Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3416

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 212 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

	2	1	4	3	5			5	2	1	3	2		1	2	3 4		5
	3	4	0	5	0			4	0	7	0	0		0	6	0	4	1
4)	3	4	5	2	1	;	5)	2	3	7	5	3	; 6)	2 4 1			3	5	;
	1	5	2	4	3			2	3	6	4	5		1	3	5	2	4
	4	6	0	7	0			3	0	4	0	0		0	5	0	3	2

	7	6	5	4	3	2			1	2	0	0	0	0
	9	7	8	9	4	3			3	4	0	0	0	0
7)	7	4	9	7	0	0	;	8)	7	6	5	4	0	0	;
	5	3	6	1	0	0			2	3	4	5	0	0
	0	0	5	6	0	0			5	1	2	6	7	3
	0	0	6	8	0	0			2	7	5	3	4	1
		2	3	4	5	3			1	0	2	0	3		0
	1	2	3	4	5	3			1	0	2	0	3		0
	6	5	7	8	4	2			5	1	4	2	7		3
9)	9	8	6	7	0	0	;	10)	1	0	4	0	9		0	.
	3	2	4	5	0	0			8	1	5	3	7		6
	3	4	0	0	0	0			1	0	8	0	27		0
	5	6	0	0	0	0			9	1	5	4	3	10

31. Пусть A - квадратная матрица второго порядка, а B - квадратная матрица третьего порядка. Выразите следующие определители через определители матриц A и B :

0	A	,	A	C	,	C	A	.
B	C		0	B		B	0

ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ

					2		2	1		5	6
32.	Вычислите 3A B	T	T	3B , где		3	4	1		5	6
32.	Вычислите 3A B		, 2A	3B , где	A	3	4	, B	2	2	3	.
						5	6		2	2	3
						5	6
33.	Вычислите произведение матриц:

	3		2		3			4						cos
1)			4						;			2)
		5	4			2		5						sin
	1		5	3				2	3		5				1
	1		5	3
3)		2	3				1 4			2		;		4)		3
		2	3	1				3	1							2
								3	1		1					2
	1		1 3				1 5				2				2
															2
5)		1	1 3						0 3		1		;	6)		0
		2	2 6						2 1							0
		2	2 6						2 1		1
	0		0	1		1			1						1
		1	1 2			1			1		4					2
		1	1 2								4					2
7)		2	2 3				2 2					;		8)		0
		2	2 3					1			1					0
		3	3	4				1	1							0
		3	3	4												0
	4		3 28						93 7 3
9)														;
		7	5		38			126		2			1

sin			cos				sin
cos										;
cos			sin				cos
3		2	2			5	6

4		1		1 2			5	;
5		3		1		3	2
5		3		1		3	2
1 3			2			1	2	1
1 3							2	1
1	2		0			2			;
1	2			1			3	0
				1		1
2	0	0	1			1	0	0

1	0	0			1 1		0 0		;
0	1	3			0 0		1 1
							1
0	3	1			0 0		1	1

10)	1	2 3	11)	2		1 n		12)	1	1 n
10)		;	11)				;	12)		.
	3	4			3	2			0	1
	34.	Найдите матрицы				AB ,	( AB)T ,	AT BT ,		BT AT , если

1		0	1		1		2
1		0	1	,		1	0	T	B	T T
A	2	3	2	,	B	1	0	. Проверьте равенство ( AB)	B	A .
	2	3	2			3	1
						3	1

35. Для данных матриц A и B найдите ( A 3B)2 , если

	1 4		7			2		1	1
A		2 5	8	,	B		1	0 2		.

		3 6	9				4	1	0
		3 6	9				4	1	0

36. Для данных матриц A и B найдите ( AB)3 , если

10		4
	11	4		5		7 11	3
A	11	4	,	B	3	11 27	5	.
	3	1			3	11 27	5
	2
	2	1

37. Найдите значение данного выражения (здесь E - единичная матрица соответствующего размера):

1)	A2 2A 5E ,				где		4				3			;
1)	A2 2A 5E ,				где	A			2		1			;
									2		1
2)	A3 4 A2 A E ,				где		1					2		;
2)	A3 4 A2 A E ,				где	A			2			1		;
									2			1
							1				2			3
3)	3A2 2A 5E ,				где	A			2		4			1	;

									3		5			2
									3		5			2
							5				2		3
4)	A3 7 A2 13A 5E ,				где	A		1			3		1 .

								2			2
								2			2		1
	38. Для данных матриц A и B найдите														AB ,		BA ,	A B ,
A B , A2 B2 ,			2A2 4A 5E ,			где			E		-	единичная матрица.
Вычислите определители матриц							A ,				B ,		AB ,			A B ,		AT BT ,
AT BT , A2 B3 . Верно ли равенство A2										B2			( A B)( A B) ?
		2 4 3		5							3 1 1					2
			1 1 0							3 0					4 2
	A		1 1 0	1 ,		B				3 0					4 2
	A		3 2 1	4		B					1 2 0 4
			3 2 1	4							1 2 0 4
				2							1 2 1 3
		1 3 4		2							1 2 1 3

39. Пусть A - матрица размера 5 5 и | A | 3 . Чему равен

определитель матрицы 2 A2 ?

40. Как изменится произведение AB матриц A и B , если:

а) переставить i -ю и	j -ю строки матрицы A ;
б) к i -й строке матрицы A прибавить			j -ю строку, умножен-
ную на число c ;
в) переставить i -й и	j -й столбцы матрицы B ;
г) к i -му столбцу матрицы		B прибавить j -й столбец, умно-
женный на число c ;
41. Докажите равенства:		а) (cA)T cAT , где c - число;
б) ( A B)T AT BT ;	в) ( AT )T A ;		г) ( AB)T BT AT .

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

42. Для данной матрицы найдите обратную матрицу и сделайте проверку, т.е. убедитесь, что AA 1 E :

	1	2			3		4	5			2		4	1
1)	1	2	;	2)				1	;	3)					;
1)			;	2)		2	3	1	;	3)		1	5	3	;
	3	5
	3	5				3	5					1	1 1
						3	5	1				1	1 1

	2		5 7						1 1			1	1		1 2			3 4

4)		6	3 4				;	5) 1 1				1	1 ;		6) 2 3			1 2 .
4)		6	3 4				;	5) 1 1				1	1 ;		6) 2 3			1 2 .
		5	2	3					1		1	1	1			1 1		1 1
		5	2	3							1	1					2
									1		1	1	1			1 0	2		6
		43. Решите матричные уравнения:
	1		2			3		5							3	2		1 2
1)			X							;			2) X			4			5 6		;
		3	4				5	9							5	4			5 6
3)	3		1			5		6		14 16			;
3)				X									;
		5	2				7	8			9	10
	1		2 3					1		3	0		5		3	1	8 3			0
4)		3	2 4		X			10		2 7		; 5) X		1	3	2		5 9		0		;

		2	1	0						7 8				5	2			2 15		0
		2	1	0				10		7 8				5	2	1		2 15		0

	1 0			0		0 5			0	4		5	2
6)		0	0	2	X		4	0	0		8	10	4	;

		0	3	0			0	0	2				6
		0	3	0			0	0	2	12 15			6

			1 1			1		1	1 3							1 1		1	1	2
								1	1 3				;	8)					1	2
7) X				2 1		0							;	8)		X 1 3		6		;
				1	1			4 3			2							4	3	4
				1	1	1										1 2		4
	2			3	1		9 7 6					2		0 2

9)		4		5	2	X		1 1 2					18 12			9	.
		5		7	3			1 1 1					23 15			11
		5		7	3			1 1 1					23 15			11
		44. Решите систему (в матрицах второго порядка):
			2 1			3 1					2 8
					X			Y					,
			1 1			2 1					0 5
				1		2		1			4			9
3				1		2		1			4			9
				X				Y						.
				X				Y						.
	1			1		1		1			1		4
	1			1		1		1			1		4
		45. Определите, при каких значениях																данная матри-
ца имеет обратную:
									1		5			2
										0		1		4	.

												0		0
												0		0
		46. Докажите равенства:
а) ( A 1) 1 A ;							б) ( AB) 1 B 1 A 1 ;									в) ( A 1)n ( An ) 1 .
		47. Как изменится обратная матрица															A 1 ,	если в данной
матрице A : а) переставить i -ю и														j -ю строки;
б)	i -й строку умножить на число c 0 ;
в) к i -й строке прибавить										j -ю строку, умноженную на число c ?
		48. Пусть				A - квадратная матрица и A2 A E O . Дока-
жите, что матрица A - невырожденная и найдите A 1 .
		49. В определителе n -го порядка каждый элемент заме-

нили на его алгебраическое дополнение. Чему равен полученный определитель?

РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ

50. Вычислите ранг матрицы по определению:

	1		0	0	0	5			3 5			7			4		3	2	2
1)		0	0	0	0	0	;	2)		1	2	3	;	3)		0	2	1	1
																				.
		2	0	0	0					1	3	5				0	0	3	3
						11

51. Вычислите ранг матрицы с помощью элементарных преобразований:

	1		2 3 4				2			1	3 2	4				0		2	1	5
	1		2 3 4				2			1	3 2	4
1)		2	4 6 8		;	2)		4		2 5 1		7		; 3)		3		1 2		4 ;
																1		1	1	3
		3	6 9 12					2		1 1 8		2				1		1	1	3


																2		3	0	1
	1		3 5 1				3			1 3 2			5		4		3	5	2	3
	1		3 5 1				3			1 3 2			5					7 4		2
																8	6	7 4		2
4)		2	1	3	4	; 5)			5	3 2 3			4	; 6)		4	3	8 2		7	.
		5	1 1		7				1	3	5 0	7								5
		7							7	5	1 4					4	3	1 2		5
		7	7 9 1						7	5	1 4		1			8	6	1	4	6
																8	6	1	4	6

52. Вычислите ранг матрицы при различных значениях :

	1			1	2		3		1	1	4
			1					4		10	1
1)		2			5	;	2)					.
								1	7	17	3
		1	10	6	1
								2	2	4	3

53.Как может измениться ранг матрицы, если приписать к ней: а) одну строку, б) одну строку и один столбец?

54.Может ли ранг матрицы с размерами 5 6 быть равен

3; 5; 6; 7?

55.Чему равен ранг транспонированной матрицы AT , если rang A r ?

56.Опишите все матрицы ранга 1.

57.Покажите, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

58.Пусть A и B - квадратные матрицы порядка n . Дока-

жите, что: 1) rang (AB) min(rang A, rang B) ;

2)если матрица B обратима, то rang AB rang A ;

3)rang (A B) rang A rang B .

59.Выясните, являются ли данные системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми. Для каждой из них укажите какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему:

1) (2, 3,1) , (3, 1, 5) , (1, 4, 3) ;

2) (5, 4, 3) , (3, 3, 2) , (8,1, 3) ;

3)(4, 5, 2, 6) , (2, 2,1, 3) , (6, 3, 3, 9) , (4, 1, 5, 6) ;

4)(1, 0, 0, 2, 5) , (0,1, 0, 3, 4) , (0, 0,1, 4, 7) , (2, 3, 4,11,12) .

60.Найдите все значения , при которых вектор b линейно выражается через векторы ai , если:

1)	a1	(2,3,5) , a2	(3, 7,8) , a3	(1, 6,1) , b (7, 2, ) ;
2)	a1	(4, 4,3) , a2	(7, 2,1) , a3	(4,1,6) , b (5, 9, ) ;
3)	a1	(3, 2,5) , a2	(2, 4, 7) , a3	(5,6, ) , b (1, 3, 5) ;

4)a1 (3, 2, 6) , a2 (5,1,3) , a3 (7,3,9) , b ( , 2, 5) .

61.Пусть ранг m n -матрицы A равен r . Являются ли столбцы матрицы A линейно зависимыми, если: а) r n ; б) r n ?

62.Может ли ранг матрицы быть равен r , если:

а) какие-то r ее столбцов линейно зависимы;

б) любые r столбцов матрицы линейно зависимы; в) какие-то r 1 столбцов линейно независимы?

63. Верно ли, что если a , b , c - линейно независимые векторы, то этим же свойством обладают векторы a b , b c , c a ?

64. Какому условию должно удовлетворять число , чтобы векторы a1 ( ,1, 0) , a2 (1, ,1) , a3 (0,1, ) пространства

3 были линейно зависимы?

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

65. Решите системы уравнений по правилу Крамера:

3x 4 y 6

;

3x 5y 13

;

3x 4 y 18

7 y 81

2x1

3x3

3x2

4x3

6 ;

4x2

5x3

8 .

3x1

66. Решите системы уравнений матричным методом:

2x1

4x2

4x1

2x2

5x2

3x3

1 ;

2x2

1 ;

2x1

5x3

2x1

5x3

0 ;

2x2

2 .

3x1

13x

67. Решите системы уравнений методом Гаусса:

0 ; 2)

2x1

2x4

2x3

2x1

3x2

5x3

7x4

3) 2x1

3x2

2 ;

4) 4x1

6x2

2x3

3x4

2 ;

11x

15x

7x1

4x2

3x4

5 ;

3x1

5x2

2x3

2x4

4 ;

	3x1		4x2	x3	2x4	3		2x1		5x2	8x3	8
										3x2	9x3	9
			8x2	2x3	5x4	7 ;		4x1
7)	6x1						8)		2x	3x	5x	7	;
	9x		12x	3x	10x	13
									1	2	3
		1	2	3	4			x		8x	7x	12

									1	2	3

	2x1		3x2	11x3	5x4	2		x1		2x2	4x3	3x4	0
			x2	5x3	2x4	1
	x1									5x2	6x3	4x4	0
9)		3x	3x	9x	5x	2 ;	10)	3x1						.

		1	2	3	4				4x	5x	2x	3x	0
	2x
			x	3x	2x	3			1	2	3	4

		1	2	3	4			3x		8x	24x	19x	0
			x	3x	4x	3
	x								1	2	3	4
		1	2	3	4

68. Исследуйте систему и найдите общее решение в зависимости от значений параметра :

2x1

5x1

3x2

2x3

4x4

2x2

3x3

7x4

1 ;

2 ; 2)

4x1

6x2

5x4

11x

8x1

17x

3x1

2x2

5x3

4x4

3x2

6x3

8x4

5 ; 4)

3) 2x1

6x2

9x3

20x4

69. Найдите фундаментальную систему решений и общее решение для следующих однородных систем:

	x1		2x2	4x3	3x4	0
			5x2	6x3	4x4	0
1)	3x1						;
			5x2	2x3	3x4	0
	4x1
	3x		8x	24x	19x	0
		1	2	3	4
	3x1		2x2	x3	3x4	5x5	0
			4x2	3x3	5x4	7x5	0
2)	6x1							;
			6x2	5x3	7x4	9x5	0
	9x1
	3x		2x		4x	8x	0
		1	2		4	5

3x1

5x2

2x3

x1 x3 x5 0

x2 x4 x6 0

7x2

5x3

0 ;

3) 4x1

4) x1 x2 x5 x6 0 ;

4x3

x2 x3 x6

x x x 0

3x1

4x2

2x4

3x5

7x2

3x4

4x5

5x1

;

5x2

2x3

5x5

4x1

10x

2x1 4x2 5x3 3x4 0

6x1 2x2 2x3 5x4 7x5 0

9x1 3x2 4x3

8x4 9x5

3x1

6x2 4x3 2x4 0 ;

6x 7x x 0

4x 8x 17x 11x 0

3x x 4x 4x x 0

70. Известно, что

X1 (1, 1,0,0) и

(0, 1, 2,1)

обра-

зуют ФСР некоторой однородной системы линейных уравнений. Из скольких уравнений может состоять эта система? Приведите пример такой системы, состоящей из трех уравнений.

71. Найдите значения параметра , при которых система имеет ненулевые решения, и найдите эти решения:

	2 x1	3x2	2x3	0		2x1	x2	3x3	0
		x2	x3	0 ;			x2	7x3	0
1)	x1				2)	4x1
		x2	4x3	0			x2	2x3	0
	8x1					x1

72. Найдите общее решение неоднородной системы, используя фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы:

2x1	x2	7x3	7x4	3
1) x1	2x2	8x3	5x4	3 ;
x	x	5x	4x	2
1	2	3	4

<<< < Предыдущая 12 / 212 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20224.88 Mб43403.pdf
#
15.11.20224.89 Mб03404.pdf
#
15.11.20224.89 Mб13405.pdf
#
15.11.20224.96 Mб43410.pdf
#
15.11.20224.99 Mб13415.pdf
#
15.11.20225 Mб23416.pdf
#
15.11.20225.01 Mб23417.pdf
#
15.11.20225.04 Mб23419.pdf
#
15.11.20225.06 Mб23422.pdf
#
15.11.20225.07 Mб63424.pdf
#
15.11.20225.13 Mб33429.pdf

	7	6	5	4	3	2			1	2	0	0	0	0
	9	7	8	9	4	3			3	4	0	0	0	0
7)	7	4	9	7	0	0	;	8)	7	6	5	4	0	0	;
	5	3	6	1	0	0			2	3	4	5	0	0
	0	0	5	6	0	0			5	1	2	6	7	3
	0	0	6	8	0	0			2	7	5	3	4	1
		2	3	4	5	3			1	0	2	0	3		0
	1	2	3	4	5	3			1	0	2	0	3		0
	6	5	7	8	4	2			5	1	4	2	7		3
9)	9	8	6	7	0	0	;	10)	1	0	4	0	9		0	.
	3	2	4	5	0	0			8	1	5	3	7		6
	3	4	0	0	0	0			1	0	8	0	27		0
	5	6	0	0	0	0			9	1	5	4	3	10

sin			cos				sin
cos										;
cos			sin				cos
3		2	2			5	6

4		1		1 2			5	;
5		3		1		3	2
5		3		1		3	2
1 3			2			1	2	1
1 3							2	1
1	2		0			2			;
1	2			1			3	0
				1		1
2	0	0	1			1	0	0

1	0	0			1 1		0 0		;
0	1	3			0 0		1 1
							1
0	3	1			0 0		1	1

	3x1		4x2	x3	2x4	3		2x1		5x2	8x3	8
										3x2	9x3	9
			8x2	2x3	5x4	7 ;		4x1
7)	6x1						8)		2x	3x	5x	7	;
	9x		12x	3x	10x	13
									1	2	3
		1	2	3	4			x		8x	7x	12

									1	2	3

	x1		2x2	4x3	3x4	0
			5x2	6x3	4x4	0
1)	3x1						;
			5x2	2x3	3x4	0
	4x1
	3x		8x	24x	19x	0
		1	2	3	4
	3x1		2x2	x3	3x4	5x5	0
			4x2	3x3	5x4	7x5	0
2)	6x1							;
			6x2	5x3	7x4	9x5	0
	9x1
	3x		2x		4x	8x	0
		1	2		4	5

	7	6	5	4	3	2			1	2	0	0	0	0
	9	7	8	9	4	3			3	4	0	0	0	0
7)	7	4	9	7	0	0	;	8)	7	6	5	4	0	0	;
	5	3	6	1	0	0			2	3	4	5	0	0
	0	0	5	6	0	0			5	1	2	6	7	3
	0	0	6	8	0	0			2	7	5	3	4	1
		2	3	4	5	3			1	0	2	0	3		0
	1	2	3	4	5	3			1	0	2	0	3		0
	6	5	7	8	4	2			5	1	4	2	7		3
9)	9	8	6	7	0	0	;	10)	1	0	4	0	9		0	.
	3	2	4	5	0	0			8	1	5	3	7		6
	3	4	0	0	0	0			1	0	8	0	27		0
	5	6	0	0	0	0			9	1	5	4	3	10

sin			cos				sin
cos										;
cos			sin				cos
3		2	2			5	6

4		1		1 2			5	;
5		3		1		3	2
5		3		1		3	2
1 3			2			1	2	1
1 3							2	1
1	2		0			2			;
1	2			1			3	0
				1		1
2	0	0	1			1	0	0

1	0	0			1 1		0 0		;
0	1	3			0 0		1 1
							1
0	3	1			0 0		1	1

	3x1		4x2	x3	2x4	3		2x1		5x2	8x3	8
										3x2	9x3	9
			8x2	2x3	5x4	7 ;		4x1
7)	6x1						8)		2x	3x	5x	7	;
	9x		12x	3x	10x	13
									1	2	3
		1	2	3	4			x		8x	7x	12

									1	2	3

	x1		2x2	4x3	3x4	0
			5x2	6x3	4x4	0
1)	3x1						;
			5x2	2x3	3x4	0
	4x1
	3x		8x	24x	19x	0
		1	2	3	4
	3x1		2x2	x3	3x4	5x5	0
			4x2	3x3	5x4	7x5	0
2)	6x1							;
			6x2	5x3	7x4	9x5	0
	9x1
	3x		2x		4x	8x	0
		1	2		4	5

	7	6	5	4	3	2			1	2	0	0	0	0
	9	7	8	9	4	3			3	4	0	0	0	0
7)	7	4	9	7	0	0	;	8)	7	6	5	4	0	0	;
	5	3	6	1	0	0			2	3	4	5	0	0
	0	0	5	6	0	0			5	1	2	6	7	3
	0	0	6	8	0	0			2	7	5	3	4	1
		2	3	4	5	3			1	0	2	0	3		0
	1	2	3	4	5	3			1	0	2	0	3		0
	6	5	7	8	4	2			5	1	4	2	7		3
9)	9	8	6	7	0	0	;	10)	1	0	4	0	9		0	.
	3	2	4	5	0	0			8	1	5	3	7		6
	3	4	0	0	0	0			1	0	8	0	27		0
	5	6	0	0	0	0			9	1	5	4	3	10

sin			cos				sin
cos										;
cos			sin				cos
3		2	2			5	6

4		1		1 2			5	;
5		3		1		3	2
5		3		1		3	2
1 3			2			1	2	1
1 3							2	1
1	2		0			2			;
1	2			1			3	0
				1		1
2	0	0	1			1	0	0

1	0	0			1 1		0 0		;
0	1	3			0 0		1 1
							1
0	3	1			0 0		1	1

	3x1		4x2	x3	2x4	3		2x1		5x2	8x3	8
										3x2	9x3	9
			8x2	2x3	5x4	7 ;		4x1
7)	6x1						8)		2x	3x	5x	7	;
	9x		12x	3x	10x	13
									1	2	3
		1	2	3	4			x		8x	7x	12

									1	2	3

	x1		2x2	4x3	3x4	0
			5x2	6x3	4x4	0
1)	3x1						;
			5x2	2x3	3x4	0
	4x1
	3x		8x	24x	19x	0
		1	2	3	4
	3x1		2x2	x3	3x4	5x5	0
			4x2	3x3	5x4	7x5	0
2)	6x1							;
			6x2	5x3	7x4	9x5	0
	9x1
	3x		2x		4x	8x	0
		1	2		4	5