студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

и два начальных условия (2.14) и (2.15), можно выбрать из множества решений (2.16) единственное, удовлетворяющее этим условиям. Легко проверить, что оно имеет вид

# #0

Аналогичным образом можно определить колебательный процесс, если маятнику, не отклоняя его от положения равновесия, сообщить начальную скорость #0. Тогда начальные условия имеют вид:

# 0

В самом общем случае задача сводится к выбору из множества решений (2.12) единственного решения, удовлетворяющего начальным условиям

Два условия (2.17) позволяют найти две произвольные постоянные и . Еще раз обратим внимание на замечательную особенность колебаний, совершаемых гармоническим осциллятором: частота колебаний определяется только параметрами самой колебательной системы ( и — для математического маятника,и — для пружинного маятника и т. д. ) и не зависит от амплитуды колебаний, т. е. не зависит от начальных условий (от того, каким образом осциллятор выведен из положения равновесия). Разумеется, все сказанное справедливо при условии, что амплитуда остается достаточно малой, что и обеспечивает линейную связь между возвращающей силой и величиной смещения из положения равновесия.

2.3. Превращения энергии при свободных колебаниях гармонического осциллятора

Почему все-таки возникают колебания? Одно обстоятельство мы уже отмечали: при смещении осциллятора из положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть систему в это положение. Но ведь можно представить себе ситуацию, при которой система, вернувшаяся в положение равновесия, в этом положении и останется — никаких колебаний не будет. Значит, важно еще одно обстоятельство: инерционность системы, благодаря которой система «проскакивает» положение равновесия и отклоняется от него в противоположную сторону.

Обратимся к рассмотренным выше примерам. Восстанавливающей силой, возвращающей систему в положение равновесия, является: при колебаниях маятника — проекция силы тяжести; при упругих колебаниях груза на пружине — сила Гука; в колебательном контуре — электрическое поле в проводнике, возникающее при заряде конденсатора. Возвращение электрона

кположению равновесия в атоме Томпсона обусловлено электрическим полем положительно заряженного «облака».

Инерционность же осциллятора, благодаря которой система, не «останавливаясь», проскакивает положение равновесия, обусловлена тем, что по мере приближения к равновесию осциллятор набирает «скорость»: если величина 9 при приближении

кположению равновесия уменьшается, то «скорость» 9 при этом увеличивается и система «по инерции» отклоняется в противоположную сторону (в колебательном контуре «скорость» — это скорость изменения заряда, т. е. сила тока в проводнике). Ток не исчезает при нулевом заряде — он существует благодаря «инерции» катушки индуктивности.

Если бы обкладки конденсатора были соединены через сопротивление (без индуктивности: + 0), то по закону Ома мы имели бы / % : 0, и при / 0, : 0, т. е. ток исчезает одновременно с зарядом — никаких колебаний! Инерционность в других примерах связана с наличием массы колеблющегося груза или электрона: тело массы , набравшее скорость, не может остановиться мгновенно — вот почему положение равновесия и проскакивается!

Процесс колебаний осциллятора полезно рассмотреть с энергетической точки зрения. Вернемся к физическому маятнику, уравнение движения которого (для малых #) имеет вид

I# #

Умножив обе части равенства на #, находим

Первое слагаемое — кинетическая энергия маятника, второе — потенциальная энергия (при отклонении на угол # центр масс поднимается на высоту 1 # #2 2). Согласно (2.18) в процессе колебаний суммарная энергия остается неизменной.

Подставив в (2.18) выражения # #0 0 и #0 0 0 , легко получить (упражнение для читате-

ля)

Составляющие полной энергии в процессе колебаний, очевидно, изменяются по закону

Как следует из (2.20), как кинетическая, так и потенциальная энергия колеблются с частотой 2 0, причем изменяются в противофазе: в моменты, когда максимальна кинетическая энергия, потенциальная энергия обращается в нуль — это момент прохождения маятником положения равновесия. В момент максимального отклонения от положения равновесия равна нулю кинетическая энергия — при этом максимальна его потенциальная энергия. Согласно определению среднее за время значение меняющейся во времени величины - есть

1

- 1 -

0

Из (2.20) ясно, что среднее за период колебаний значение кинетической энергии осциллятора равно среднему значению потенциальной энергии и равно половине полной энергии:

*0

-кин -пот 2

Аналогичным образом можно рассмотреть энергетические изменения в идеальном 0 колебательном контуре.

Умножив уравнение колебаний / % +/ 0 на /, имеем

Мы получаем закон сохранения энергии

Первое слагаемое /2 2% — энергия конденсатора (т. е. энергия его электрического поля), второе +/2 2 — энергия

424 Колебания в линейных системах [ Гл. 2

катушки индуктивности (т. е. энергия магнитного поля). Изменения заряда / и тока / происходят по закону /

/0 0 , / /0 0 0 :0 0 ,

Первое выражение +:02 2 — это максимальное значение маг-

нитной энергии, второе /02 2% — максимальное значение электрической энергии. Законы изменения электрической и магнитной энергии имеют вид

Таким образом, электрическая и магнитная энергии изменяются с частотой 2 0, причем изменяются в противофазе: в те моменты времени, когда максимальна электрическая энергия, магнитная энергия обращается в нуль, и наоборот, причем

-э -м -0 2.

Проследим за энергетическими превращениями при колебаниях электрона в атоме Томсона. При равномерном распределении положительного заряда внутри облака легко найти распределение потенциала электрического поля как функции расстояния от центра . Принимая потенциал центра облака за

Потенциальная энергия электрона в этом поле (учитывая, что заряд электрона равен D) равна

Кинетическая энергия есть

#2 -к 2

Закон сохранения энергии

2.4 ] Затухающие колебания гармонического осциллятора 425

можно получить (как и в предыдущих примерах) из уравнения колебаний (2.9): после умножения (2.9) на , находим

Интегрируя последнее равенство, приходим к закону сохранения энергии (2.22). В процессе колебаний изменяются как кинетическая энергия электрона, так и его потенциальная энергия. При максимальном смещении электрона от центра 0 его потенциальная энергия максимальна, при этом кинетическая энергия обращается в нуль, при прохождении положения равновесия 0 максимальна кинетическая энергия, при этом его потенциальная энергия равна нулю.

2.4. Затухающие колебания гармонического осциллятора

Осциллятор, совершающий гармонические колебания — это идеализация. Мы уже отмечали, что бесконечно длящийся процесс вида 9 невозможен. Свободные колебания любого реального осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются.

Примем теперь во внимание то, что мы сознательно упускали до сих пор, а именно наличие «сопротивления» движению осциллятора, которого не избежать в любой реальной системе. В качающемся маятнике — это трение в оси и сопротивление среды,

вкоторой колеблется маятник. То и другое создает тормозящий момент сил. В пружинном маятнике к сопротивлению среды добавляется сила трения, возникающая при скольжении груза. В колебательном контуре имеется омическое сопротивление, обусловленное, по сути, столкновениями электронов с атомами кристаллической решетки в проводнике. Колеблющийся электрон

ватоме Томсона излучает электромагнитную энергию, уносящую энергию колебаний — это также приводит к затуханию (т. н. радиационное затухание).

Рассмотрим влияние «тормозящей силы», зависящей от скорости. Во многих случаях (при малых скоростях) эта зависимость оказывается линейной.

Пример 1. Пружинный маятник (см. рис. 2.3). Уравнение движения (второй закон Ньютона) при наличии вязкого трения, пропорционального скорости ( тр * ) имеет вид

где Æ * 2 , 0 .

426 Колебания в линейных системах [ Гл. 2

Пример 2. Колебательный контур при наличии омического сопротивления. Закон Ома для замкнутой цепи:

(сумма падений напряжения на сопротивлении : и на конден-

где Æ 2+ и 0 1 +% .

Уравнения (2.23) и (2.25) оказались математически тождественными, хотя описывают поведение совершенно различных физических систем.

Можно убедиться (упражнение для читателя), что при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости, сопр* #, уравнение колебаний физического маятника (см. рис. 2.2)

где Æ * 2 2I , 0 I .

Угол отклонения маятника от положения равновесия описывается уравнением того же вида, что и изменение заряда на конденсаторе в колебательном контуре с сопротивлением. Следует обратить внимание на общность уравнений (2.23)–(2.26), описывающих колебания различной физической природы.

К аналогичным уравнениям приводит множество различных физических задач (в частности, уравнение колебаний классического электрона в атоме с учетом радиационного затухания имеет тот же вид, что и уравнение, описывающее колебания маятника (2.26), учитывающее вязкое трение).

Итак, во всех рассмотренных случаях колебания описывают-

в котором коэффициент Æ называют коэффициентом затухания (или просто затуханием), а величину 0 — собственной частотой осциллятора. Это та самая частота, с которой колебался

бы осциллятор, если бы вязкое трение отсутствовало. Важно обратить внимание, что параметр Æ в уравнении (2.27) имеет размерность с 1, т. е. совпадает с размерностью параметра 0.

Общность уравнений, описывающих поведение различных физических систем, подсказывает путь изучения этих систем, основанный на аналогиях.

2.4 ] Затухающие колебания гармонического осциллятора 427

Метод подобий позволяет заключить, что если параметры Æ и 0 в физически различных системах, описываемых уравнением (2.27), оказываются одинаковыми, то одинаковы и закономерности поведения этих систем — одинаков характер изменения величины 9 (будь то заряд конденсатора, деформация пружины либо угол отклонения маятника). Разумеется, одинаковы должны

быть при этом и начальные условия.

Каков вид функции 9 , удовлетворяющей уравнению

(2.27)? Мы убедимся далее, что затухающий процесс 9 имеет качественно различный характер в двух случаях: 1) Æ ' 0 (это случай малого затухания) и 2) Æ & 0 — большое затухание.

В случае, если выполняется равенство Æ 0, режим поведения осциллятора называется критическим. Итак, рассмотрим

подробнее различные ситуации.

Осциллятор с малым затуханием Æ ' 0 . Качественно ясно, что процесс 9 должен иметь вид, изображенный на

2D Æ

Подставляя функцию (2.28), а также ее производные (2.29) в уравнение (2.27), легко убедиться (упражнение для читателя), что уравнение обращается в тождество, т. е. функция (2.28) действительно является решением уравнения (2.27). Это решение, зависящее от двух произвольных постоянных, является (как доказывается в теории дифференциальных уравнений) общим решением, т. е. любое решение (при Æ ' 0) может быть получено из (2.28) при соответствующем выборе констант и .

Исследуем подробнее структуру решения (2.28). Функция 9 представляет собой произведение двух функций: гармонического колебания, частота которого

меньше частоты 0 того гармонического колебания, которое имел бы осциллятор без затухания (Æ 0), и функции

которая описывает постепенное экспоненциальное уменьшение амплитуды колебания. Функция представляет собой закон амплитудной модуляции колебания (2.28) (штриховая кривая на рис. 2.6).

Затухающий колебательный процесс не является в строгом смысле периодическим. Действительно, рассмотрим момент времени , когда 1 и следовательно 9

D Æ . Ясно, что при любом & 9 ' 9 , т. е. значение функции 9 не повторяется ни при каких & .

Ясно в то же время, что благодаря гармоническому множителю

функция 9 обладает определенной повторяемостью: в частности, повторяются через равные промежутки времени как нулевые значения функции 9 , так и ее максимумы и минимумы (докажите это!).

Значения амплитуды колебания в два момента времени и> связаны соотношением

При > 1Æ имеем

т. е. амплитуда колебаний уменьшается в D раз через промежу-

ток времени > 1Æ.

Интервал времени > 1Æ называют постоянной времени осциллятора. Это оценка времени, в течение которого продол-

жается процесс свободных колебаний осциллятора, выведенного

из положения равновесия. Разумеется, по истечении времени > колебания продолжаются, но амплитуда, спадая по экспоненциальному закону (2.31), становится столь малой, что практически можно полагать, что колебания прекратились (скажем, через время > 5 Æ амплитуда падает более чем в 100 раз).

Рассмотрим теперь два момента времени и , разделенных промежутком времени 2$ , равным периоду колебания (см. рис. 2.6). Тогда получаем

DÆ1

1

1

Параметр (логарифм отношения амплитуд при двух после-

довательных отклонениях осциллятора от положения равновесия) называется логарифмическим декрементом затухания. Он

показывает, на сколько изменяется амплитуда колебаний за 1 период. Например, при 0,01 амплитуда колебаний изменяется за 1 период приблизительно на 1 % (убедитесь в этом, используя определение (2.32)). Пусть ! --- число колебаний функции (2.28), после которых амплитуда уменьшается в D раз. Тогда > !

т. е. логарифмический декремент есть величина, обратная числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в D раз.

абсолютная скорость затухания свободных затухающих колебаний, характеризуемая постоянной времени > 1 Æ и измеряемая в секундах, так и относительная скорость затухания, характеризуемая параметром ! 1 (и измеряемая числом колебаний, совершаемых осциллятором за время затухания).

Введем еще один параметр, которым принято характеризовать затухающий гармонический осциллятор. Величина C, определя-

называется добротностью осциллятора. Используя (2.33), получаем:

Последнее равенство справедливо для осциллятора с малым затуханием: 0 Æ, поэтому

2 0

Величина C, как и , является характеристикой относительной скорости затухания колебательного процесса: чем больше добротность, тем большее число колебаний совершает свободный осциллятор, прежде чем его колебания заметно затухают (амплитуда уменьшается в «D» раз). Ниже мы выясним энергетический смысл понятия добротности.

Рассмотрим энергетические превращения при затухающих колебаниях груза, колеблющегося на пружине. Вновь вернемся к уравнению колебаний (второй закон Ньютона):

где слагаемое в правой части тр * — сила вязкого трения, пропорциональная скорости. Домножив обе части уравнения (2.35) на :

Левая часть равенства — изменение полной энергии колебаний, суммы кинетической энергии груза 2 2 и потенциальной энергии деформированной пружины 2 2.

Правая часть равенства — произведение силы трения тр

в любой момент времени. Таким образом, равенство (2.36) описывает энергетические превращения при колебаниях пружинного маятника. Полная энергия колебаний - уменьшается за счет работы силы трения:

Проинтегрируем обе части равенства (2.37) за период колебания. В левой части в результате интегрирования получаем полное изменение энергии колебаний - (убыль энергии) за период:

Интеграл в правой части (работа силы трения за период колеба-

ния)

1

2

тр *