3416

2n

3(2n 7n )

n 2n 1

7n

3(7n 2n )

n 7n 1

n

n

19)

0

7

0

; 20)

0

2

0

.

0

0

2n

0

0

7n

G .

1)

k 36 , m 3 ;

2)

k 15 , m 3 ;

3)

k 18 , m 3 ;

4)

k 21, m 3 ;

5)

k 24 , m 3 ;

6)

k 27 , m 3 ;

7)

k 30 , m 3 ;

8)

k 32 , m 4 ;

9)

k 14 , m 2 ;

10)

k 16 , m 2 ;

11)

k 18 , m 2 ;

12)

k 20 , m 2 ;

13)

k 22 , m 2 ;

14)

k 24 , m 2 ;

15)

k 26 , m 2 ;

16)

k 28 , m 2 ;

17)

k 30 , m 2 ;

18)

k 20 , m 4 ;

19)

k 24 , m 4 ;

20)

k 28 , m 4 .

ЗАДАЧА

72. Найдите с точностью до изоморфизма все абеле-

вы группы данного порядка k :

1)

k 75 ;

2)

k 96 ;

3)

k 100 ;

4)

k 126 ;

5)

k 88 ;

6)

k 90 ;

7)

k 75 ;

8)

k 225 ;

9)

k 64 ;

10)

k 72 ;

11)

k 180 ;

12)

k 242 ;

13)

k 56

;

14)

k 48 ;

15)

k 108 ;

16)

k 135 ;

17)

k 78

;

18)

k 36 ;

19)

k 196 ;

20)

k 189 .

ЗАДАЧА

73.

Выясните, изоморфны ли данные группы

m n

и

p q :

це целых чисел;

2)

множество {a b 3; a, b 2 } в кольце {a b

3; a, b } ;

3)

множество M 0,

2, 4 в кольце вычетов

6 ;

4)

множество {a bi;

a, b 3 } в кольце {a bi;

a, b } ;

9) множество матриц

a

0 ; a

в кольце квадратных

0

0

матриц второго порядка над полем

;

10) множество матриц

a

0 ; a, b

в кольце квадратных

0

b

матриц второго порядка над полем

;

11) множество матриц

a

b ; a, b

в кольце квадратных

0

0

матриц второго порядка над полем

;

12) множество матриц

a

0 ; a, b

в кольце квадратных

b

0

матриц второго порядка над полем

;

13) множество матриц

a

2a

; a, b

в кольце квадрат-

b

2b

ных матриц второго порядка над полем

;

14) множество M 0,

3 в кольце вычетов

6 ;

данного порядка n 1 над полем P ;

20) множество всех матриц, последние r

строк которых нуле-

вые,

1 r n , в кольце

Mn (P) всех

квадратных матриц

данного порядка n 1 над полем P .

ЗАДАЧА 75. Выясните,

является ли данное отображение f

гомоморфизмом указанных колец:

1) f : M2 ( ) ,

a

b

a ;

f

c

d

2) f :

a

b ; a, b

,

f a

b a b ;

b

a

b

a

3) f :

a

b ; a, b

,

f a

b a b ;

b

a

b

a

4) f :

a

a ; a, b

,

f a

a a b ;

b

b

b

b

5) f :

a

a ; a, b

,

f a

a a b ;

b

b

b

b

6)

f :

a

0 ; a, b

,

f a

0 a ;

0

b

0

b

7)

f :

a

0 ; a, b

,

f a

0 b ;

0

b

0

b

8)

f :

a

0 ; a, b

,

f a

0 a b ;

0

b

0

b

9) f : [ 2] ,

f (a b 2) a ;

10)

f :

[

2]

,

f (a b

2) b ;

11)

f :

[

2]

[

3],

f (a b

2) a b

3 ;

12)

f :

a

b

; a, b

[

2], f a

b a b

;

2

2b a

2b

a

M2 (

a

0

13)

f :

) ,

f (a)

;

0

0

14)

f :

[

2]

[

2] ,

f (a b

2) a b

2 ;

18)

f :

2

,

f (a) 2a ;

19)

f :

,

f (a bi) a ;

20)

f :

[ 3]

[ 5] , f (a b

3) a b 5 .

щих кольцу

[x] ;

5)

0

a

;

a, b, c

множество матриц

;

b

c

6)

множество векторов из

n , для которых сумма и произве-

дение

на

число

определены

следующим

образом:

x y (x1 y1, x2 y2 ,..., xn yn ) и

x ( x1, x2 ,..., xn ) ,

где

x, y

n ,

;

7)

множество векторов из

n , для которых сумма и произве-

дение

на

число

определены

следующим

образом:

x y (x1 y1, x2 y2 ,..., xn yn )

и

x ( x1, x2 ,..., xn ) ,

где

x, y

n ,

;

8)

множество всех диагональных матриц над порядка n ;

9)

a

b

;

a,b

множество матриц

;

b

a

разом: a b ab и a a

(a, b ; a, b 0) ;

14)

множество всех

n -мерных векторов

x (x1, x2 ,..., xn ) ,

xi

, удовлетворяющих условию x1 x2 ... xn 0 ;

15)

множество векторов пространства

n , у которых совпада-

ют первая и последняя координаты;

16)

множество векторов пространства

n , у которых коорди-

наты с четными номерами равны нулю;

17)

множество векторов пространства

n

с координатами

( , , , ,...) ;

18)

множество векторов пространства

n , у которых послед-

ние две координаты совпадают;

19)

множество всех

n -мерных векторов

x (x1, x2 ,..., xn ) ,

xi

, удовлетворяющих условию x1xn 1 ;

20)

множество всех

n -мерных векторов

x (x1, x2 ,..., xn ) ,

xi

, удовлетворяющих условию x1 x2

... xn .

базис пространства

3 :

1)

e1 (1, 4, 6),

e2

(1, 1,1),

e3

(1,1,3);

2)

e1 (2, 3,1),

e2 (3, 1,5),

e3 (1, 4,3);

3)

e1 (5, 4, 3),

e2

(3, 3, 2),

e3

(8,1,3);

4)

e1 (1,1,1),

e2

(0,1,1), e3 (1, 4,3);

5)

e1 (1, 1, 2),

e2 ( 1,1, 1),

e3 (2, 1,1);

6)

e1 (1, 2, 3),

e2

(4, 5, 6),

e3

(7,8,9);

7)

e1 (1,1,1),

e2

(1, 2,3),

e3 (1,3,6);

8)

e1 (3, 4, 5),

e2 (8, 7, 2),

e3 (2, 1,8);

9)

e1 (3, 2, 4),

e2 (4,1, 2),

e3 (5, 2, 3);

10)

e1 (7,3, 5),

e2 (2, 1,8),

e3 (1, 4,1);

11)

e1 (5, 6,1),

e2 (3, 5, 2),

e3 (2, 1,3);

12)

e1 (7,1, 3),

e2 (2, 2, 4),

e3 (3, 3,5);

13)

e1 (1, 2, 3),

e2

(6, 5, 9),

e3

(7,8,9);

14)

e1 (2,1, 0),

e2

( 5, 0,3),

e3

(3, 4,3);

15)

e1 (2, 0, 2), e2

(1, 1, 0),

e3

(0, 1, 2);

16)

e1 ( 2,1,5),

e2 (4, 3, 0),

e3 (0, 1,10);

17)

e1 (3, 1, 5),

e2 (1, 4, 6),

e3

(3,3, 2);

18)

e1 (1, 3, 6),

e2

(1, 1, 2),

e3

(2, 1,8);

19)

e1 (2,1, 4),

e2 (5, 2, 3),

e3 (1, 1,0);

20)

e1 ( 1,1,1),

e2 (3, 2, 4),

e3 (4,1, 2).

ЗАДАЧА 78. Докажите, что векторы a, b,

c

образуют базис

пространства

3 . Найдите координаты вектора x в этом бази-

се, сделайте проверку.

1)

a (5, 4,1) ,

b ( 3,5, 2) ,

c (2, 1,3) ,

x (7, 23, 4) ;

2)

a (2, 1, 4) ,

b ( 3, 0, 2) ,

c (4,5, 3) ,

x (0,11, 14) ;

3)

a ( 1,1, 2) ,

b (2, 3, 5) ,

c ( 6,3, 1) ,

x (28, 19, 7) ;

4)

a (1,3, 4) ,

b ( 2,5, 0) ,

c (3, 2, 4) ,

x (13, 5, 4) ;

5)

a (1, 1,1) ,

b ( 5, 3,1) ,

c (2, 1, 0) ,

x ( 15, 10,5) ;

6)

a (3,1, 2) ,

b ( 7, 2, 4) ,

c ( 4, 0,3) ,

x (16, 6,15) ;

7)

a ( 3, 0,1) ,

b (2, 7, 3) ,

c ( 4,3,5) ,

x ( 16,33,13) ;

8)

a (5,1, 2) ,

b ( 2,1, 3) ,

c (4, 3,5) ,

x (15, 15, 24) ;

9)

a (0, 2, 3) ,

b (4, 3, 2) ,

c ( 5, 4, 0) ,

x ( 19, 5, 4) ;

10)

a (3, 1, 2) , b ( 2,3,1) ,

c (4, 5, 3) ,

x ( 3, 2, 3) ;

11)

a (5,3,1) ,

b ( 1, 2, 3) ,

c (3, 4, 2) ,

x ( 9,34, 20) ;

12)

a (3,1, 3) , b ( 2, 4,1) ,

c (1, 2,5) ,

x (1,12, 20) ;

13)

a (6,1, 3) , b ( 3, 2,1)

,

c ( 1, 3, 4) ,

x (15, 6, 17) ;

14)

a (4, 2,3) ,

b ( 3,1, 8) ,

c (2, 4,5) ,

x ( 12,14, 31) ;

15)

a ( 2,1,3) , b (3, 6, 2) ,

c ( 5, 3, 1) ,

x (31, 6, 22) ;

16)

a (1,3, 6) ,

b ( 3, 4, 5) ,

c (1, 7, 2) ,

x ( 2,17,5) ;

17)

a (7, 2,1) ,

b (5,1, 2)

,

c ( 3, 4,5) ,

x (26,11,1) ;

18)

a (3,5, 4) ,

b ( 2, 7, 5) ,

c (6, 2,1) ,

x (6, 9, 22) ;

19)

a (5,3, 2) ,

b (2, 5,1)

,

c ( 7, 4, 3) ,

x (36,1,15) ;

20)

a (9,5,3) ,

b ( 3, 2,1)

,

c (4, 7, 4) ,

x ( 10, 13,8) .

векторов e ,e

2

,e

3

и f , f

2

, f

3

образует базис пространства 3 .

1

1

Найдите

матрицу

перехода

от базиса

e1,e2 ,e3

к базису

f , f

2

, f

3

,

где

e

(1,0,0),

e

2

(1,1,0),

e

3

(1,1,1) ,

а векторы

1

1

f

, f

2

, f

3

заданы согласно вашему варианту.

1

1)

f1 (1, 2,3) ,

f2

(0,1, 2) ,

f3 (0,0,1) ;

2)

f1 (1,0,1) ,

f2

(0,1,0) ,

f3 (1,1,0) ;

3)

f1 (1,0, 2) ,

f2

(1, 2,0) ,

f3 (1,0,0) ;

4)

f1 (1,1,1) ,

f2

(1, 2,0) ,

f3 (2,0,0) ;

5)

f1 (1,0, 2) ,

f2

(2,0,1) ,

f3 (0,1,0) ;

6)

f1 (2,1, 2) ,

f2

(1,1,0) ,

f3 (0,1,0) ;

7)

f1 (2, 2,3) ,

f2

(2,1,0) ,

f3 (2, 2, 2) ;

8)

f1 (1,1,1) ,

f2

(2,1, 2) ,

f3 (2,3,1) ;

9)

f1 (1,3,1) ,

f2

(1,1, 2) ,

f3 (0,1,0) ;

10)

f1 (1, 2,3) ,

f2

(0,1, 2) ,

f3 (1,0,1) ;

11)

f1 (1,0,1) ,

f2

(0, 2,0) ,

f3 (3, 4,0) ;

12)

f1 (2,0, 4) ,

f2

(1, 2,0) ,

f3 (3,0,0) ;

13)

f1 (1,1, 2) ,

f2

(2,1,0) ,

f3 (0, 2,0) ;

14)

f1 (1,0,3) ,

f2

(2,0,5) ,

f3 (0,1,0) ;

15)

f1 (2,1, 2) ,

f2

(4, 2,0) ,

f3 (0,3,0) ;

16)

f1 (2, 2,3) ,

f2

(2,1,0) ,

f3 (2, 2,5) ;

17)

f1 (2,3,1) ,

f2

(2,1, 2) ,

f3 (1,1,1) ;

18)

f1 (1,3, 4) ,

f2

(1,1,5) ,

f3 (0,1,0) ;

19)

f1 (2,1,5) ,

f2

(0,1,3) ,

f3 (1,1,0) ;

20)

f1 (4,1,0) ,

f2

(1,3,5) ,

f3 (2, 2, 2) .