3416

276. Для каждой из следующих групп определите, является ли она циклической группой:

24 . Являются ли эти группы циклическими? Изоморфны ли эти группы?

278.Какие из следующих утверждений истинны: а) каждая циклическая группа абелева; б) каждая абелева группа циклическая;

в) каждый элемент циклической группы, отличный от единич-

ного элемента, является ее порождающим; г) каждая группа порядка n 4 циклическая; д) каждая группа порядка n 4 циклическая.

279.Докажите, что группы ( 4 , ) и ( *8 , ) не изоморфны.

280.Постройте левые и правые смежные классы группы S3

по подгруппе H e;(2,3) . Будет ли H нормальным делителем?

являются. Постройте факторгруппу G / H , где G S3 , H A3 .

282.Разложите группу S4 в левые и правые смежные классы по подгруппе A4 всех четных подстановок и по подгруппе Клейна K4 (см. задачу 256). Покажите, что A4 и K4 являются нормальными делителями группы S4 .

283.Докажите, что факторгруппа S4 K4 изоморфна груп-

пе S3 .

284. Докажите, что подгруппа H является нормальным делителем группы G , если:

1) G - аддитивная группа целых чисел, H - подгруппа чисел, кратных фиксированному числу m ;

51

3)H - подгруппа индекса 2 в группе G .

285.Найдите число классов сопряженных элементов в

287.Разложите группы S3 , S4 в классы сопряженных эле-

ментов.

288.Найдите все решения уравнения Коши x 1ax b , где

4)a (1,3)(4,5) , b (1,5)(2,3, 4) .

289.Покажите, что данные подстановки a и b являются сопряженными элементами группы S6 , найдите все решения

уравнения Коши x 1ax b , где

290. Докажите, что существует гомоморфизм группы S3 на группу G {1, 1}, . Найдите ядро гомоморфизма и фак-

торгруппу по ядру.

291. Пусть G1 ( , ) - аддитивная группа действительных чисел, G2 - мультипликативная группа, комплексных чисел, модуль которых равен единице. Докажите, что отображение: G1 G2 , определяемое формулой (x) cos 2 x i sin 2 x , есть гомоморфизм групп и найдите ядро этого гомоморфизма.

292.Докажите, что:

1)для любых элементов a , b мультипликативной группы G

одинаковый порядок имеют элементы a и a 1 , ab и ba ;

2)сопряженные элементы группы a и b 1ab имеют одинаковые порядки, но обратное утверждение неверно.

52

293.Докажите, что группа G порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней есть элемент порядка n .

294.Докажите: 1) если ord a m и ak e , то k m ; 2) если ord a m , ord b n , НОД(m, n) 1 и ab ba , то ord (ab) mn .

295.Докажите, что если : G1 G2 - изоморфизм групп, то для любого элемента a G1 верно ord a ord (a) .

296.Докажите, что любые два смежных класса (правых или левых) по подгруппе H либо не пересекаются, либо совпадают.

297.(Теорема Лагранжа) Докажите, что порядок и индекс подгруппы конечной группы являются делителями порядка самой группы.

298.Опишите все конечные группы, разбивающиеся ровно на два класса сопряженных элементов.

КОЛЬЦА И ИДЕАЛЫ

53

303. Покажите, что множества всех верхнетреугольных (нижнетреугольных) матриц, всех диагональных матриц, всех скалярных матриц (т.е. матриц вида E ) являются подкольцами кольца матриц Mn ( ) . Какие из них являются идеалами?

304. Выясните, являются ли идеалами кольца многочленов P[x] следующие множества: 1) множество всех многочленов

с фиксированным корнем c P ; 2) множество всех многочленов, кратных данному многочлену; 3) множество всех много-

308. Какие из следующих отображений являются гомоморфизмами указанных колец? Для гомоморфизмов найдите ядро:

54

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

309. Выясните, является ли вещественным линейным пространством относительно сложения матриц и умножения матрицы на число:

310.Выясните, является ли вещественным линейным пространством:

1)множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат на прямой y kx ;

2)множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат на прямой y kx b , b 0 .

311.Является ли линейным пространством множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы

положительных действительных чисел x (x1, x2 ) . Является ли L линейным пространством, если сложение двух элементов

313. Пусть L – это множество всех упорядоченных пар действительных чисел x (x1, x2 ) . Является ли L линейным пространством, если сложение двух элементов определяется равенством x y (x1 y1, x2 y2 ) , а умножение на действительное число равенством x ( x1, x2 ) ?

314. Может ли вещественное линейное пространство состоять: 1) из одного вектора; 2) из двух различных векторов?

55

315.Из вещественного линейного пространства исключен вектор x . Может ли полученное после этого множество остаться линейным пространством?

316.Выясните, является ли вещественным линейным про-

1)e1 (1, 0,1) , e2 (0,1, 0) , e3 (2,3, 4) , x (1, 3, 3) ;

2)e1 (1, 2, 1, 2) , e2 (2,3, 0, 1) , e3 (1, 2,1, 4) , e4 (1,3, 1, 0) ,

x(7,14, 1, 2) ;

3)e1 (1, 2,3) , e2 ( 1, 4, 0) , e3 (1,0,0) , x (5, 2, 6) ;

4)e1 (2,1, 3) , e2 (3, 2, 5) , e3 (1, 1,1) , x (6, 2, 7) .

318.Найдите координаты многочлена (1 x2 )(1 5x) в каноническом базисе пространства многочленов степени 4 .

319. Докажите, что система многочленов x2 1, x2 2x , x2 x образует базис в пространстве многочленов степени 2 . Найдите координаты многочлена 2x2 x 1 в этом базисе.

320. Укажите какой-либо базис пространства Mm n всех матриц размера m n . Докажите, что dim Mm n mn .

Образуют ли эти матрицы базис в данном пространстве?

56

x( 1, 2,1,1) .

325.Докажите, что каждая из двух данных систем векто-

57

327.Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: 1) поменять местами два вектора первого базиса;

2)поменять местами два вектора второго базиса;

3)записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

328.Докажите, что в пространстве Pn векторов-строк длины n над полем P следующие множества являются подпространствами:

1)множество векторов вида (x1, x2 ,..., xn 1,0) , где x1,..., xn 1 P ;

2)множество векторов вида ( , ,..., ) , где P ;

3)множество всех решений произвольной системы однородных линейных уравнений с n неизвестными над P .

329.Является ли подпространством множество всех векторов произвольного линейного пространства L , dim L n , координаты которых в фиксированном базисе удовлетворяют

330.Пусть L – множество векторов плоскости, выходящих из начала координат. Является ли подпространством множество всех векторов, концы которых лежат в первом и втором координатных углах?

331.Является ли подпространством множество всех матриц порядка n , удовлетворяющих условию:

1) A AT (симметричные матрицы); 2) det A 0 ?

332. Найдите базис и размерность подпространства линейного пространства n , порожденного данными векторами:

1)a1 (2,1,1, 0) , a2 (3, 2, 1, 2) , a3 (1,1, 2, 2) , a4 ( 1, 0, 3, 2) ;

2)a1 (1, 0, 0, 1) , a2 (2,1,1, 0) , a3 (1,1,1,1) , a4 (1, 2,3, 4) ,

a5 (0,1, 2,3) ;

3)a1 (1,1,1,1, 0) , a2 (1,1, 1, 1, 1) , a3 (2, 2,0,0, 1) , a4 (1,1, 5, 5, 2) , a5 (1, 1, 1,0,0) ;

4)a1 (2, 0,1,3, 1) , a2 (0, 2,1, 5, 3) , a3 (1,1,0, 1,1) , a4 (1, 3, 2,9, 5) .

58

2)a1 (1, 2,1, 2) , a2 (2,3,1, 0) , a3 (1, 2, 2, 3) ; b1 (1,1,1,1) , b2 (1, 0,1, 1) , b3 (1,3,0, 4) ;

3)a1 ( 1,6, 4,7, 2) , a2 ( 2,3,0,5, 2) , a3 ( 3,6,5,6, 5) ; b1 (1,1, 2,1, 1) , b2 (0, 2,0, 1, 5) , b3 (2,0, 2,1, 3) .

335.Найдите размерность и базисы подпространств A , B , A B , A B , если A и B - подпространства, порожденные

соответственно системами векторов a1 , a2 , a3 и b1 , b2 , где

a1 (1,1, 1) , a2 (1,0, 1) , a3 (2,1, 2) , b1 (1,1,0) , b2 ( 1, 1,1) .

Какому из этих подпространств принадлежит вектор x (2, 0, 1) ?

ство B - векторами b1 ( 1, 1,1, 1) , b2 (2, 2, 0,1) . Докажи-

нейного пространства V . Докажите, что: 1) если L1 L2 , то dim L1 dim L2 , причем равенство имеет место только при L1 L2 ;

59

338. Выпишите все двумерные векторы, координатами которых являются элементы поля 2 . Докажите, что это множе-

(1, a, a2 ) , (1, b, b2 ) , (1, c, c2 ) была базисом пространства P3 ? 340. Пусть L - линейное пространство над числовым

полем P . Покажите, что если векторы x, y, z пространства L

a1 (1,1, 0, 0,1) , a2 (0,1, 0,1,1) , a3 (1,0,1,1,0) , a4 (0,1,1,1,1) .

1) Выясните, является ли данная система векторов линейно зависимой. 2) Найдите базис и размерность подпространства L , натянутого на векторы a1 , a2 , a3 , a4 . 3) Выразите все век-

торы системы через найденный базис. 4) Дополните найден-

Покажите, что системы векторов a : a1,a2 ,a3 ,a4 и b : b1,b2,b3,b4

являются базисами пространства P4 . Найдите матрицу перехода от базиса a к базису b и обратно. Найдите координаты вектора a1 в базисе b . Найдите координаты вектора b2 в базисе a .

60