Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3416

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 213 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

2x1		x2	3x3	2x4	4x5	1
2) 4x1		2x2	5x3	x4	7x5	1	;
2x		x	x	8x	2x	1
	1	2	3	4	5
x1		2x2	2x3	7x4	0
3) x1		2x2	x3	5x4	1 .
2x		4x	x	8x	3
	1	2	3	4

73. Приведите примеры систем линейных уравнений, в которых одно из переменных: 1) не может быть включено ни в какую систему свободных неизвестных; 2) входит в любую систему свободных неизвестных;

3) входит в одну систему свободных неизвестных и не входит

вкакую-либо другую систему свободных неизвестных.

74.Дайте геометрическую интерпретацию для системы

трех линейных уравнений с тремя неизвестными над и множества ее решений при всех возможных значениях рангов основной и расширенной матриц.

75. Пусть X1 , X 2 ,					X3 - произвольные решения неодно-
родной системы линейных уравнений. Докажите, что
	1	X1	1	X 2		1	X3 ,	X1 X2 X3
3
		3			3

- решения этой же системы уравнений. При каких условиях на

коэффициенты линейная комбинация 1X1 2 X2

k Xk

любых решений X1, X2 , , Xk неоднородной системы линейных уравнений снова будет решением этой системы?

76.Докажите, что если ранг основной матрицы однородной системы линейных уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то любые два решения этой системы пропорциональны.

77.Пусть задана система линейных уравнений, в которой число уравнений на единицу больше числа неизвестных. Докажите, что если эта система совместна, то определитель ее расширенной матрицы равен нулю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

78. Изобразите геометрически множество решений системы неравенств:

	x 1 0
		0
1)	y 1	0	;
1)			;

	x y	3 0

	6x 7 y 42 0
	x 0

	y 0
4)		;
	z 0

x y 1 03x y 3z 0

	x 0
		y 2 0
	x	y 2 0
2)		y 1			;
	x	y 1	0
		2
	x	2
	2x y 2
		y 2
	x	y 2
5)		1		;
	x	1
	2x y 3

y 0

x 2

3) x 3y 3 ;x y 1 0

	3x y 0
		0
	x y	0
6)			6	.
	2x y		6
	x 2

3x y 4

79. Выясните, совместна ли данная система неравенств. Задание выполните двумя способами: а) геометрически, б) используя критерий совместности.

4x1		5x2		3,
		7x2	1,
2x1		7x2	1,
2x		x		2.
	1	2

80. Докажите, что данная система неравенств совместна, и найдите решение, сводя ее к системе линейных уравнений:

	x x x x 1					x1	x2	х3	1,
	1	2	3	4
	2x 3x 5x x 2 ;					2x1	2x2	x3		1, .
1)					2)
		1	2	3 4	х1		х2	х3	0,
		2x2	3x3	x4 6
	x1					x	x	x		2.

						1	2	3

81. Исследуйте совместность данной системы неравенств. Если система совместна, то найдите ее решение:

	x	x		x		4
	1		2		3
1)	x1 x2			x3		2		;
		x2		x3 2
	x1
	x		x		x		2
		1	2		3

	x1 3x2 x3 0
	2x		x	x		0
		1	2	3
2)			7 x2		4x3 0		.
	4x1		7 x2		4x3 0
	2x 6x 4x 0
			1	2		3
			1	2		3
	13x 19x 8x 1
			1	2		3

82. Задайте множество точек плоскости, находящихся внутри и на сторонах треугольника с вершинами A( 4, 0) , B(1,5) ,

C(6, 0) , системой линейных неравенств. Решите эту систему.

83. Решите систему неравенств, сводя ее к системе линейных уравнений. Изобразите геометрически область решений:

	x y 2 0					x 0					2x 3y 13 0
1)		4	0	;	2)				0 ;	3)
1)	x y	4	0	;	2)	3x y 8			0 ;	3)	x y 6 0 .
									0
						x 2 y 6			0
	y 0						3	0			4x y 19 0
						x y	3	0

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ: ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

84. Выясните, какие из следующих операций являются бинарными: 1) сложение (умножение, деление, вычитание) на

множестве		всех положительных действительных чисел;

2) операция взятия среднего арифметического на множестве всех рациональных чисел;

3) операция сложения (умножения) на множестве натуральных чисел, меньших (больших) данного числа n ;

4) сложение (умножение) матриц на множестве всех невырожденных матриц n -го порядка;

5) сложение векторов на множестве всех векторов плоскости, выходящих из начала координат с концами в первой четверти (в первой и третьей четвертях).

85. Приведите пример бинарной операции, которая:

1) ассоциативна, но не коммутативна; 2) коммутативна, но не

ассоциативна;	3) ассоциативна и коммутативна.
86. Выясните, какие из следующих операций являются би-
нарными на	множестве	{x	, x 0} положительных

действительных чисел. Укажите, какие из бинарных операций коммутативны, ассоциативны:

1)	a b	a b	; 2) a b	ab	; 3) a b a b 1; 4) a b ab2 .
				a b
	2

87. Является ли данная бинарная операция на множестве натуральных чисел коммутативной, ассоциативной?

1) x y x y ;	2) x y 5xy ;	3) x y x2 y2 .
88. Пусть на множестве		2 {(a, b) : a, b } упорядо-

ченных пар действительных чисел определены две операции:

(a, b) (c, d ) (a c, b d ) ,

(a, b) (c, d ) (a, d ) .

Являются ли эти операции коммутативными, ассоциативными, лево(право) дистрибутивными одна относительно другой?

89.Сколько различных бинарных операций можно задать на множестве из n элементов? Сколько из них коммутативны?

90.Составьте таблицу Кэли для следующих бинарных операций, заданных на множестве G {1, 2, 3, 4, 5, 6} :

1) a b min{2a, b} ; 2) a b a b max{a,b} .

По таблице определите, является ли операция коммутативной, существует ли нейтральный элемент.

	91.	Укажите, какие из следующих числовых множеств об-
разуют аддитивную группу:				,	2 ,	,	2 1,		,	,
\	,	{ 1, 0,1}.
	92.	Укажите, какие из следующих числовых множеств об-
разуют		мультипликативную		группу:		,	\ {0} ,		,	,
2	1,	, \ {0} , \	, {1, 1} ,		{1, 2,1 2},		{2n ,	n }.
	93.	Докажите, что множество матриц вида						a	b	где
	93.	Докажите, что множество матриц вида							,	где
								b	a
a, b		и a2 b2 0 ,	образует группу относительно операции
умножения. Будет ли эта группа абелевой?
	94.	Выясните, образует ли группу относительно операции
умножения множество матриц вида:

1)	a	b	,
1)			,
	b	b

a 0

3),a 0

a, b , a2 b2 0 ;	2)	0	0	,	a, b ;
a, b , a2 b2 0 ;	2)			,	a, b ;
		a	b
a , a 0 ;	4)	a	a	,	a , a 0 ;
a , a 0 ;	4)			,	a , a 0 ;
		a	a

5)	a		2a	,	a , a 0 ;	6)	a		b	,	a, b .
		0	0					0	0

95. Пусть		3 4			, где	, и E	- единичная
95. Пусть	A		3		, где	, и E	- единичная
	1 16		3	4

матрица второго порядка. Выясните, при каких значениях множество матриц G E, E, A, A образует группу относительно операции умножения.

96. Является ли группой относительно операции умноже-
				1) a b			;
ния множество чисел вида:						5; a, b
2) a b	5; a,b 2 ;			3) a b		5; a,b , a2 b2 0 ?
	a
99. Пусть G			; a	, k 0	. Выясните, являются ли
		7k

группами (G, ) и (G, ) .

100.Является ли группой множество ненулевых действительных чисел относительно операции , заданной равенством: a b abk , где k 0 - фиксированное действительное число?

101.Образует ли группу множество действительных чи-

сел, отличных от (-1), относительно операции *, заданной равенством a *b ab a b ?

102. Докажите, что множество матриц A( ) вида

cos	sin	, где - произвольное действительное чис-
A( )		, где - произвольное действительное чис-
sin	cos

ло, образует группу относительно операции умножения матриц. 103. Выясните, являются группами (G, ) и (G, ) , где:

1)	a		b	,	где a, b	, a 0 ;
	G - множество матриц вида
		0	1
2)	a		b	,	где a, b, c	, a, c 0 ;
	G - множество матриц вида
		0	c
3)	a		7b		, где a, b .
	G - множество матриц вида
	b		a

104.Образует ли группу относительно операции умножения множество всех матриц n -го порядка, элементами которых являются целые числа, а определитель равен 1 или -1?

105.Докажите, что множество упорядоченных пар (a, b)

действительных чисел, где a 0 , образует группу относительно операции , определяемой равенством (a1,b1) (a2 ,b2 ) (a1a2 , a1b2 b1) . Будет ли эта группа абелевой?

106.Докажите, что если квадрат любого элемента группы равен самому элементу, то группа абелева.

107.Докажите, что если a2 e для любого элемента a группы G , то эта группа абелева.

108.Докажите, что для любых элементов группы выпол-

няется равенство (ab) 1 b 1a 1 .

109. Выясните, в любой ли группе выполняются тожде-

ства: 1) (ab) 1(ab 1a 1) 1 a e ; 2) (aba 1b 1)(bab 1a 1) 1 e .

110. Для любых трех элементов a, b, c группы G выпол-

няется равенство abc cba . Верно ли, что группа абелева? 111. Выясните, какие из следующих числовых множеств

являются кольцами, полями относительно операций сложения
и умножения чисел: 1)		a b	2, где a,b ;
2) a b		;		3) a b3				.
	2, где a,b				2,	где a,b
112. Образует ли кольцо, поле относительно операций сло-
				a		0		?
жения и умножения множество матриц вида							, a, b
				0		b

113.Покажите, что в матричном кольце из предыдущей задачи имеются делители нуля.

114.Образует ли кольцо, поле относительно операций матричного сложения и умножения множество матриц вида:

1)	a	3b	, a, b ;	2)	a		b	, a, b ;
1)			, a, b ;	2)				, a, b ;
	b	a				0	a

3)	a	a	a	3a
3)		, a ;	4)	, a ?
	a	a	0	0
	115. Является ли кольцом, полем множество всех матриц
размера 2 2 над				0	1
размера 2 2 над			, перестановочных с матрицей			?
				2	0
	116. Докажите, что множество			всех действительных чи-
сел относительно операций сложения и умножения					, задан-

ных равенствами a b a b 1, a b a b ab , является полем. 117. Образует ли кольцо, поле относительно обычных операций матричного сложения и умножения данное множество матриц (с действительными элементами)? Укажите делители

нуля, если они есть.
1)	a		0	;		2)	a 0	;	3)	a	b		;
1)				;		2)		;	3)				;
		0 a					a 0			0	c
	a 0				0		a	0	0		a a			a
		1					11					1	2		n
4)		0 a2			0	; 5) a21		a22	0	; 6)		0 0		0		?
	. .				.		.	.	.		. .			.
		0 0						an2				0 0		0
		0 0			an		an1	an2	ann			0 0		0
		118. Докажите, что множество упорядоченных пар (a, b) ,
где		a, b			, относительно данных операций							и		является

коммутативным кольцом с единицей. Укажите в каждом кольце обратимые элементы. Укажите делители нуля, если они есть:

1)	(a, b) (c, d ) (a c, b d ) ,	(a, b) (c, d ) (ac, bd ) ;
2)	(a, b) (c, d ) (a c, b d ) ,	(a, b)	(c, d ) (ac bd , ad cb) ;
3)	(a, b) (c, d ) (a c, b d ) ,	(a, b)	(c, d ) (ad bc, bd ) .

119.Докажите, что в любом кольце с единицей множества обратимых элементов и делителей нуля не пересекаются.

120.Докажите, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют группу относительно умножения.

121.Докажите, что в поле нет делителей нуля.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

122. Выполните действия над комплексными числами в алгебраической форме:

1) i77 , i98 , i 57 , in ( n );

(1 i)8

;

(1 2i)2 (1 i)3

;

(1 i)6

(3 2i)3 (2 i)2

4) 8 6i ;

5 2i ;

6) 8i ;

7) 15 8i .

z z

123.

Вычислите

где

z 2 3i , z

3 4i ,

z1 z3

z3 1 i .

124. Вычислите

2 i

( 3 2i)

при

z 1 2i .

125. Решите системы уравнений:

(2 i)x (2 i) y 6

;

(1 i)x 2iy 2

;

(3 2i)x

(3 2i) y

(1 i)x

(2 i) y 3 3i

(3 i)x (4 2i) y 2 6i

;

2x (2 i) y i 0

(4 2i)x (2 3i) y

5 4i

2i)x

5y 1

2i 0

126. Решите уравнения:

1) (2 i)z2 (5 i)z (2 2i) 0 ;

2) (3 i)z2 (1 i)z 6i 0 ;

3) z2 (2 i)z ( 1 7i) 0 ;

4) z2 (3 2i)z 5 5i 0 .

127. Найдите тригонометрическую форму чисел:

1) 3;

2) 2i ;

3) 1 i ;

4) 1 i ;

5) 1 i 3 ;

6) 1 i

3 ;

7) 1 i

3 ;

8) 1 i

3 ;

10) 3 i ;

13) cos i sin ;

14) sin i cos .

11) 1 i

;

12) 2

3 i ;

128. Изобразите на комплексной плоскости множество

точек, удовлетворяющих условиям: 1) | z | 2 ;

2) | z 3i | 1 ;

3) | z 3 2i | 2 ; 4) 1 | z 1 2i | 3 ; 5) | z 1 i | 1, Re z 1, Im z 1;

6) 1 | z | 2 ,

arg z

;

7) | z 1 i | 1 , | arg z |

129. Вычислите, используя тригонометрическую форму комплексного числа:

														30							13
											3 i								1 i 3
	(1 i)12 ;			2) (1 i 3)150 ;							3 i								1 i 3
1)							3)							;				4)			;
1)							3)			1 i				;				4)	1 i		;
										1 i									1 i

																		( 1 i
5)		(1 i	3)12	(1 i	3)6	;	6)		( 1 i						3)15			( 1 i		3)15	;
5)						;	6)			(1 i)20								(1 i)20			;
			(1 i)12							(1 i)20								(1 i)20
																	24
												3				i
7) ( 3 i)65 ( 3 i)65 ;												3				i
							8) 1										.
							8) 1										.
												2				2
												2				2

		130. Найдите значения:					1)	4 4 ;					2)				3 i ;		3) 3 2 2i ;

4)		6 27 и изобразите их точками комплексной плоскости.
		131. Вычислите:

;

2) 4 8 3i 8 ;

1 i

1 5i

1 2i

2 ;

2 i

1 i

(2 2i)7 ( 1

i)5

;

(

3 i)13

132. Вычислите:

			8 24i
3)	3		8 24i			;				4) 4		18		;
			3 i

								1					3i

6)	4	7 2		i			4		14i		(8 2i) ;
6)	4										(8 2i) ;
	1 i 2								2 2i

8)	4		32					.

		9(1 i
					3)
					3)

	1			2 2			1			2 3			i		1 i 4k
1)			i		;	2)			i		;	3)			i	.
		2	i	1				2	i	1				0	i

133. Выясните, обратимы ли данные матрицы. Найдите обратные матрицы, если они существуют.

1 2i		i	2 i		2 3i		0	2 i

A	0	1 3i	2 i	,	B	1 4i	1 i	3 5i .
	1 i	3 5i				5i	2 2i
	1 i	3 5i	3 i			5i	2 2i	4 9i

	134. Решите уравнения:
1)	z2 2z 3 0 ;	2) \| z \| z 8 4i ;		3) \| z \| z 8 12i .
	135. Найдите arg z (z ) , если:
1)	z z \| z \| ;	2) z z i \| z \| .
	136. Найдите все комплексные числа, каждое из которых
сопряжено со своим квадратом.
	137. Найдите все комплексные числа, сопряженные своему
кубу.
	138. Докажите, что:
1)	комплексное число z		является вещественным тогда и толь-
	ко тогда, когда z z ;
2)	комплексное число z		является чисто мнимым тогда и толь-
	ко тогда, когда z z .
	139. Докажите равенство
	\| z1 z2 \|2 \| z1 z2 \|2 2 \| z1 \|2 \| z2 \|2
для произвольных комплексных чисел				z1 , z2 . Выясните его
геометрический смысл.

140.Найдите сумму всех корней n -й степени из единицы.

141.Найдите произведение всех корней n -й степени из единицы.

142.Найдите все первообразные корни n -й степени из единицы при n 2, 3, 4, 6, 8, 12 .

143.Докажите, что если является первообразным корнем n -й степени из единицы, то и сопряженное число также является первообразным корнем n -й степени из единицы.

144.Образует ли группу относительно операции сложения: 1) множество чисто мнимых комплексных чисел; 2) множество комплексных чисел, модуль которых равен 1?

145. Является	ли множество комплексных чисел вида
a ib , где a, b :	1) кольцом, 2) полем?

<<< < Предыдущая 1 23 / 213 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20224.88 Mб43403.pdf
#
15.11.20224.89 Mб03404.pdf
#
15.11.20224.89 Mб13405.pdf
#
15.11.20224.96 Mб43410.pdf
#
15.11.20224.99 Mб13415.pdf
#
15.11.20225 Mб23416.pdf
#
15.11.20225.01 Mб23417.pdf
#
15.11.20225.04 Mб23419.pdf
#
15.11.20225.06 Mб23422.pdf
#
15.11.20225.07 Mб63424.pdf
#
15.11.20225.13 Mб33429.pdf