе колебания, которые происходят по гармоническому закону с той же частотой. Этот общий вывод можно обобщить

представленной на рис. 2.20.

В рассмотренных выше примерах (гармонический осциллятор, %- и +-фильтры, механический пример) мы показали, как находится частотная характеристика G , определяющая зависимость амплитуды и фазы вынужденных колебаний от частоты внешнего гармонического воздействия.

2.8. Спектральный анализ линейных колебательных систем

Рассмотрим более общую задачу: колебания гармонического осциллятора возбуждаются внешней силой, меняющейся во времени по произвольному закону 7 .

Вместо уравнения (2.59) имеем в этом случае

Отличие (2.86) от (2.59) состоит в том, что в правой части последнего уравнения вместо гармонической внешней силы

0 — произвольное воздействие 7 .

Фундаментальное свойство всех линейных систем (независимо от их конкретного устройства) состоит в следующем: результат нескольких одновременных воздействий можно найти, суммируя результаты, к которым приводит каждое отдельное воздействие.

Убедимся в этом на примере гармонического осциллятора. Пусть внешняя сила описывается функцией 71 . Возникающий при этом процесс колебаний — функцией 91 . Мы имеем урав-

что символически запишем в виде: + 71 91 .

2.8 ] Спектральный анализ линейных колебательных систем 449

Аналогично, при внешнем воздействии 72 колебания осциллятора описываются функцией 92 , подчиняющейся урав-

или

+ 72 92

Как колеблется осциллятор, если внешняя сила изменяется

по закону

7 171 272 ,

где 1 и 2 — произвольные постоянные?

Искомый процесс вынужденных колебаний 9 описывается уравнением

Домножив левые и правые части (2.87) и (2.88) соответственно на 1 и 2 и сложив их, убеждаемся, что искомая функция 9 может быть представлена в виде

Обобщая сказанное выше на произвольную линейную систему, приходим к равенству

Итак, отклик линейной системы на линейную комбинацию внешних воздействий равен линейной комбинации откликов на каждое отдельное воздействие.

Можно обобщить (2.91), рассматривая произвольную линейную суперпозицию вида:

Сказанное выше подсказывает путь решения общей задачи изучения колебаний линейной системы под действием произвольной внешней силы 7 .

Целесообразно представить эту силу в виде суммы (2.92) некоторых элементарных слагаемых — элементарных «кирпичиков» (в общем случае сумма может быть бесконечной).

Затем необходимо найти отклик 9 системы на каждое отдельное слагаемое 7

9 + 7 ,

15 Основы физики. Т. I

и, наконец, записать искомый процесс вынужденных колебаний в виде линейной суперпозиции откликов

Мы описали суть спектрального подхода к исследованию линейных систем.

Разумеется, выбор «базиса» — 7 — тех элементарных «кирпичиков», из которых мы складываем «здание» заданной внешней силы 7 , неоднозначен. Это — вопрос физической целесообразности, он зависит от того, насколько просто можно найти реакцию системы на каждое отдельное слагаемое. Мы исследуем сейчас поведение линейных стационарных систем (т. е. линейных систем, свойства которых не меняются со временем: например, колебательный контур с постоянными +, %, или

маятник неизменной длины и массы). Мы выяснили, что по отношению к таким системам особую роль играют гармонические

функции (записанные в комплексной форме) D#. Рассматривая гармонический осциллятор, а также примеры

других линейных систем, мы убедились в том, что гармоническая внешняя сила 7 D# возбуждает в линейной системе колебания, происходящие также по гармоническому закону с той же частотой .

Символически этот результат мы записали в виде равенства (2.85) и изобразили в виде блок-схемы (рис. 2.20).

Напомним: запись (2.85) означает, что отклик линейной системы + на входной сигнал D# есть G D#.

Множитель G зависит от свойств линейной системы и называется частотной характеристикой системы (мы нашли

ее ранее для гармонического осциллятора (см. формулу (2.66),%- и +-фильтров и механической системы).

Используя математическую терминологию, можно сказать, что гармонические функции D# являются собственными функциями линейной системы +. Этот факт и отражает равенство (2.85): гармоническая функция D# преобразуется системой в гармоническую же функцию G D# (множитель G математики называют собственным значением, отвечающим собственной функции D#).

Еще раз подчеркнем, что частота в равенстве (2.85) может быть любой, при любых значениях равенство (2.85) справедливо, — и каждому значению отвечает число G — соответствующее собственное значение.

Оказывается, что гармонические функции D# (при любом ) обладают двумя важнейшими математическими свойствами, аналогичными свойствам действительных функций . Во-пер- вых, эти функции ортогональны. Смысл этого понятия состоит