2947

16. Найти решение неоднородного рекуррентного соотношения:

an 2 an 1 14 an 2 n , a0 1, a1 32 .

17.Решить рекуррентное соотношение: an 2 an 1 an 0.

18.Четыре зрителя сдают свои шляпы в гардероб театра. При условии возвращения шляп обратно, вычислить вероят-

ность события, состоящего в том, что ровно k человекам вернут их шляпы обратно. Использовать все значения k

0 k 4 .

19.Исследование читательских вкусов обнаружило, что 60% студентов пользуются журналом A, 50% – журналом

а) не пользуется никаким из этих журналов; б) пользуется только двумя журналами; в) пользуется двумя и более журналами?

20.Вычислить количество целых положительных чисел, меньше либо равных 100, которые не делятся ни на какое из чисел 3, 5 и 7.

21.Доказать, что для случая n 30m, количество целых

положительных чисел, меньше либо равных n и не делящихся ни на какое из чисел 6, 10, 15, составит 22m.

22. Численность класса 35 учеников. Среди них 20 ходит на математический кружок, 11 – на физический, 10 учеников не ходят ни на один из этих кружков. Какое количество учащихся ходят и на математический и на физический кружок? Какое количество учеников ходит только на математический кружок?

72

23. Каково число способов размещения за круглым столом n супружеских пар таким образом, когда мужчины и женщины чередуются и никакие два супруга не оказались рядом?

24. В букинистическом магазине имеется в наличии шесть томов произведения И. С. Тургенева «Рудин», три тома его же произведения «Дворянское гнездо» и четыре тома произведения «Отцы и дети». Помимо этого, имеется пять книг с романами «Рудин» и «Дворянское гнездо», и семь книг с романами «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Каким числом способов можно совершить покупку, состоящую, как минимум, из одного тома любого из данных произведений?

25. Найти значение S 2 k , при этом суммирование

k 2

ведётся по всем натуральным k , не кратным 2, 3 и 5.

73

ГЛАВА 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

3.1. Способы задания графов. Операции над графами. Основные понятия и определения

Преположим, что имеются множество S , V 2 – набор всех его подмножеств, содержащих по два элемента,

U V 2 . При этом пара G S,U именуется неориентиро-

ванным графом. Элементы, составляющие множество S , именуются вершинами графа, а компоненты набора U – рёб-

рами.

В частном случае, когда в паре вершин xi и x j задано

направление связи, определяющее начальную и конечную вершины, соединяющий их отрезок uk именуется дугой, а

вершины, отвечающие дуге uk – концевыми вершинами. При

условии, что они совмещены, дуга именуется петлёй. В графе G могут иметься дуги (рёбра) с совмещёнными концевыми вершинами. Данные дуги именуются параллельными, по-

другому, кратными.

Когда в графе G S,U все компоненты множества U

представляют собой дуги, граф именуется ориентированным, сокращённо орграфом. Два ребра именуются смежными в случае, когда у них есть общая концевая вершина. Вершины именуются смежными, по-другому, соседними, когда имеется ребро, которое их соединяет.

Вершина xi и ребро ui именуются инцидентными, когда xi представляет собой концевую вершину ребра ui , иначе

данные вершина и ребро именуются неинцидентными. Количество вершин графа именуется его порядком. Ко-

личество дуг (рёбер) графа G, инцидентных некоторой вершине, именуется степенью P xi вершины xi . В частности,

74

когда степень равна нулю, вершина именуется изолированной, если единице – то висячей, по-другому, тупиковой.

Граф G именуется простым, когда у него нет петель и кратных дуг. В том случае, когда в простом графе любые двевершины соседние, он именуется полным. Граф, в котором есть как минимум две кратные дуги, именуется мультиграфом; если в графе имеются петли, то он именуется псевдо-

графом.

тываается два раза).

Граф именуется двудольным, когда имеется разделение совокупности его вершин на две части (доли), при котором концы любого ребра содержатся в разных долях. Если к тому же каждые две вершины из разных частей соседние, то такой граф именуется полным двудольным. Полный двудольный

75

граф, части которого включают p и q вершин, обозначается K p,q . Полный граф порядка n обозначается Kn . Количество

рёбер в полном графе порядка n определяется как Cn2 .

Рис. 12. Примеры полных графов

Два графа именуются изоморфными, если между множествами их вершин можно установить взаимно-однозначное соответствие, когда в одном из графов вершины соединены рёбрами, если и только если в другом графе рёбрами соединены такие же вершины. В изоморфных орграфах направления дуг также должны совпадать.

Рис. 13. Пример изоморфных орграфов

Граф называется плоским, если имеется возможность представить его на плоскости таким образом, чтобы все пересечения рёбер были его вершинами.

76

Дополнительным графом, по-другому, дополнением,

же числом вершин, что и в графе G, при этом каждые две несовпадающие вершины соседние, если и только если они не являются соседними в G (рис. 14). Граф, изоморфный своему дополнению, именуется самодополнительным.

Рис. 14. Пример графа и его дополнения

Операции над графами:

1.Объединение графов. Граф G S,U именуется

объединением, по-другому, наложением, графов G1 S1,U1

иG2 S2 ,U2 , когда S S1 S2 и U U1 U2 . Объединение G G1 G2 именуется дизъюнктным, если S1 S2 .

2.Произведение графов. Граф G S,U именуется

когда S S1 S2 есть прямое произведение множеств вершин этих графов, а множество рёбер образуется так: вершиныx1, x2 и y1, y2 соседние в графе G , если и только если или

Рис. 15. Пример выполнения операции произведения графов

3. Слияние (отождествление) вершин.

Предположим, что x1 и x2 – две различные вершины

графа G и G1 G \ x1 \ x2 (рис. 16). К графу G1 добавим новую вершину y1, соединив её ребрами со всеми вершинами из объединения окружений вершин x1 и x2 в графе G. Составленный в результате граф G2 получен из G слиянием вершин x1 и x2 . Графическое изображение выполненной операции представлено на рис. 17.

78

x1

G1

G

X2

Рис. 16. Исходный граф и граф, полученный из него удалением двух вершин

G2

y1

Рис. 17. Результат выполнения операции слияния вершин

Операция стягивания ребра представляет слияние двух соседних вершин. Граф G именуется стягиваемым к графу G1 , когда G1 образуется из G в итоге определённой последовательности стягиваний рёбер.

4. Расщепление вершин. Предположим, чо x1 – произвольная вершина графа G. Разделим её окружение на две части N1 и N2 ; отбросим вершину x1 одновременно с инцидентными ей рёбрами; дополним новыми вершинами x2 и x3 и соединяющим их ребром x2 , x3 ; вершину x2 соединим со всеми вершинами из части N1, вершину x3 – со всеми вер-

79

Рис. 18. Пример выполнения операции расщепления вершины

Маршруты, цепи, циклы.

Перемежающаяся последовательность x1 , u1 , x2 , u2 , ...,

вершины x1 и xk 1.

Маршрут нменуется цепью, когда все его рёбра разные, и простой цепью, когда все его вершины, за исключением, быть может, крайних, разные. Гамильтоновой цепью именуется простая цепь, включащая все вершины графа.

Маршрут именуется циклическим, когда x1 xk 1. Цик-

лическая цепь именуется циклом, циклическая простая цепь – простым циклом. Количество рёбер в маршруте именуется

длиной маршрута. Гамильтоновым циклом именуется про-

стой цикл, включающий все вершины графа. Длина всякого цикла три и более в графе, не содержащем петель и паралл-

80