2947

б) A B C;

в) A B C; г) B C;

д) C B ?

7. Доказать включения:

а) A B \ C A B \ C; б) A C \ B A \ B C.

31

ГЛАВА 2. КОМБИНАТОРИКА

2.1. Правила суммы и произведения

Комбинаторика – область дискретной математики, рассматривающая методы решения задач отбора и размещения элементов некоторой, зачастую, конечной, совокупности, опираясь на определённые правила.

Правило суммы.

Допустим, что элемент a1 можно выбрать n1 способами,

элемент a2 – иными n2 способами, a3 – не совпадающими с первыми двумя n3 способами, ..., ak – nk способами, не сов-

падающими с первыми k 1 , тогда выбор одного из эле-

ментов: или a1 , или a2 , ..., или ak можно произвести n1 n2 ... nk способами.

Пример. Имеется ящик с 300 деталями, среди которых 150 – первого сорта, 120 – второго, 30 – третьего сорта. Каким количеством способов можно извлечь из ящика одну деталь первого или второго сорта?

Решение. По условию, деталь первого сорта возможно извлечь n1 150 способами. Для детали второго сорта имеет-

ся возможность быть извлечённой n2 120 способами. Согласно правила суммы найдётся n1 n2 150 120 270 спо-

собов извлечения одной детали первого или второго сорта.

Правило произведения.

Предположим, что элемент a1 можно выбрать n1 спосо-

бами, за всяким таким отбором элемент a2 возможно ото-

32

брать n2 способами, ..., за всяким k 1 выбором элемент аk

можно выбрать nk способами, тогда выбор всех элементов a1 , a2 , , ..., ak в указанном порядке может быть произведён n1n2 ...nk способами.

Пример. Группа состоит из 30 человек. Нужно избрать старосту, его заместителя и профорга. Каким количеством способов это можно сделать?

Решение. Старостой можно избрать каждого из 30 студентов, его замом – каждого из остальных 29, а профоргом – каждого из остальных 28 студентов, таким образом, n1 30 , n2 29 , n3 28 . Согласно правилам произведения общее ко-

личество способов избрания старосты, его зама и профорга окажется равным n1n2n3 30 29 28 24360 способов.

2.2. Основные определения комбинаторики

2.2.1. Перестановки, размещения, сочетания

Перестановки – комбинации, содержащие одни и те же n разных элементов и различающиеся лишь последовательностью, в которой они следуют друг за другом.

Общее количество перестановок, которые могут при

Пример. Какое количество трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, принимая во внимание, что каждая

33

цифра может входит в десятичное изображение числа всего один раз?

Решение. Требуемое количество трёхзначных чисел равно P3 3! 1 2 3 6 . Это числа 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Размещения – комбинации, состоящие из n разных элементов по m элементов, отличающиеся составом элементов или порядком их расположения.

Общее количество всех возможных размещений

Пример. Определить, какое количество сигналов может быть составлено из шести флажков разного цвета, взятых по два.

Решение. Необходимое количество сигналов

А62 64!! 5 6 30.

Сочетания – комбинации, состоящие из n разных элементов по m элементов, различающиеся хотя бы одним элементом.

Общее количество сочетаний

Пример. Проводится первенство по шахматам, игроками которого являются шестнадцать человек. Какое количество партий может быть сыграно в первенстве, учитывая, что

34

между каждыми двумя участниками может быть сыграна лишь одна партия?

Решение. Любая партия играется только двумя участниками из шестнадцати и отличается от других лишь составом пар участников, таким образом, представляет собой сочетание из шестнадцати элементов по два. Искомое количество партий равно

Перестановки с повторениями.

Общее количество разных перестановок, которые воможно составить из n элементов, среди которых существует

Пример. Вычислить количество разных слов (вообще говоря, бессмысленных), которые могут быть получены при перестановке букв, образующих слово «математика».

Решение. Различные буквы слова «математика» можно представить в виде множеств, на которые разбивается заданное слово и разные объединения которых будут давать новые, вообще говоря, бессмысленные слова:

A1 м, м , A2 а, а, а , A3 т, т , A4 е , A5 и ,

Заданное слово «математика» состоит из n 10 букв. Получаем, что требуемое количество слов

элементов, называется выборкой из n элементов по m. Допуская при этом, что элемент после выбора снова возвращается в группу, выборка называется выборкой с возвращением. Выборка с возвращением, где учитывается порядок выбора элементов, называется размещением с повторениями.

~ m

Теорема. Общее количество An размещений с повторениями из n элементов по m определяется формулой:

~ m

An nm .

Пример. Ячейка камеры хранения открывается, если набрать необходимую комбинацию, состоящую из четырёх цифр от 0 до 9. Пассажир не помнит своего номера и набирает комбинацию цифр наудачу. Определить общее количество имеющихся в данном случае возможностей набора комбинаций цифр.

Решение. Составляемая пассажиром комбинация цифр представляет собой произвольную четвёрку цифр 0,9, дру-

гими словами, всякое размещение с повторениями из n 10 элементов по m 4 элемента. Следовательно, требуемое ко-

~ 4

личество равно N A10 104 10000.

36

Сочетания с повторениями.

Сочетаниями из n элементов по m элементов c повто-

рениями называются комбинации, содержащие m элементов, при условии, что любой элемент относится к одному из n типов. В частности, из трёх элементов a, b, c возможно составление следующих сочетаний по два с повторениями: aa, ab, ac, bb, bc, cc.

Теорема. Общее количество разных сочетаний из n элементов по m элементов с повторениями равно

fnm Cnm m 1.

Пример. Игральные кости домино воможно интерпретировать как сочетания с повторениями из семи цифр 0,1, 2,3, 4,5, 6 по две. Количество всех возможных при этом

n

Cnk an k bk . k 0

Числа Cnk в приведённом выше выражении называются

биноминальными коэффициентами. Их можно последова-

тельно записывать в виде треугольной таблицы, называемой

треугольником Паскаля.

37

L L L L L L L L L L L L L L

n -ая строка треугольника Паскаля содержит коэффици-

енты разложения a b n по формуле бинома Ньютона, при

этом каждый коэффициент, не рассматривая первого и последнего, равных единице, находится как сумма соответствующих коэффициентов из предыдущей строки.

Свойства биноминальных коэффициентов.

1)Сnm Cnn m ;

2)Cnm Cnm 1 Cnm 11;

3)Cnm Cnm 11 Cnm 21 ... Cmm 1 Cmm 11;

38

39

ми коэффициентами.

Пример. Вычислить, используя полиномиальную форму-

лу, a b c 3 . Здесь n = 3, k = 3.

Решение.

c3 b3 a3 3ab2 3ac2 3bc2 3b2c 3a2c 3a2c 3a2b

6abc a3 b3 c3 3(ab2 a2b ac2 a2c b2c bc2 ) 6abc.

40