3416

1) 309, 1068;

2) 321, 843;

3) 607, 477;

4) 6787, 7194.

1)

588, 2058, 2849;

2)

279, 372, 1395;

3)

420, 630, 1155;

4)

81719, 52003, 33649, 30107.

149.

Выясните, простым или составным является число:

1) 1001;

2) 607;

3) 7429.

150.

Пусть a, b, m и

m 0 .

Докажите, что если числа

a и b дают при делении

на

m

одинаковые остатки, то

НОД(a, m) НОД(b, m) .

151.

Докажите, что для любых a, b, k справедливы ра-

венства:

1)

121 13145 (mod 2) ;

2)

121347 92817 (mod 10) ;

3)

52 8 (mod 10) ;

4)

(m 1)2 1 (mod m) ;

5)

2m 1 (m 1)2 (mod m) .

155. Выясните, какие из следующих сравнений являются

верными: 1) 1 6 (mod 7) ;

2)

572 0 (mod 13) ;

3)

25 1 (mod 4) ;

4)

3m 1 (mod m) ;

5)

325 762 (mod 19) ;

6)

1920 15 (mod 10) .

–253, –138,

170,

393,

965, 2000,

47,

1660.

158. Числа 17,

–14,

19,

–49, –22, 21,

–29

замените

1)

a 15325 899 ,

m 9 ;

2)

a 1853 11753 ,

m 11;

3)

a 2348 4823 ,

m 7 ;

4)

a 128148 148129 , m 13 ;

5)

a 10242856 ,

m 91;

6)

a 2811956 ,

m 13 .

160. Выясните,

какие из данных сравнений имеют реше-

1)

22x 7(mod19) ;

2)

28x 8(mod12) ;

3)

15x 19(mod 21) ;

4)

381x 3(mod 71) ;

5)

47x 56(mod 93) ;

6)

5x 3 (mod 17) ;

7)

7x 15 (mod 9) ;

8)

8x 7 (mod 14) ;

9)

18x 15

(mod 69) ;

10) 27x 9 (mod 15) ;

11) 21x 5

0 (mod 29) ;

12) 14x 50(mod 62) .

1)

13x 19(mod 29) ;

2)

16x 3(mod11) ;

3)

21x 76(mod 81) ;

4)

25x 1(mod19) ;

5)

51x 9(mod 33) ;

6)

55x 57(mod 221) ;

7)

23x 5(mod19) ;

8)

27x 7(mod 58) ;

9)

45x 12(mod 24) ;

10)

53x 61(mod 93) ;

11) 39x 14(mod 240) ;

12)

6x 8(mod 26) ;

13) 23x 7(mod10) ;

14)

109x 76(mod173) .

162. Исследуйте и решите сравнения, используя рекур-

рентную формулу. Сделайте проверку.

1)

729x 33 (mod 321) ;

2)

5286x 225

(mod 849) ;

3)

4172x 344 (mod 676) ;

4)

4305x 935

(mod 830) ;

5)

23579x 365 (mod 1275) ;

6)

2237x 100 (mod 1021) ;

7)

256x 179 (mod 337) ;

8)

1215x 560

(mod 2755) ;

9)

899x 7 (mod 2166) ;

10)

1564x 247

(mod 457) .

163. Найдите значение

функции Эйлера (n) для

1)

11x 3 (mod 30) ;

2)

13x 19 (mod 29) ;

3)

7x 5 (mod16) ;

4)

20x 10 (mod 25) ;

5)

6x 15 (mod 45) ;

6)

93x 2 (mod17) .

166. Исследуйте и решите сравнения:

1)

127x 80 (mod 274) ;

2)

36x 42 (mod 90) ;

3)

83x 12 (mod101) ;

4)

820x 13 (mod 9) ;

5)

78x 42 (mod 51) ;

6)

415x 200 (mod 630) ;

7)

134x 118 (mod 206) ;

8)

111x 75 (mod 321) ;

9)

67x 64 (mod183) ;

10) 354x 567 (mod 639) ;

11) 2775x 825 (mod 624) ;

12) 285x 177 (mod 924) ;

13) 285x 51 (mod 363) ;

14) 12103x 385 (mod1425) ;

15) 89x 86 (mod 241) ;

16) 186x 374(mod 422) ;

17) 486x 39 (mod 327) ;

18) 690x 57 (mod 429) ;

19) 213x 137 (mod 516) ;

20) 1296x 1105 (mod 2413) .

167. Решите сравнения способом подбора:

1)

x4 3x3 x2 2 0

(mod 7) ; 2)

x3 7x 3 0

(mod 5) ;

3)

x3 x 1 0

(mod 6) ;

4)

x2 3x 5 0

(mod 5) ;

5)

x5 x 1 0

(mod 7) ;

6)

x3 3x 1 0

(mod19) .

168. Решите системы сравнений:

1)

x 3 (mod12)

;

2)

x 2 (mod 15)

; 3)

x 28(mod15)

;

x

4 (mod 5)

x

18 (mod 22)

x 18(mod 22)

4)

3x 2(mod 5)

;

5)

4x 7(mod11)

;

6)

4x 3 (mod 7)

;

2x 5(mod 9)

8x 15(mod13)

5x 4 (mod 6)

x 7(mod 5)

x 16 (mod 5)

x 15(mod 7)

7)

3(mod 4)

;

8)

27 (mod 4) ;

9)

8(mod 5)

;

x

x

x

26(mod11)

2 (mod13)

19(mod11)

x

x

x

7x 5(mod11)

7x 10(mod11)

5x 20(mod 6)

12)

10) 13x 12(mod 23)

; 11) 12x 7(mod13) ;

6x 6(mod 5) .

5x 2(mod 7)

7x 11(mod15)

4x 5(mod 77)

169. Укажите,

из каких элементов состоит кольцо

10 .

170. Для колец 1) 11, 2) 16 , 3)

20 , 4)

28

найдите [b]m [0]m такой, что

[a]m [b]m [0]m . Является ли

такой класс [b]m единственным?

171.

Для кольца

360

найдите: 1) число обратимых эле-

ментов;

2) число делителей нуля.

172.

Укажите, какие из данных колец вычетов являются

полями:

8 ,

15 ,

19 ,

47 , 129 .

173. В кольце классов вычетов

117 найдите сумму, про-

изведение и обратные (если они

существуют) для классов

a 248

и

b

416 .

174. В кольце классов вычетов

14 найдите сумму, про-

изведение и обратные (если они существуют) для классов:

1) 319 и 35 ;

2) 17 и 31;

3) 102 и 35 ;

3) 131 и 262 .

175.

В кольце

935

найдите

элемент,

обратный к 347.

1)

(2 6 3 5)10

в поле

7 ;

2) (1 2 3 4) 2 в поле

11 ;

3)

(7 3 1 4) 1

в поле

13 ;

4)

1 1 2 1 ... ( p 1) 1

в поле

p

( p 2 ).

178. Для матрицы A над данным полем

p

найдите об-

ратную матрицу A 1 . Сделайте проверку.

3

2

8

7

1)

A

над

7 ;

2)

A

над

13 ;

1

6

3

5

7

5

1

2

5

11 ;

7 ;

3)

A

над

4)

A

4

0

1

над

1

3

3

1

2

5

2 1

1

0 1 1

2 .

5) A

8

3

6

над 31 ;

6) A

0

1

0

1 над

7

4

5

1

0

0

1

1

1

1

1

179. Найдите ранг матрицы над данным полем:

2 3 1 4

5

1 2

1 1 0

1

2

0

6

3

2

1

0

2

1

1)

над

7

;

2)

над

3

.

3 3 5 0

2

1 2

2 1 1

2 4 4 3

5

0 0

1 0 1

180. Решите системы уравнений методом Гаусса:

1) над полем

2 :

x

x

x

x

1

x

x

x

x

1

1

2

3

4

1

2

3

4

а)

x1

x3

1 ;

б) x1

x3

1;

x2

x4

0

x2

x4

1

2) над полем

3 :

x

x

x

1

2x

x

x

1

1

2

3

1

2

3

а)

2x1

x2

x3

1 ;

б) 2x1

x2

2x3

2 ;

2x

2x

1

2x

2x

x

0

2

3

1

2

3

3) над полем

5 :

x1

2x2

4x3

1

x1

x2

x3

2

а)

x

3x

4x

2 ;

б) 2x

3x

4x

1 .

1

2

3

1

2

3

x

4x

x

3

3x

2x

0

1

2

3

1

3

3x 4 y 1

4x 5 y 6

1)

над

13 ;

2)

3y 1

над

11

;

5x 3y 7

7x

3x 2 y z 1

2x 2 y z 3

3)

x 2 y 4z 3

над 5 ;

4)

x 3 y 2z 3 над

5 .

4x 2 y 2z 4

x 2 y z 2

182. Решите матричное уравнение над полем

7 :

3

2

4

3

1

2

3

0

1

2

1

2

3

.

1)

X

;

2)

2

3

1

X

1

2

3

4

1

2

1

4

1

1

3

2

1

3 4

5

3

0

0

183. Докажите,

что ненулевой элемент [a]m

m обра-

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ

186. Для многочленов

f (x) и g(x)

над данным полем P

разделите с остатком f (x)

на g (x) :

1)

f (x) x4 3x3 5x2 6x 7 ,

g(x) x2 x 3 ,

P ;

2)

f (x) x5 1 , g(x) x3 1 ,

P ;

3)

f (x) 2x4 3x3 4x 1 ,

g(x) 3x3 x 2 ,

P

5

;

4)

f (x) x5 x3 x 1 ,

g(x) x3 x 1 ,

P

2

.

187. В кольцах

3[x] ,

5[x] ,

[x] найдите

частное

и

остаток при делении многочлена f (x)

на многочлен g (x) :

1)

f (x) x5 x2 x 1,

g(x) x3 2x 1 ;

2)

f (x) 2x4 x2 2x ,

g(x) x2 2 .

188. Разделите с остатком многочлен f (x)

на

(x x0 )

и

найдите значение f (x0 ) :

1)

f (x) x4 2x3 4x2 6x 8 [x] ,

x 1 ;

0

2)

f (x) 2x5 5x3 8x [x] ,

x 3 ;

0

3)

f (x) 3x5 x4 19x2 13x 10 [x] ,

x 2 ;

0

4)

f (x) x4 3x3 10x2 2x 5 [x] ,

x 2 ;

0

5)

f (x) 3x5 2x3 x2 x 5 [x]

,

x 3 ;

11

0

6)

f (x) x12 x6

13

[x] ,

x 9 .

0

189. Используя схему Горнера, найдите частное и остаток

от деления многочлена: 1) 2x5 3x4 11x3 12x 5

на (x 3) ;

2) 8x8 10x7 36x6 28x5 4x3 24x2 20x 11 на (4x 3) .

190. Найдите кратность корня x0

многочлена

f

[x] :

1)

f (x) x5 6x4 11x3 2x2 12x 8 ,

x 2 ;

0

2)

f (x) x5 5x4 7x3 2x2 4x 8 ,

x 2 ;

0

3)

f (x) x5 7x4 16x3 8x2 16x 16 ,

x 2 ;

0

4)

f (x) 3x5 2x4 x3 10x 8 ,

x 1;

0

5)

f (x) x5 6x4 2x3 36x2 27x 54 ,

x 3 .

0

191. Может ли кольцо многочленов K[x]

быть полем?

192. Пусть f , g K[x]

и

f (x) x4 a ,

g(x) x2

bx 1.

Найдите a и b так, чтобы многочлен

f (x) делился на g (x) .

193. При каком значении a многочлен x5 ax2

ax 1

[x]

имеет 1 корнем не ниже второй кратности?

194. При каких a и b

многочлен

ax4 bx3 1

[x]

де-

лится на (x 1)2 ?

195. С помощью алгоритма Евклида найдите наибольший

общий делитель многочленов

f , g

[x] :

1)

f (x) 2x4 x3 x2 x 3 ,

g(x) x3 2x2 1;

2)

f (x) x5 2x4 x3 7x2 x 6 ,

g(x) x4 4x3 4x2 3x 14 ;

3)

f (x) x4 4x3 1,

g(x) x3 3x2 1 ;

4)

f (x) x6 x5 3x4 2x3 4x 2 , g(x) x5 3x4 x3 6x2 4x 6 ;

5)

f (x) x4 x3 2x2 x 1 ,

g(x) x3 2x2 x 2 ;

6)

f (x) x4 x3 3x2 4x 1 ,

g(x) x3 x2 x 1 ;

7)

f (x) x4 2x3 2x2 2x 2 ,

g(x) x3 3x 2 ;

8)

f (x) x6 7x4 8x3 7x 7 , g(x) 3x5 7x3 3x2 7 .

196. Найдите НОД и его линейное представление для мно-

гочленов f , g

[x] :

1)

f (x) 3x3 2x2 x 2 ,

g(x) x2 x 1 ;

2)

f (x) x4 x3 3x2 6x 3 ,

g(x) x3 2x2 2x 1 ;

3)

f (x) x3 1,

g(x) x4 x3 2x2 x 1 ;

4)

f (x) x5 x4 2x3 x2 2x 1 ,

g(x) x4 2x2 x .

197. Найдите НОД и НОК для многочленов f , g, h [x] :

198. Найдите унитарный НОД и его линейное представле-

ние для многочленов f

и g над данным полем p :

1)

f (x) x5 x4 1,

g(x) x4 x2 1 ,

p 2 ;

2)

f (x) x5 x3 x 1 ,

g(x) x4 1,

p 2 ;

3)

f (x) x5 x 1 ,

g(x) x4 x3 1,

p 2 ;

4)

f (x) x5 x3 x ,

g(x) x4 x 1 ,

p 2 ;

5)

f (x) x6 x5 x3 x 2 ,

g(x) x5 x4 x3 x2 1 ,

p 3 ;

6)

f (x) x8 2x5 x3 x2 1 ,

g(x) 2x6 x5 2x3 2x2 2 ,

p 3 .

199. Постройте унитарные многочлены наименьшей сте-

пени над полями и

, которые имеют данные корни:

1) 1 - корень кратности два;

2, 3,

1 i

- простые корни;

2)

i - корень кратности два;

1 i

- простой корень;

член быть неприводимым над полем

рациональных чисел?

204.

Найдите

канонические разложения многочленов

f ( x) x6

1 и g( x) x4

1 над полями

,

, .

205.

Найдите

НОД

многочленов

f , g

[x] , используя

разложение на неприводимые множители:

1)

f (x) (x 1)81(x 3)4 (x 2)17 ,

g(x) x9 x8 5x7 x6 11x5 13x4 7x3 15x2 4 ;

2)

f (x) (x3 1)(x2

2x 1) , g(x) (x2 1)3 ;

3)

f (x) (x2 x 2)2 (x 1)4 (x 1) , g(x) (x2 x 1)5 (x 2)(x 1)3 ;

4)

f (x) (x2 2x 1)2 (x2

x 1) ,

g(x) (x 2)(x 4)(x 1)2 ;

5)

f (x) (x2 2x 8)2 (x3 8)(x 2)2 ,

g(x) (3x2 5x 22)2 (x2 16)3 .

неприводим над полем P тогда и только

тогда,

когда он

не имеет корней в поле P . Покажите на примере, что уже для

многочленов четвертой степени этот факт неверен.

208. Докажите, что если многочлен

f P[x]

взаимно