Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3416

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5 Mб

Скачать

☆

1 / 211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

С.П. Майорова М.Г. Завгородний

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

Утверждено учебно-методическим советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2017

УДК 512.8

Майорова, С.П. Сборник задач по алгебре и геометрии: учеб. пособие / С.П. Майорова, М.Г. Завгородний. – Воронеж : ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический уни-

верситет», 2017. – 200 с.

Учебное пособие содержит теоретические и расчетные задачи разного уровня сложности для проведения практических занятий, выполнения типовых расчетов и самостоятельной подготовки студентов.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по специальностям 10.05.01 «Компьютерная безопасность» (специализация «Безопасность распределенных компьютерных систем»), 10.05.02 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» (специализация «Системы подвижной цифровой защищённой связи»), 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем» (специализация «Обеспечение информационной безопасности распределённых информационных систем»), дисциплинам «Алгебра» и «Алгебра и геометрия».

Библиогр.: 14 назв.

Рецензенты: кафедра функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. М.И. Каменский); д-р физ.-мат. наук, проф. А.Д. Баев

©Майорова С.П., Завгородний М.Г., 2017

©Оформление. ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017

ВВЕДЕНИЕ

Развитие информационных технологий требует все большего внимания к вопросам защиты информации. Современные системы криптографической защиты информации, а так же анализ криптостойкости таких систем опираются на новейшие результаты алгебры и модульной арифметики. Поэтому алгебра является одной из базовых дисциплин для группы специальностей в области информационной безопасности.

Цель настоящего пособия – обеспечить практические занятия и самостоятельную работу студентов по всем темам курсов «Алгебра» и «Алгебра и геометрия». Оно является дополнением к курсам лекций, читаемых для студентов специальностей 10.05.01 «Компьютерная безопасность, 10.05.02 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» и 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем». Пособие состоит из трех частей. Первая часть пособия содержит более 400 теоретических и расчетных задач для проведения аудиторных практических занятий и выполнения домашних работ. Вторая часть содержит 92 задания к типовым расчетам. Каждое задание состоит из 20 однотипных задач, что позволяет дать индивидуальное задание каждому студенту учебной группы. В третьей части содержатся ответы практически ко всем задачам части 1. В конце пособия приведен список обозначений и список использованной литературы.

Материал пособия накапливался авторами при проведении занятий по курсам «Алгебра» и «Алгебра и геометрия» в Воронежском государственном техническом университете на протяжении ряда лет, начиная с 1998 года. В настоящий сборник вошли в основном те задачи, которые реально предлагались студентам. Отметим, что более трети всех заданий оригинальны и придуманы авторами. Основная часть таких задач содержится в типовых расчетах.

Пособие соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по специальностям 10.05.01 «Компьютерная безопасность» (специализация «Безопасность распределенных компьютерных систем»), 10.05.02 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» (специализация «Системы подвижной цифровой защищенной связи»), 10.05.03 «Информационная безопасность автоматизированных систем» (специализация «Обеспечение информационной безопасности распределенных информационных систем»), дисциплинам «Алгебра» и «Алгебра и геометрия».

Данное пособие предназначено для студентов первого и второго курсов указанных специальностей. Оно также будет полезно студентам математических и технических специальностей ВУЗов, изучающих дисциплины «Алгебра» и «Алгебра и геометрия», и преподавателям, ведущим занятия по этим дисциплинам.

ЧАСТЬ 1. ЗАДАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

1. Определите число инверсий в данных перестановках и укажите их четность:

1)	(1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7,8) ;													2) (2, 5,8,1, 4, 7, 3, 6, 9) ;
3)	(7, 5, 4, 6,1, 2, 3, 9,8) ;													4) (n,			n 1, n 2 ,...,			2, 1) ;
5)	(1,		3,	5,	7,...,			2n 1,				2,		4,	6,		8,...,	2n) ;
6)	(2,		4,	6,..., 2n, 1,							3,		5,...,		2n 1) .
		2. Определите число инверсий в данных перестановках:
1)	(1,		4,	7	,...,3n 2,						2,		5, 8,...,3n 1,					3, 6, 9,...,3n) ;
2)	(2,		5,	8,...,		3n 1,					3,	6,		9,...,		3n, 1,		4,	7,..., 3n 2) ;
3)	(k,		k 1,..., n,				1,		2,...,				k 1) ;
4)	(k,		k 1,..., n,				k 1,				k 2,...,				2,		1) .
		3. Подберите i						и k			так, чтобы перестановка:
1)	(1,		2,	7,	4,	i,		5,		6,		k,		9)	была четной;
2)	(6,		3,	4,	i,	7,		k,			2,	1)		была нечетной;
3)	(9,		2,	i,	3,	8,		7,		1,		k,		10, 5)			была четной;
4)	(1,		i,	2,	5,	k,		4,		8,		9,		7)	была нечетной;
		4. Определите четность следующих подстановок:
	3 5 6 4 2 1 7															2 7		5 4 8 3 6 1
1)													;		2)						;
		2 4 1 7 6 5 3														3 5		8 7 2 6 1 4
		2n		2n 1 ...				4	3		2		1				1	2	3 ...	n 1	n
3)														;	4)						.
		2n	1	2n ...				3	4		1		2			n 1 n		2	n 3 ...	1	n
		5. Напишите подстановку чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 , при кото-
рой число k					переходит в остаток от деления 5k на 9. Опреде-
лите ее четность.
		6.	В какой перестановке чисел 1, 2,..., n																число инверсий
наибольшее и чему оно равно?
		7. Сколько инверсий образует число 1, стоящее на k -м ме-
сте в перестановке чисел 1, 2,..., n ?

8. Сколько инверсий образует число n , стоящее на k -м месте в перестановке чисел 1, 2,..., n ?

9. Выпишите все подстановки: а) третьей степени, б) четвертой степени. Укажите среди них четные и нечетные.

10. Укажите транспозиции, с помощью которых можно перейти от перестановки (1, 2, 3, 4, 5) к перестановке (2, 5, 3, 4,1) .

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

11. Выясните, какие их следующих произведений являются членами определителя седьмого порядка, и укажите знак члена определителя:

1)	a23a67a54a16a35a41a72 ;	2)	a34a21a46a17a73a54a62 ;
3)	a72a16a34a55a27a61a43 ;	4)	a15a28a74a36a61a43 .
	12. Выясните, какие их следующих произведений являются
членами определителя		n -го порядка, и укажите знак члена

определителя: 1) a12a23a34...an 1,nakk ,1 k n ; 2) a12a23a34...an 1,nan1 .

13.Выясните, с каким знаком входит в определитель соответствующего порядка данное произведение:

1)a12a21a34a43...a2n 1,2na2n,2n 1 ;

2)a13a22a31a46 a55 a64 ...a3n 2,3 na3 n 1,3 n 1a3 n,3 n 2 .

14.Подберите значения i и k так, чтобы произведение a62ai5a33ak 4a46a21 входило в определитель шестого порядка со

знаком минус.

15. Подберите значения i и k так, чтобы произведение a47a63a1ia55a7k a24a31 входило в определитель седьмого порядка со знаком плюс.

16.С каким знаком входит в определитель n -го порядка: а) произведение элементов главной диагонали; б) произведение элементов побочной диагонали?

17.Выпишите все слагаемые, входящие в определитель

пятого порядка и имеющие вид a14a23a3 3 a4 4 a5 5 ; определите их знаки.

18. Пользуясь только определением, вычислите следующие определители:

a11

...

a21

a22

...

a31

a32

a33

...

;

... ...

... ... ...

an1

an2

an3

...

ann

a11

a12

a13

a14

a15

a21

a22

a23

a24

a25

a31

a32

;

a41

a42

a51

a52

a11

a12

19. Определитель

a21

a22

... ...

an1

an2

a21

a22

...

a2n

a31

a32

...

a3n

определитель

... ... ... ...

an1

an2

...

ann

a11

a12

...

a1n

0 ... 0

0 ... a3,n 2

... ... ...

an1 ... an,n 2

3	0	5
b	0	2	;	5)
2	c	3
0	0	d

... a1n

... a2n равен

... ...

... ann

	0		a1n
a2,n 1			a2n
a3,n 1			a3n	;
	...		...
an,n 1			ann
	0	1	a
2	0	1	a
b	0	2	0	.
4	c	3	5
0	0	d	0

. Чему равен

20.Как изменится определитель порядка n , если:

1)изменить знак всех его элементов на противоположный;

2)его первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их расположение;

3)его строки записать в обратном порядке;

4)к каждой строке, кроме последней, прибавить последнюю строку;

5)из каждой строки, кроме последней, вычесть все последующие строки.

21. Не раскрывая определителей, докажите равенства:

		sin2		1	cos2						a b		c		1
		sin2		1	cos2						a b		c		1
1)		sin2		1	cos2			0 ;	2)		b c		a		1	0 ;
		sin2		1	cos2						c a		b		1
		b c			c a			a b		a b c
		b c			c a			a b		a b c
3)		b1 c1		c1 a1			a1 b1		2	a1	b1		c1	.
		b2 c2		c2 a2			a2 b2			a2	b2		c2
		22. Вычислите определители приведением к треугольному
виду:
	2		7		6						2		2		5
										1
										1
										1		3 7
1)	4		19 9			;			2)	1	4	3 7				.
	2		17		24					2	7		5		9
	2		17		24					1	2		4		6
										1	2		4		6

23. Вычислите определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу:

	1		5	2					2 1		0						9	10		11
	1		5	2					2 1		0						9	10		11
1)	0 7			0	;		2)		1 2 1			;			3)		1	1 1			;
	1 2			0					0 1		2						2	3		4
		0		2	1			2		1 3			1			1 0			2	a
	1	0		2	1			2		1 3			1			1 0			2	a
4)	1	1 0			1	;	5)	3 2 1					0	;	6)	2 0			b 0			.
4)	2	0		1 3		;	5)	1 3 4					2	;	6)	3 c 4				5		.
	0	2		5	2			2		1 2			5			d 0			0	0

24. Вычислите определители, разложив их по элементам строки (столбца), содержащей буквы:

		0	1	1			2	1	1	x			a 1		1	1
	1	0	1	1			2	1	1	x			a 1		1	1
1)	0 1		1	1	;	2)	1	2	1	y	;	3)	b 0		1	1	.
1)	a	b	c d		;	2)	1	1	2	z	;	3)	c	1	0	1	.
	1	1	1	0			1	1	1	t			d	1	1	0

25. Вычислите определители:

												0 1 1 1														2 5 1 2
	1 1 1 1											0 1 1 1														2 5 1 2
1)	1 1 1 1						;		2)			1 0 1 1					;			3)				3				7 1 4						;
1)	1 1 1 1						;		2)			1 1 0 1					;			3)						5 9 2 7								;
	1 1 1 1											1 1 1 0														4 6 1 2
	3 9			3	6						1 2					3 4									6 5 8 4
	3 9			3	6						1 2					3 4									6 5 8 4
4)	5 8 2 7							;	5)		3 2				5 13				; 6)						9 7					5 2				;
4)		4 5		3	2			;	5)			1 2 10 4							; 6)						7		5 3 7							;
		7 8		4	5						2 9				8 25									4				8 8				3
			1002		1003				1004											27					44					40	55
	1001		1002		1003				1004											27					44					40	55
7)	1002		1003		1001				1002					;				8)		20					64					21	40			;
7)	1001		1001		1001					999				;				8)		13					20				13		24			;
	1001		1000		998					999										46					45				55		84
		6	5	6	4					24			11		13	17		19								30	20			15	12
	3
	3
	5	9	7	8	6					51			13		32	40		46
	5	9	7	8	6					51			13		32	40		46								20	15			12	15
9)	6	12	13	9	7	; 10)				61			11		14	50		56		; 11)						20	15			12	15			;
	4	6	6	5	4					62			20		7	13		52								15	12			15	20
	4	6	6	5	4					62			20		7	13		52								12	15			20	30
	2	5	4	5	3					80			24		45	57		70								12	15			20	30
	2	5	4	5	3					80			24		45	57		70

		3 2 9 2			3 2							3						2					3				5				3

		5 3 8 3			2 3				7 3									6				21 10 2 3
12)		7 3	5 3				1		2 3				;		13)																		.
12)		7 3	5 3				1		2 3				;		13)			10		2	15						5					6	.
		7		8			4					5
		7		8			4					5						2		2			6		10					15
																		2		2			6		10					15

26. Вычислите определители n -го порядка приведением к треугольному виду:

	1	1	1 ...	1
	1	0	1 ...	1
1)	1	1	0 ...	1	;
	... ... ... ... ...
	1	1	1 ...	0
		2	3	...	n
	1	2	3	...	n
	1	0	3	...	n
3)	1	2	0	...	n	;
	... ... ... ... ...
	1	2	3	...	0

	1	2	2 ...	2
	2	1	2 ...	2
2)	2	2	1 ...	2	;
	... ... ... ... ...
	2	2	2 ...	1
		2	3 ...	n 2		n 1	n
	1	2	3 ...	n 2		n 1	n
	2	3	4 ...	n 1		n	n
4)	3	4	5 ...	n		n	n	.
	. . . ...			.		.	.
	n	n	n ...	n		n	n

27. Вычислите определители n -го порядка, пользуясь формулой для вычисления определителя Вандермонда:

	1	1	1	...	1			1	1	1	...	1
	a1	a2	a3	...	an			1	2	22	...	2n
1)	a12	a22	a32	...	an2	;	2)	1	3	32	...	3n	.
	...	...	... ... ...					... ...		...	...	...
	a1n 1	a2n 1	a3n 1	...	ann 1			1	n 1	(n 1)2	...	(n 1)n

	28. Вычислите определитель									n -го порядка, элементы ко-
торого заданы условиями								aij min(i, j) .
	29. Вычислите определитель									n -го порядка, элементы ко-
торого заданы условиями								aij max(i, j) .
	30. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислите определители:
		1	2	7			1	1	3	4			0	5	2	0
	5	1	2	7			1	1	3	4			0	5	2	0
1)	3	0	0	2	;	2)	2	0	0	8	;	3)	8	3	5	4	;
	1	3	4	5			3	0	0	2			7	2	4	1
	2	0	0	3			4	4	7	5			0	4	1	0

1 / 211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20224.88 Mб43403.pdf
#
15.11.20224.89 Mб03404.pdf
#
15.11.20224.89 Mб13405.pdf
#
15.11.20224.96 Mб43410.pdf
#
15.11.20224.99 Mб13415.pdf
#
15.11.20225 Mб23416.pdf
#
15.11.20225.01 Mб23417.pdf
#
15.11.20225.04 Mб23419.pdf
#
15.11.20225.06 Mб23422.pdf
#
15.11.20225.07 Mб63424.pdf
#
15.11.20225.13 Mб33429.pdf

		0	1	1			2	1	1	x			a 1		1	1
	1	0	1	1			2	1	1	x			a 1		1	1
1)	0 1		1	1	;	2)	1	2	1	y	;	3)	b 0		1	1	.
1)	a	b	c d		;	2)	1	1	2	z	;	3)	c	1	0	1	.
	1	1	1	0			1	1	1	t			d	1	1	0

		0	1	1			2	1	1	x			a 1		1	1
	1	0	1	1			2	1	1	x			a 1		1	1
1)	0 1		1	1	;	2)	1	2	1	y	;	3)	b 0		1	1	.
1)	a	b	c d		;	2)	1	1	2	z	;	3)	c	1	0	1	.
	1	1	1	0			1	1	1	t			d	1	1	0

		0	1	1			2	1	1	x			a 1		1	1
	1	0	1	1			2	1	1	x			a 1		1	1
1)	0 1		1	1	;	2)	1	2	1	y	;	3)	b 0		1	1	.
1)	a	b	c d		;	2)	1	1	2	z	;	3)	c	1	0	1	.
	1	1	1	0			1	1	1	t			d	1	1	0