студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

10.4 ] Энергия и импульс электромагнитной волны 341

правую тройку (подобно координатной системе , , ), так что

Первый член разности в (10.17) равен нулю в силу поперечности электромагнитной волны. Оставшиеся члены после сокращения 0 дают в ответе уже известный нам закон дисперсии

2 2 2

Выпадение из ответа амплитуды — в данном случае 0 — вообще характерное свойство т. н. линейной физики. Оно проистекает из самых основных законов, а именно, из того обстоятельства, что уравнения Максвелла (9.2)–(9.5) полностью сохраняют силу при умножении всех полей, токов и зарядов на один и тот же постоянный коэффициент. Поэтому, если токи и заряды связаны с полями линейной зависимостью или, как в данном случае, вовсе равны нулю, решение (10.15) можно умножать на любые коэффициенты, более того, любая линейная комбинация решений вида (10.15) с разными амплитудами и волновыми векторами (а тем самым, и частотами) также будет решением исходной системы уравнений. Это и есть «линейная физика». Только для этого предельного случая справедлив принцип суперпозиции полей, от которого приходится отказаться в случае нелинейности функций 3 , , , либо операторов <, 1 Нам уже знакомы такие примеры нелинейных сред, как сегнетоэлектрики и ферромагнетики; в этой связи заметим, что нелинейные проблемы в современной физике представляются скорее правилом, нежели исключением. Даже вакуум в квантовой электродинамике оказывается нелинейной средой.

10.4. Энергия и импульс электромагнитной волны

Плотность энергии в электромагнитной волне задается стандартным выражением (9.18)

= 12

, 0 ! ; , 0 !

(10.18) (обратим еще раз внимание на синфазность электрического и магнитного полей). Плотность энергии волны будет, следовательно, осциллировать в пространстве и во времени. Обычно в таких случаях оперируют средним ее значением по периоду либо по длине волны. Эти величины равны друг другу. Действительно,

2 ! 1 2 ! ( 12

Таким образом, из (10.18) можно получить следующее значение плотности энергии в электромагнитной волне:

Воспользуемся первым из уравнений (10.16). Помимо ориентации основной тройки векторов, оно дает, с учетом поперечности волны, соотношение между амплитудами полей

0 -0

Подставим его в (10.19). Получаем две эквивалентных формы ответа:

В силу закона дисперсии, дополнительное к единице слагаемое

вкаждой скобке также равно единице. Из этого следует, что средняя по периоду электрическая энергия равна средней магнитной, а поскольку поля синфазны, плотности электрической и магнитной энергии равны друг другу в любой момент времени

влюбой точке пространства. Окончательный ответ для усредненной плотности энергии мы по-прежнему приводим в двух

формах:

Первая из них более употребительна, по крайней мере в оптике. Дело в том, что при взаимодействии света с веществом, и в частности при его регистрации, б´ольшую роль играет именно электрический вектор. Взаимодействие происходит почти исключительно с электронами. Электрическое поле действует на элек-

трон с известной силой D , а магнитное — с силой Лоренца, которую можно оценить следующим образом:

D D- 7 D-,

так что для нерелятивистского электрона ( ) она дает лишь малую поправку. Поэтому принято плотность энергии, поляризацию света, сдвиг фазы и т. д. привязывать именно к электрическому полю.

Продолжим исследование энергетических характеристик волны. Вычислим вектор Пойнтинга

1 ! 1 !-2 !

!0 !0

Для поперечной волны последний член в правой части равен нулю, что позволяет упростить выражение:

Поток энергии осциллирует во времени и пространстве, но всегда направлен вдоль вектора k. Средний по периоду или длине волны поток энергии в направлении k равен

Теперь не представит труда определить и среднюю плотность импульса поля в электромагнитной волне, исходя из соотноше-

Его можно трактовать следующим образом: «плотность массы» поля = 2 умножается на скорость ее «течения» . Это соотношение оказалось одним из основополагающих в разработ-

0 ! ; 0 !1 1 (10.24)

Если бы частота 1 была отлична от , мы не смогли бы выполнить граничное условие нулевого поля в любой момент времени. Поэтому частота отраженной волны, а значит, и волновое числодолжны совпадать с таковыми у падающей волны. Мы опустили в формулах (10.24) начальную фазу, поскольку у одной

волны она устраняется выбором начала отсчета времени, а у другой возможный фазовый сдвиг будет учтен знаком амплитуды.

Рассмотрим геометрию задачи, представленную на рис. 10.3 а. При такой поляризации вектор электрического поля параллелен проводящей плоскости, вектор магнитного поля лежит в плоскости падения. Условие 0 в начале координат0 в терминах формул (10.24) означает просто

0 0,

или, что то же, фазовый сдвиг в $ при равных амплитудах — обычно говорят: «потеря полуволны». Далее будем перемещаться вдоль границы, меняя координату . Условие 0 должно быть выполнено в любой точке границы, но зависимость от полей, при одинаковых волновых числах и 0 будет различной: ! ; !1 B, где B — угол отражения на рис 10.3 а. Единственная возможность надлежащим образом выполнить граничное условие на проводящей поверхности обеспечивается известным школьным правилом: угол падения равен углу отражения, B.

Рассмотрим случай другой поляризации, представленный на рис. 10.3 б. Теперь тангенциальные компоненты электрического

поля равны - - 0 ; - - 0 B. Условие сохранения частоты при отражении универсально; обеспечив нулевое

касательное поле в одной точке и требуя сохранения этого нуля в любой точке проводящей плоскости, получаем снова B Возвращаясь к выражениям для тангенциальных компонент поля, еще раз получаем 0 0, т. е. и в такой геометрии отражение происходит с потерей полуволны. Резюмируя, можно сказать, что мы построили количественную теорию идеального зеркала.

Важное замечание: граничное условие (9.12) — именно для тангенциальной компоненты E — выбрано нами не случайно. Анализируя полученные нами условия, читатель может самостоятельно убедиться, что они не могут обеспечить ни непрерывности , ни непрерывности Но на поверхности проводника полем волны индуцируются поверхностные токи и заряды, которые и балансируют соответствующие скачки — см. условия (9.14), (9.15) в расширенной форме. Условие (9.12) является более жестким — никакая реакция среды не может его подправить.

10.5. Излучение электромагнитных волн

Самый популярный излучатель в школьной физике — точечный источник света. Попробуем понять, может ли действительно излучатель электромагнитных волн обладать такими свойствами. При этом необходимо особо подчеркнуть, что дело не только

в малости генератора излучения. Одно из важнейших свойств точечного источника — отсутствие какого-либо выделенного направления и, следовательно, абсолютная изотропия излучения.

Таким образом, подобный источник может порождать только сферическую волну. Но сферической электромагнитной волны просто не может быть. Это нетрудно понять, вернувшись к мысленному эксперименту, представленному на рис. 9.1. В сферически симметричной конфигурации электрическое поле E может быть направлено только по радиусу, а магнитное поле должно быть тождественно равно нулю. Это и неудивительно, поскольку любые перемещения в сферически симметричной зарядовой системе, сохраняющие ее симметрию, оставляют поле E вне ее неизменным в силу теоремы Гаусса. Следовательно, вне такой системы 0 и 0, так что и 0 Но тогда тождественно равен нулю и вектор Пойнтинга, так что об электромагнитной волне вообще говорить не приходится.

Это не означает, что модель точечного источника в оптике является ошибочной. Просто во многих задачах можно рассматривать поле малого излучателя усредненным во времени. Будучи

вкаждый момент асимметричным, оно за характерное время регистрации может в среднем оказаться симметричным в достаточной степени, чтобы мы считали излучение изотропным, а излучатель — истинно точечным. При этом, правда, постановка вопроса о направлении электрического и магнитного поля излучения теряет смысл.

Что же касается стандартного утверждения типа «линза преобразует плоскую волну в сферическую, сходящуюся в фокусе», то оно верно лишь как некоторое приближение, в котором малым параметром служит телесный угол , охватывающий сходящийся пучок света. Истинная волна, сформированная линзой, мало отличается от сферической, пока и поскольку 1 Во всяком случае, из уравнений Максвелла следует, что ни сферической, ни цилиндрической электромагнитной волны в точном смысле не существует, а значит, не может быть слишком симметричным излучатель.

Оказывается, самым простым и фундаментальным типом излучателя является электрический диполь с переменным во времени дипольным моментом. Формальный уровень нашего курса не дает возможности изложить этот вопрос с должной степенью строгости, но мы можем сопроводить это утверждение достаточно убедительными аргументами.

Обратимся к уравнениям (10.10). Заметим, что первое из них

впринципе можно рассматривать как часть второго, если под 7 понимать любую компоненту вектора A. Вернемся к сферически симметричной модели и поищем соответствующее решение урав-

нений (10.10). Оператор Лапласа применительно к скалярной величине 7 при условии, что последняя зависит только от радиуса, но не от полярного или азимутального угла, может быть записан в простой форме, которую читатель может получить в виде упражнения, перейдя от декартовых координат к полярным:

Подставим его в первое уравнение (10.10), после чего умножим обе части уравнения на . Результат

можно преобразовать к виду

Полученное уравнение формально одномерное, подобно (10.5), а следовательно, имеет решение

Решение (10.25) представляет, во-первых, пример истинно сферической волны (но она существует лишь для скалярной величины или потенциального вектора)

7 , 2 ## ,

а во-вторых, если рассматривать 7 еще и как компоненту вектора, моделирует так называемые запаздывающие потенциалы. Если, например, речь идет об электромагнитном поле, то потенциалы и , созданные соответственно токами и зарядами некоторой ограниченной в пространстве системы, устанавливаются на далеких от нее расстояниях с задержкой во времени .

Представим себе дипольную систему, которую мы на больших расстояниях можем описать просто дипольным моментом

, Для удобства описания излучения волн немецкий физик

Генрих Герц (1857–1894) ввел специальный вектор (его так и называют — вектор Герца)

, # 7 ,

#

который, как следует из (10.25), является решением волнового уравнения при 4 , т. е. представляет динамику типа электромагнитной волны. Если мы заставим диполь осциллировать во времени, 0 , то в достаточно удаленной от диполя области пространства эти осцилляции будут регистрироваться именно как бегущая электромагнитная волна.

Далее проведем мысленный эксперимент. Пусть наш диполь движется с постоянной скоростью. Тогда он, очевидно, излучать не будет; поле его будет просто стационарным полем в движущейся системе отсчета. Значит, поле излучения определяет не скорость, а, по крайней мере, следующая временн´ая производная, т. е. ускорение, пропорциональное 2 Точный расчет подтверждает такое заключение, а полная мощность излучения колеблющегося диполя дается выражением

Это излучение обладает заметной анизотропией. Среднее за период значение вектора Пойнтинга оказывается пропорциональным sin2 , где — полярный угол,

который отсчитывается от направления дипольного момента (рис. 10.4).

орбите вокруг ядра, атом в принципе существовал бы конечное время — пока вся начальная кинетическая энергия не ушла бы с излучением. Тогда

произошло бы падение электрона на ядро. Существенно, что в этом случае свойства отдельных атомов не были бы идентичны, а зависели бы от возраста. Это соображение послужило главным толчком к созданию атомной модели Бора, а далее — и всей квантовой механики.

Формула (10.26), а равно и рис. 10.4, подразумевают, что

размер диполя меньше длины волны : . Такой диполь называют элементарным диполем или диполем Герца. Излуче-

ние может быть надежно идентифицировано в так называемой волновой зоне — при . В технических целях используются обычно другие излучатели — антенны, у которых характерный размер, с тем или иным коэффициентом порядка единицы, соответствует как раз длине волны: 2$ Если излучение элементарного диполя может быть вызвано различными причинами, включая ускорение частиц, то в случае антенны это всегда результат подачи на диполь мощного внешнего сигнала.

Электродипольное излучение — наиболее типичный механизм генерации электромагнитных волн и в природе, и в технике, но в принципе существуют и другие, связанные с изменением во времени магнитодипольного момента, электрического и магнитного квадрупольных моментов и т. д.

Задачи

1. Плоская монохроматическая электромагнитная волна частоты падает нормально на плоскую гладкую поверхность проводника (см. рис. 10.2). Проводимость материала , магнитная проницаемость ! 1 Оценить коэффициент

отражения по мощности и амплитуде.

Решение. Отличие коэффициента отражения от единицы обусловлено джоулевой диссипацией в скин-слое, т. е. на глубине вплоть до Æэф, которая дается формулой (8.28):

Æэф 2 !0

Удобно вычислять связанные с этим потери, относя их к единице площади поверхности зеркала, а затем получить коэффициент отражения, нормируя эту диссипацию на поток энергии. Итак,

Модуль вектора Пойнтинга, равный потоку энергии на поверхность зеркала, можно представить в виде

2

*2 *

Отнеся интенсивность потерь к потоку энергии, получим коэффициент поглощения по энергии; вычитая последний из единицы, получим коэффициент отражения по мощности . (К сожалению, это совершенно стандартное обозначение пересекается с принятым в электротехнике символом омического сопротивления). Таким образом,

Поскольку отраженная волна представляет собой электромагнитную волну той же частоты, что и падающая, и с тем же соотношением между E и H, амплитудный коэффициент отражения равен просто квадратному корню из

коэффициента отражения по мощности: # Надо заметить, что использованные нами соображения корректны лишь в случае радиоволн достаточно низкой частоты. В оптическом и даже инфракрасном диапазоне частот механизмы отражения и потерь будут несколько иными. Мы еще коснемся этого вопроса в заключительной главе.

Точность полученных нами результатов не слишком велика — именно потому, что не слишком точно оцененную величину приходится вычитать из единицы. Гораздо более надежна оценка коэффициента поглощения по мощности

1 7 2!0 ,

которая позволяет правильно оценить порядок величины потерь при отражении. Качественным ответом задачи будет либо малость этого коэффициента

всравнении с единицей, либо соизмеримость.

2.Электрон совершает циклотронное вращение в однородном магнитном поле B. Получить зависимость его энергии от времени и оценить, сколько оборотов он сделает до остановки.

350 Электромагнитные волны [ Гл. 10

Решение. Мы неоднократно подчеркивали гироскопический характер силы Лоренца, в силу которого она не совершает работы над заряженной частицей. Но при движении частицы по круговой орбите (а это движение с ускорением) происходит, в соответствии с (10.26), излучение электромагнитных волн, оното и тормозит частицу. Мы сделаем лишь одно упрощающее предположение: пусть энергия, потерянная на излучение за один оборот, будет много меньше кинетической энергии электрона. Необходимое для этого условие последует в конце решения.

Дипольный момент единственной частицы равен (см. (1.23)): < . Удобно поместить начало координат в центре циклотронной орбиты, тогда &0 < , где — скорость электрона на орбите, а < — циклотронная частота. Поскольку диполь в данном случае вращается, а не

где > — кинетическая энергия. Составляя уравнение > > , находим, что кинетическая энергия электрона должна убывать по экспоненциальному

Как обычно при экспоненциальном затухании, характерное время остановки не зависит от начальной энергии — по смыслу это масштаб времени, по истечении которого энергия становится существенно меньше начальной. Это время можно выразить через характерное число оборотов:

Наше предположение о малости потерь за период эквивалентно сильному неравенству B 1, что приводит к следующему условию на поле:

3 20073< 3 1012 Тл

—оно с запасом выполнено при всех доступных значениях поля. Соответственно, с большим запасом выполнено условие B 1, так что при рассмотрении не слишком большого числа оборотов частицы в магнитном поле мы вполне можем пользоваться приближением стационарной орбиты (как это до сих пор и делалось).

3.Плоская монохроматическая электромагнитная волна падает нормально на отражающую поверхность, частично поглощается, а частично отражается. В пространстве перед зеркалом образуется суперпозиция падающей и отражен-

ной волн, причем т. н. коэффициент стоячей волны — отношение амплитуды в пучности к таковой в узле — равен 10 Определить коэффициент отражения по мощности.