2947

мент x , то точки x и y соединяются отрезком, при этом точка x находится ниже y . Такие схемы именуются диа-

граммами Хассе.

Примеры.

1. Задано линейно упорядоченное множество

A 0,1, 2,3, 4,5,6,7 с привычным отношением порядка на

множестве целых чисел, не больших 7. В этом случае его диаграмма Хассе будет иметь вид:

7

6

5

4

3

2

1

0

Рис. 7. Диаграмма Хассе линейно упорядоченного множества

Элементы данного отношения расположены в обычным от-

начает, что отношение P транзитивно.

Таким образом, отношение P рефлексивно, транзитивно и антисимметрично, следовательно, P - частично упорядоченное множество. Его диаграмма Хассе имеет вид:

Рис. 8. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества

множества A понимается число N A его элементов:

Card A NA (записывают также A NA ). Пустое множество имеет нулевую мощность: Card 0.

Всякое бесконечное множество A содержит собственное подмножество B ~ A, однако ни в одном конечном множестве нет эквивалентного ему собственного подмножества. В случае двух бесконечных множеств A и B имеется три ситуации:

множества A обладает мощностью Card P A Card A .

Card A Card B или Card A Card B или Card A Card B.

23

Определение. Бесконечное множество X именуется счётным при условии, что оно эквивалентно множеству на-

Бесконечное множество с мощностью, превышающей мощность счётного множества, называется несчётным.

Мощность, которой обладают счётные множества, является наименьшей мощностью, которая возможна для бесконечного множества.

Свойства счётных и несчётных множеств.

1) Любое бесконечное множество A включает счётное множество B, при этом такое, что разность A \ B является бесконечным множеством.

2) Множество Q всех рациональных чисел есть счётное,

то есть Card Q Card N 0.

3) Множество R всех действительных чисел не является счётным.

Определение. Кардинальное чиcло множества R действительных чисел именуется мощностью континуума и обозначается Card R .

0 , это означает, что мощность континуума больше мощности, которой обладает счётное множество.

В качестве примера множества с мощностью, превышающей мощность континуума, можно привести множество

24

P R всех подмножеств множества R действительных чи-

сел, для которого Card P R Card R .

Мощность множества P R называется мощностью

гиперконтинуума.

Понятие о континуум–гипотезе.

В 1878 г. Г. Кантор выдвинул континуум-гипотезу, заключающуюся в том, что является кардинальным числом (мощностью множества), непосредственно расположенным за0 , другими словами, нельзя найти бесконечного множества с мощностью, превышающей мощность счётного множества, однако меньшей мощности континуума. Американским математиком П. Коэном в 1963 г. было доказано, что контину- ум-гипотезу нельзя разрешить в рамках современной теории множеств - её не представляется возможным ни опровергнуть, ни доказать, можно только принять противоположное ей утверждение в качестве аксиомы.

1.4.Система аксиом Цермело-Френкеля

теории множеств 1) Аксиома объёмности (экстенсиональности).

Любое множество однозначно определяется принадлежащими ему элементами. Два множества являются равными, если и только если они состоят из одинаковых элементов:

x x A x B A B.

25

2) Аксиома объединения (суммы).

Объединение всех элементов всякого множества A представляет собой множество, таким образом, для любого множества A найдётся множество A, содержащее все эле-

менты, включённые в элементы A. Предположим, что существует A, тогда найдётся A a : a B для некоторого

BA .

3)Аксиома степени (аксиома множества всех подмножеств).

Набор всех подмножеств любого множества A есть

множество. Допустим, что существует A, тогда имеется

P A B : B A .

4) Аксиома подстановки (замены). Для любого мно-

Определение. Множество A называется фундированным, если любое множество, включающее A, имеет минимальный элемент.

5) Аксиома регулярности (фундированности).

Любое множество A содержит элемент a A, яв-

ляющийся минимальным для A.

26

6) Аксиома бесконечности.

Имеется бесконечное множество

N0 0,1, 2,..., n,... N, где 0 .

7) Аксиома выделения.

Для всякого множества A и свойства F , такого, что для любого a A высказывание F a является истинным или ложным, найдётся множество

B a : a A F a 1 , содержащее только те элементы множества A, для которых F истинно.

Иногда аксиому выделения в системе аксиом заменяют двумя аксиомами:

1)аксиомой существования пустого множества ;

2)аксиомой существования пары: допустим, что су-

ществуют A и B, тогда существует A, B .

Для того, чтобы система аксиом теории множеств была полной, другими словами, адекватно формализовала все известные способы математических рассуждений, надо к системе аксиом Цермело-Френкеля добавить ещё одну из двух альтернативных друг другу аксиом: аксиому выбора АС (axiom of choice) или аксиому детерминированности АD (axiom of determinateness).

Аксиома Цермело выбора.

Для любой совокупности непустых множеств Ax най-

дётся функция выбора, что означает:

27

Ax f : P Ax Ax : f x X X Ax , X . Иначе говоря, для всякого множества Ax попарно непересе-

кающихся множеств найдётся некоторая функция, имеющая своими аргументами только по одному элементу из каждого элемента множества Ax .

Детермированное множество.

Пусть имеется множество A бесконечных последовательностей натуральных чисел, задающих такую бесконечную игру GA для двух игроков. Игрок I выбирает натураль-

ное число n0 , потом игрок II выбирает натуральное число n1

и так далее поочерёдно. В случае, когда полученная по итогам игры последовательность n0 , n1, ..., nk , , ... включена в множество A, выигрывает игрок I, иначе игрок II. Игра GA

именуется детерминированной, если игрок I или игрок II имеет выигрывающую стратегию.

Аксиома Мычельского и Штейнгауза детерминированности.

Любое множество A I детерминировано, где I – бэровское пространство, то есть совокупность всех бесконечных последовательностей натуральных чисел.

Вопросы для повторения

1. Множество, его элементы. Конечное и бесконечное множества. Примеры множеств. Пустое множество.

28

2.Подмножества и их свойства. Равенство множеств. Собственные и несобственные подмножества. Булеан (множест- во-степень).

3.Универсальное множество (универсум). Упорядоченное множество. Упорядоченная пара.

4.Операции над множествами и их свойства (законы алгебры множеств). Диаграммы Эйлера-Венна.

5.n -местное отношение ( n -местный предикат). Унарное и бинарное отношения. Координаты (компоненты) отношения. Тождественное отношение (диагональ). Полное отношение (полный квадрат).

6.Область определения, область значений бинарного отношения. Обратное отношение. Композиция бинарных отношений. Свойства бинарных отношений.

7.Функция (отображение). Частичная функция. Инъекция, сюръекция, биекция. Подстановка множества. Свойства функций. Характеристическая функция множества.

8.Матрица бинарного отношения. Свойства матриц бинарных отношений. Рефлексивное, иррефлексивное, симметричное, антисимметричное, транзитивное отношения. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Разбиение множества.

9.Предпорядок. Частичный порядок. Строгий порядок. Несравнимые элементы. Линейный порядок. Частично (линейно) упорядоченное множество. Максимальный (минимальный) элемент. Наибольший (наименьший) элемент. Верхняя (нижняя) грань. Точная верхняя (нижняя) грань. Полный порядок. Вполне упорядоченное множество. Покрытие элементов. Диаграммы Хассе.

10.Эквивалентные множества. Мощность (кардинальное число) множества. Мощности конечного и пустого множеств. Сравнение мощностей двух бесконечных множеств. Теорема

омощности множества всех подмножеств произвольного непустого множества. Теорема Кантора-Бернштейна. Счётное

29

множество и его мощность. Несчётное множество. Свойства счётных и несчётных множеств. Мощности континуума и гиперконтинуума. Понятие о континуум-гипотезе.

11. Система аксиом Цермело-Френкеля теории множеств. Аксиома Цермело выбора. Детерминированное множество. Аксиома Мычельского и Штейнгауза детерминированности. Бэровское пространство.

Задачи для самостоятельного решения

б) A \ B \ C A \ B C ;

в) A \ B C A C \ B C .

6. Заданы множества:

A x N : 2 x 6 , B x N :1 x 4 ,

C x N : x2 4 0 . Из каких элементов состоят множест-

ва:

а) B C;

30