3416

ства 3 в себя являются линейными операторами. Для линейных операторов найдите их матрицы в каноническом базисе.

Найдите матрицу линейного оператора C A 2B в том же базисе. Запишите явный вид этого оператора.

A и B . Найдите матрицу линейного оператора C AB BA и его явный вид в каноническом базисе пространства 3 , если:

1)Ax (7x1 4x3,4x2 9x3,3x1 x2 ) , Bx (x2 6x3,3x1 7x3, x1 x2 x3) ;

2)Ax (2x1 x2 5x3, x1 4x2 x3, 3x1 5x2 2x3 ) ,

Bx (x1 4x2 3x3, 2x1 x3, 3x2 x3 ) ;

3) Ax (3x1 x2 2x3, 3x1 2x2 4x3, 3x1 5x2 x3 ) ,

Bx (2x1 x2 , x1 x2 2x3, x1 2x2 x3 ) ;

4)Ax (3x1 x2 x3, 2x1 x2 2x3, x1 2x2 3x3 ) , Bx (x1 x2 x3, 2x1 x2 x3, x1 x2 ) .

61

348. Установите, какие из данных операторов имеют обратные и найдите явный вид обратного оператора:

1) Ax (x1 x2 x3, x3, x2 ) ; 2) Ax (x2 2x3, x2 , 2x2 x3 ) ;

3)Ax (x2 x3, 2x1 x3, 3x1 x2 x3 ) ;

4)Ax (x1 2x2 2x3, 2x1 x2 2x3, 2x1 2x2 x3 ) .

349. Пусть в базисе e : e1, e2 , e3 линейный оператор A име-

вбазисе f : f1 e1 , f2 e1 e2 , f3 e1 e2 e3 , f4 e1 e2 e3 e4 .

351.Пусть линейный оператор, действующий в простран-

1)1, x, x2 ; 2) 1,1 x,1 x x2 . Имеет ли оператор D обратный?

353.Пусть A и B - линейные операторы, действующие в

62

3)(x, y, z) (x y, y 2z, x 2 y 2z) ;

4)(x, y, z) (2x 3y z, 2x y z, x 3y z) .

355.Найдите собственные значения и собственные векторы данной матрицы. Приводима ли матрица к диагональному виду?

356.Приводима ли данная матрица к диагональному виду?

Вслучае положительного ответа укажите базис из собственных векторов и выпишите вид матрицы в этом базисе:

63

371. В некотором базисе линейный оператор A задан мат-

диагональной матрицей, и найдите матрицу перехода к новому базису.

358. В декартовой системе координат Oxy на плоскости оператор A есть ортогональное проектирование векторов, выходящих из начала координат, на ось Oy . Выясните, будет ли

инвариантным относительно оператора A следующее подпространство: 1) биссектриса первого и третьего координатных углов; 2) ось Ox ; 3) ось Oy .

L1 -подпространство, порожденное векторами a (1,1, 0) ,b (1, 0, 1) . Будет ли L1 инвариантным относительно оператора A ?

360. Найдите в линейном пространстве 3 все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора,

361. Докажите, что если оператор A - обратим, то опера-

торы A и A 1 имеют одни и те же собственные векторы, а собственные значения взаимообратны.

362. Пусть x1 и x2 - собственные векторы линейного оператора A . Является ли вектор x1 x2 собственным вектором

оператора A ?

363. Пусть x - собственный вектор линейных операторов A и B . Докажите, что x является собственным вектором операторов AB и A B . Найдите соответствующие собственные значения.

64

оператор A . Найдите связь между собственными значениями этих операторов.

365.Докажите, что линейная оболочка каких-нибудь собственных векторов оператора является инвариантным относительно этого оператора подпространством.

366.Пусть 1 и 2 - не равные друг другу собственные

значения линейного оператора A , а x1 и x2 - соответствующие им собственные векторы. Докажите, что векторы x1 и x2 линейно независимы.

367.Докажите, что всякий линейный оператор переводит линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую. Верно ли аналогичное утверждение для линейно независимой системы векторов?

368.Найдите жорданову форму матрицы:

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

369. Докажите, что для любых векторов x , y евклидова пространства L , S справедливы следующие утверждения:

тогональны.

65

1) скалярное произведение; 2) длины векторов; 3) угол между векторами.

374. Докажите, что в пространстве P2 многочленов степе-

ни, не превосходящей 2, скалярное произведение элементов f (x) и g (x) можно ввести по формуле

( f , g) f ( 1) g( 1) f (0) g(0) f (1) g(1) .

375. Пусть P2 - евклидово пространство, рассмотренное в

задаче 374. Вычислите нормы многочленов f (x) 1 x x2 , g(x) 1 x и найдите угол между ними. Напишите выражение скалярного произведения двух произвольных элементов пространства P2 через их координаты в базисе 1, x, x2 .

376.Докажите, что в вещественном евклидовом пространстве неравенство Коши-Буняковского переходит в равенство тогда и только тогда, когда векторы x и y линейно зависимы.

377.Докажите, что норма элементов евклидова пространства (вещественного или комплексного), введенная по форму-

ле x(x, x) , удовлетворяет следующим условиям:

66

378. Пусть y - фиксированный ненулевой вектор евклидо-

ва пространства, - фиксированное число. Является ли множество всех векторов x , для которых (x, y) , подпространством данного евклидова пространства?

379.Найдите нормированный вектор, ортогональный век-

торам a1 (1, 3,1, 2) , a2 ( 2,1,1, 2) , a3 (2,1,0,1) .

380.Применяя процесс ортогонализации, постройте ортогональный базис подпространства, порожденного данной системой векторов:

4)g1 (2,1,3, 1) , g2 (7, 4,3, 3) , g3 (1,1, 6,0) , g4 (5,7,7,8) .

381.Постройте ортонормированный базис подпространства, порожденного данной системой векторов:

1)a1 (2,1, 3, 1) , a2 (7, 4,3, 3) , a3 (1,1, 6,0) , a4 (5, 7, 7,8) ;

2)a1 (1, 2,1, 3) , a2 (4,1,1,1) , a3 (3,1,1,0) , a4 (2, 2,1, 4) .

382.Проверьте, что данная система векторов ортогональна и дополните ее до ортогонального базиса всего пространства:

Требуется: 1) построить ортонормированный базис подпространства A ; 2) дополнить этот базис до ортонормированного базиса всего евклидова пространства.

67

384.Найдите базис ортогонального дополнения L подпространства L , порожденного данной системой векторов:

1)a1 ( 2,1, 0, 0) , a2 ( 1, 0, 1,1) , a3 ( 3,1, 1,1) ;

2)a1 (1,3, 0, 2) , a2 (3, 7, 1, 2) , a3 (2, 4, 1,0) ;

3)a1 (1, 2, 2,1) , a2 (1,1, 5, 3) , a3 (3, 2,8, 7) ;

4)a1 (1,1, 1, 2) , a2 (5,8, 2, 3) , a3 (3,9,3,8) .

385.Найдите базис ортогонального дополнения L к подпространству решений данной системы уравнений:

386. Подпространство L – это множество решений данной системы уравнений. Найдите систему уравнений, задающую

387.Найдите проекцию вектора x на подпространство L

иортогональную составляющую вектора x :

1)x (4, 1, 3, 4) , L (1,1,1,1), (1,2,2,-1), (1,0,0,3) ;

2)x (5, 2, 2, 2) , L (2,1,1, 1), (1,1,3,0), (1,2,8,1) ;

3)x (7, 4, 1, 2) , L задано системой уравнений

68

388. Ненулевые векторы u1,...,uk евклидова (унитарного) пространства попарно ортогональны, т.е. (ui , u j ) 0 при i j . Докажите, что векторы u1,...,uk линейно независимы.

389. В линейном пространстве P2 многочленов степени, не превосходящей 2, скалярное произведение элементов f (x) и

1

g(x) задано формулой ( f , g) f (x)g(x)dx . Постройте орто-

тельно некоторого ортонормированного базиса B : e1, e2 ,..., en :

391. Линейный оператор A , действующий в евклидовом

69

Является ли оператор A ортогональным, если разложение век-

дено по формуле ( f1, f2 ) A1A2 B1B2 . 1) Докажите, что элементы e1 sin x и e2 cos x образуют ортонормированный базис пространства L . 2) Найдите матрицу оператора дифференцирования D в базисе e1, e2 . 3) Найдите матрицу сопряженного

оператора D* в базисе e1, e2 и запишите явный вид этого опе-

ратора. 4) Докажите, что оператор D является ортогональным. 393. Докажите следующие свойства сопряженного опера-

тора: 1) ( A* )* A , 2) ( A B)* A* B* , 3) ( AB)* B* A* ,

4)( A)* A* , 5) AA* и A* A - самосопряженные операторы.

394.Докажите, что если оператор A имеет обратный, то

сопряженный оператор A* также имеет обратный и справедливо равенство ( A* ) 1 ( A 1)* .

395. Докажите следующие свойства самосопряженного оператора: 1) собственные значения действительны; 2) собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

396. Докажите, что если A и B - самосопряженные операторы, то: 1) AB BA - самосопряженный оператор; 2) при

оператор ( AB BA) самосопряжен.

397. Покажите, что в пространстве многочленов степени2 со скалярным произведением ( f , g) a0b0 a1b1 a2b2 , где

70